Triumf toroidalności, czyli liniatury według LeWitta

Dziewięć kwadratowych jednostronnych płytek na rys. 1a tworzy kompletny zestaw elementów pewnej układanki. Na każdej płytce jest inny układ przepoławiających ją odcinków – ortogonalnych (O) i diagonalnych (D). Komplet obejmuje wszystkie różne układy. Płytki wolno obracać, ale z jednostronności wynika niemożność odwracania, więc w komplecie są dwie, będące względem siebie odbiciami lustrzanymi.

Pod koniec XX wieku matematyk amerykański Barry Cipra sformułował zadanie, które w ogólnej postaci, dotyczącej podobnych układanek, sprowadza się do pytania: czy z danego kompletu płytek można zbudować spójny dominowo kwadrat? Spójność dominowa oznacza dopasowanie wzorów na każdej parze stykających się płytek; w tym przypadku odcinek O na jednej płytce powinien być przedłużeniem odcinka O na drugiej i tak samo dla odcinków D, czyli spójność dotyczy zarówno boków (odcinki O), jak i rogów (odcinki D).

Dysponując takim kompletem kwadratów wyciętych z kartonu, można próbować praktycznie uporać się z zadaniem. Układanka wciąga, ale nie gwarantuje happy endu. Nietrudno spasować osiem płytek, na przykład tak, jak na rys. 1b, ale nie sposób dopełnić kwadratu 3×3 dziewiątą – chyba że zastosujemy „podstęp” taki, jak na rys. 1c.

Niepowodzenie łatwo wyjaśnić: na płytkach znajduje się 10 odcinków O, zaś warunek spójności wymusza w układanym kwadracie linie łączące boki kwadratu złożone dokładnie z 3 takich odcinków. Ponieważ 10 nie jest podzielne przez 3, więc jeden odcinek nie wejdzie w skład tych linii (ewentualnie dwóch zabraknie), czyli kwadrat nie powstanie. Nadzieję na happy end daje jednak modyfikacja układanki, ale przedtem złożymy krótką wizytę w… galerii.

Sol LeWitt (1928–2007) był amerykańskim artystą zaliczanym do przedstawicieli trudnej do zdefiniowania sztuki konceptualnej, a ściślej do związanego z nią minimalizmu. Większość jego dzieł składa się z prostych obiektów geometrycznych – linii, figur, brył ograniczonych do pojedynczych lub wielokrotnie powtórzonych elementów. W roku 1973 powstała akwaforta, której „uzupełnioną kopię” przedstawia rys. 2. Uzupełnieniem, którego brak na oryginale, jest pusty kwadrat w prawym dolnym rogu. Praca nosi długi tytuł: „Straight Lines in Four Directions and All Their Possible Combinations”, czyli Linie proste w czterech kierunkach i wszystkie ich możliwe kombinacje. Z grafiki i tytułu wynika, że jeśli wśród 15 przedstawionych figur są dwie, z których jedna powstaje z drugiej w wyniku obrotu lub/i odbicia lustrzanego, to figury te uważane są za różne. Zainspirowane tą grafiką zadanie Cipry polega na ułożeniu z 16 płytek na rys. 2 spójnego dominowo kwadratu 4×4, w którym wszystkie figury powinny zachować odmienność, czyli obroty, a tym bardziej odbicia lustrzane są wykluczone – orientacja poszczególnych płytek w ułożonym kwadracie musi być taka sama, jak na rys. 2. Tym razem istnieje szansa na rozwiązanie, bo odcinki O muszą tworzyć linie czwórkami, a wszystkich jest 16, czyli wielokrotność 4.

Odzew czytelników na to zadanie – opublikowane w 1999 roku jako rozrywkowy dodatek w popularnonaukowej publikacji, przedstawiającej najciekawsze osiągnięcia matematyki współczesnej – był zaskakująco duży. Większość rozwiązujących zaczynała od wyodrębnienia dwóch „podzadań”. Najpierw usuwano z płytek linie poziome i pionowe, uwzględniając w układzie tylko ukośne. Jednostkowych odcinków ukośnych (przekątna płytki) wznoszących się lub opadających jest osiem, więc tyle powinna wynosić sumaryczna długość linii jednakowo skierowanych, łączących brzegi kwadratu 4×4. Możliwych jest zatem sześć grup odcinków o długościach: (4, 3, 1), (4, 2, 2), (4, 2, 1, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 1, 1), (3, 2, 2, 1), a to przekłada się na osiem całkowicie różnych układów równoległych linii ukośnych w kwadracie (rys. 3). Łącząc parami (nakładając na siebie) te układy – po obróceniu jednego z nich względem drugiego o 90° – utworzymy wszystkie możliwe schematy linii ukośnych. Po uwzględnieniu symetrii i usunięciu części z nich pozostanie 28 różnych schematów. Dalej trzeba próbować wpasować w te układy dwie linie poziome i dwie pionowe – oczywiście tak, aby po tej czynności kwadrat zawierał komplet 16 różnych płytek. Ten sposób rozwiązywania jest długi i żmudny – nawet jeśli skorzystać z paru dróg na skróty.

Matematyk John Horton Conway (1937–2020), znany z aktywności także na rekreacyjnym poletku, zaproponował inną metodę – krótszą i elegancką. Kluczem do niej są dwie grupy symetrii zwane też grupami permutacji. W celu ich przedstawienia wygodnie jest na wstępie skorzystać z pary rezultatów wspomnianego wyżej żmudnego sposobu. Chodzi o dwa z możliwych schematów rozmieszczenia w kwadracie linii ukośnych (rys. 4). Pierwszy z nich (4a) uzupełniony jest czerwonymi liniami O do pełnego rozwiązania (wszystkie, różne płytki; dominowo spójny układ). Natomiast próby równie efektywnego dopełnienia liniami O diagramu 4b są bezcelowe. Jakkolwiek by je poprowadzić, powstały układ nigdy nie obejmie kompletu płytek; zawsze zabraknie dwóch lub trzech, a w ich miejsce pojawi się tyle samo zdublowanych.

Rozwiązanie 4a ma istotną, ciekawą własność: po przeniesieniu pierwszej kolumny płytek za czwartą lub ostatniej przed pierwszą rozwiązanie nie zostanie