W górę i w dół, czyli liczby na schodkach

Na schody, których stopnie ponumerowano z góry na dół, wdrapały się liczby naturalne (rys. 1). Każda stoi na stopniu oznaczonym jej „bliźniaczką”. Jeśli przyjmiemy, że dwie liczby ulokowane na tym samym poziomie łączą się (takie połączenie nazywamy konkatenacją), tworząc dubeltową liczbę, której druga część jest o 1 większa od pierwszej – to dwudziesty stopień, licząc od góry, zaowocuje rokiem 2021. Ten schodowy rodowód bieżącego roku stanowi wstęp i pretekst do schodko-liczbowego tematu i związanych z nim zadań.

Ciąg generowanych na schodkach liczb zlepków s&(s+1), zwanych step-liczbami – 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 910, 1011, … (wzór na wyraz ogólny: a_n=n×10^k+1+n+1, gdzie k to liczba cyfr liczby n+1) – należy w zasadzie do matematyki rekreacyjnej, ale niektóre jego własności interesują także „poważnych” teoretyków liczb. Chodzi między innymi o wyłuskiwanie z tego ciągu wyrazów o określonych własnościach, na przykład liczb, których dzielnikami są określone liczby naturalne, liczb pierwszych lub kwadratów.

Czy istnieje liczba, która nie może być dzielnikiem żadnej step-liczby? Nietrudno dowieść, że nie ma takiej mnożnej, której żadna wielokrotność nie byłaby step-liczbą. Zawsze można znaleźć taki mnożnik, zwykle niemały i niejeden, że iloczyn będzie miał postać s&(s+1). Na przykład, dla 19 jest to co najmniej 117, bo 19×117=2223. Właściwie takich mnożników jest dla konkretnej mnożnej nieskończenie wiele. Dla 2m-cyfrowych iloczynów tworzą one ciągi arytmetyczne skończone o różnicy 10^m+1, czyli dla 19 i m=2 jest to ciąg 117, 218, 319, 420, 521 (kolejne iloczyny: 2223, 4142, 6061, 7980, 9899). Dla m=3 (różnica mnożników 1001) ciąg mnożników jest znacznie dłuższy (47 wyrazów), a ciąg iloczynów zaczyna się od 111 112 (19×5848), a kończy na 985 986 (19×51 894).

Jeśli chodzi o liczby pierwsze, to wśród step-liczb jest ich pod dostatkiem (23, 67, 89, 1213, 3637, 4243, 5051, 5657, 6263, 6869, 7879, 8081, 9091, 9293, 9697, 10 2103, …), choć – jak to z liczbami pierwszymi bywa – trudno doszukać się wśród nich jakichś prawidłowości czy regularności. Poza jedną: trafiają się w tym ciągu liczby pierwsze bliźniacze, a właściwie ich odpowiedniki, czyli pary, których zarówno pierwsze połówki, jak i drugie różnią się o 2, np. 67 i 89, 7879 i 8081, 9091 i 9293, 276 277 i 278 279. Czy takich par jest nieskończenie wiele? – tego, podobnie jak w przypadku liczb pierwszych bliźniaczych, nie wiadomo. Przy okazji warto zwrócić uwagę na wyjątkową własność aktualnie bliskiej nam step-liczby 2021: jest ona iloczynem dwu liczb pierwszych kolejnych (43×47). Następna step-liczba o takiej własności jest gigantem złożonym z 72 cyfr – iloczynem dwu 36-cyfrowych liczb pierwszych bliźniaczych (rys. 2).

W przeciwieństwie do liczb pierwszych step-kwadraty to rzadkość. Przed tysięczną step-liczbą są tylko 4, podczas gdy liczb pierwszych do tysiąca mamy 117. Ciekawa jest metoda szukania kwadratowych step-liczb bez wsparcia komputerowego, a właściwie ciekawe jest znajdywanie tej metody, zaczynające się od przekształcenia wzoru:

10^ms+(s+1)=x²

do postaci:

s(10^m+1)=x²–1=(x–1)(x+1)

Wyrażenie 10^m+1 nie może być liczbą pierwszą (wówczas x² składałoby się z więcej niż 2m cyfr), ani potęgą o wykładniku większym niż 1, więc musi być iloczynem przynajmniej dwu liczb S₁×S₂. Podobnie s jest iloczynem s₁×s₂.

Teraz wystarczy rozwiązać dwa układy równań:

x+1=S₁s₁

x–1=S₂s₂

oraz

x+1=S₂s₂

x–1=S₁s₁

Po wyeliminowaniu x pierwszy układ sprowadza się do równania S₁s₁–S₂s₂=2, a drugi do S₂s₂–S₁s₁=2. Praktycznie oba równania można zastąpić jednym: S₁s₁–S₂s₂=±2

Dla m=3 10^m+1=1001=7×11×13, a zatem szukanie sześciocyfrowych step-kwadratów polega na rozwiązywaniu równań:

(1) 7s₁–143s₂=±2

(2) 11s₁–91s₂=±2

(3) 13s₁–77s₂=±2

W kolejnych równaniach trzeba znaleźć wielokrotności 143, 91 i 77 (s₂) większe lub mniejsze o 2 odpowiednio od wielokrotności 7, 11 i 13 (s₁) – oczywiście takie, aby iloczyn s=s₁×s₂ był trzycyfrowy.

Z (1) otrzymamy pary (s₁, s₂) równe (61, 3) i (82, 4), a stąd kwadraty 183 184 (428²) i 328 329 (573²); z (2) – (66, 8), czyli kwadrat 528 529 (727²); z (3) – (65, 11), a więc ostatni 6-cyfrowy kwadrat 715 716 (846²). Warto zauważyć, że równania (2) i (3) dają jeszcze pary (3, 25) i (2, 12), którym odpowiadają osobliwe 6-cyfrowe step-kwadraty z zerem nieznaczącym na początku: 075 076 (274²) i 024 025 (155²).

Dla m=4 szukanie step-kwadratów ogranicza się do jednego równania, bo 10 001=73×137, czyli:

73s₁–137s₂=±2

Obliczenia są bardziej żmudne, więc trzeba się wspomóc choćby kalkulatorem, aby znaleźć parę (s₁, s₂)=(107, 57), która jako jedyna daje iloczyn 4-cyfrowy i kwadrat 60 996 100 (7810²). Gdyby ktoś z Czytelników miał ochotę szukać kwadratów dla m=5, to zapewne przyda się podpowiedź, że 100 001=11×9091, a do znalezienia są dwa step-kwadraty.

Schodko-liczbowe tematy lżejszego kalibru, czyli bliższe łamaniu głowy niż czystej matematyce, wypada zacząć od schodków łacińskich. To krewniak kwadratu łacińskiego, stanowiącego podstawę wielu łamigłówek, w tym popularnego sudoku. Instrukcja obsługi zadania w podstawowej formie brzmi niemal tak samo, jak w przypadku kwadratu: schodkowy diagram należy wypełnić cyframi tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie znalazło się r różnych cyfr – od 1 do r, gdzie r jest liczbą kratek tworzących dany rząd; niektóre cyfry są ujawnione. W diagramie istotny jest pewien chwyt konstrukcyjny: gdyby stopnie schodków były jednokratkowe, czyli diagram wyglądał na przykład tak, jak na rys. 3, to zadanie nie miałoby sensu, bo rozwiązanie byłoby zawsze tylko jedno. Zatem długość lub/i wysokość każdego stopnia powinna być przynajmniej dwukratkowa, a zadanie może wyglądać choćby tak, jak na rys. 4.

Nieco dalszym kuzynem kwadratu łacińskiego są multischodki – łamigłówka polegająca na wpisywaniu do diagramu cyfr, tworzących liczby. Ściślej: liczby wpisuje się wzdłuż łamanej linii schodkowej. Stopnie schodków są jednokratkowe, a kierunek wpisywania do odgadnięcia – prawo- lub lewoskośny, w górę lub w dół. Cyfry w kratkach mogą być wspólne dla różnych liczb, a na początku kilka cyfr znajduje się już we właściwych kratkach. Obowiązuje „łacińska” zasada, czyli taka sama cyfra nie może się powtórzyć w tym samym rzędzie (wierszu lub kolumnie). Przykład na rys. 5.

Na łamigłówkowych mistrzostwach USA w roku 2000 debiutowało zadanie nazwane schodkami działań, choć jego schodkowa forma nie zawsze jest zbyt wyrazista – jak w przykładzie na rys. 6. Do dziewięciu pól należy wpisać dziewięć różnych liczb jednocyfrowych (od 1 do 9) tak, aby każda równość oznaczona kolorowym paskiem była poprawna. Cyfry dryblasy w wąskich polach „obsługują” więcej niż jedno działanie. Pod przykładem znajduje się zadanie, którego kształt także jest lekko schodkowy.

Wątpliwości, co do formy, nie budzą natomiast trójschodki na rys. 7. Do każdego ciągu x stopni oznaczonych jednakowym kolorem należy wpisać x różnych cyfr od 1 do x (dodatkowo zakres podany jest u dołu każdych schodków). Kilka cyfr znajduje się już na właściwych miejscach, a rozmieszczenie wszystkich powinno spełniać dwa warunki:

– jednakowe cyfry nie mogą występować także w żadnym wierszu ani kolumnie prostokątnego diagramu;

– liczby w sąsiednich polach tego samego koloru (wspólny róg lub bok) nie mogą być kolejnymi, czyli muszą różnić się przynajmniej o 2.

Przed łamigłówkami konkursowymi proponuję jeszcze pogimnastykować umysł nad lekko zakręconym zadaniem metafizycznym, w którym liczby pojawiają się niejako obok schodków.

Między piekłem a niebem każdy ma swoje schody, dla innych niedostępne. Przychodzi na świat na jednym ze stopni. Po pierwszym roku i po każdym następnym robi krok na sąsiedni stopień – w górę lub w dół. Jeśli stopień, na którym spędził miniony rok jest biały, robi krok ku niebu, czyli w górę, jeżeli stopień jest czarny – przemieszcza się w dół, ku piekłu. Biały lub czarny jest każdy stopień, ale po zejściu zeń jego kolor zmienia się na przeciwny.

Jakiekolwiek by było na początku rozmieszczenie białych i czarnych stopni, chodzenie po schodach nie może trwać wiecznie. Wcześniej czy później trzeba trafić do nieba lub do piekła. Jeśli założymy, że najpóźniej po 120 latach, to ile stopni mają schody i jaki jest wzór ogólny na liczbę stopni, umożliwiającą najdłuższe (nie ograniczone do 120 lat) wędrowanie po schodach?

Zadania

1. W kratki tworzące schodki łacińskie o czterech nierównych stopniach, przypominające „wygryziony” kwadrat (rys. 8), należy wpisać liczby tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie znalazło się x różnych liczb obejmujących zakres od 0 do x–1, gdzie x to liczba kratek tworzących dany rząd. W najdłuższych rzędach – czterech lewych kolumnach i czterech dolnych wierszach – znajdą się więc cyfry od 0 do 9. Tuzin cyfr trafił już do właściwych pól. Jako rozwiązanie wystarczy podać, ile kratek z taką samą liczbą tworzy najdłuższy ciąg kratek połączonych rogami i jaka liczba jest w tych polach.

2. To zadanie jest multischodkami (rys. 9), których sposób rozwiązywania opisany jest wyżej. W rozwiązaniu wystarczy podać cyfry, które trafią do różowych kratek na przekątnej – kolejno od dołu do góry (zamiast pustych kratek można wpisać zero).

3. Z kompletu 28 kamieni domina – od 0–0 do 6–6 – ułożono schodki, ale na rysunku tego układu (rys. 10) brakuje granic między kamieniami. Należy odtworzyć te granice. W rozwiązaniu wystarczy podać, ile kamieni w układzie leży poziomo, czyli ich dłuższy bok jest równoległy do podstawy schodków. Dla usprawnienia rozwiązywania pod schodkami znajduje się komplet domina – można z niego wykreślać kamienie, których granice zostaną oznaczone.

4. Jeśli do pól schodkowego diagramu na rys. 11 (z lewej) wpiszemy dziesięć różnych cyfr – od 0 do 9 – to w pięciu rzędach i w czterech kolumnach pojawią się (jak w krzyżówce) liczby 2-cyfrowe. Każdą z tych dziewięciu liczb rozkładamy na czynniki pierwsze (jeśli nie jest liczbą pierwszą) i z każdego rozkładu wybieramy jeden czynnik – największy lub jeden z równych największych. Na przykład, z rozkładu 45 wybralibyśmy 5, a z rozkładu 54 – 3. Zadanie polega na takim rozmieszczeniu cyfr w schodkach, aby suma wszystkich wybranych największych czynników była jak największa. Dwucyfrowa liczba może:

– zaczynać się zerem – wtedy traktujemy ją jako jednocyfrową;

– być liczbą pierwszą, ale wtedy jest pomijana, czyli odpowiada jej czynnik zero.

Za poprawne będą uznawane rozwiązania z sumą równą nie mniej niż 90% możliwej do uzyskania sumy maksymalnej.

Na rys. 11 (z prawej) znajduje się przykładowe rozwiązanie z wypisanymi czynnikami poszczególnych liczb oraz ich sumą (164) – za małą, aby została uznana za poprawną.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 kwietnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 04/21. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Niedokończona rewolucja Einsteina. W poszukiwaniu tego, co leży poza granicami teorii kwantowej Lee Smolina ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru lutowego

1. Piesek kwadrylowy ma 6 różnych rozwiązań (rys. 12). Szare prostokąty oznaczają miejsca dubletów.

2. Kwadryl z otworami ma 2 różne rozwiązania (rys. 13).

3. Ułożony z trójkowego kompletu domina q-kwadryl może być prostokątem, czyli mieć 4 kąty – przykład na rys. 14.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Lindsaya McCrae Rok wśród pingwinów, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Bartłomiej Goldman z Nadarzyna, Jakub Majchrzak z Sierakowa, Grażyna Paluch z Warszawy, Andrzej Pańka z Brześcia Kujawskiego, Michał Różycki z Krakowa.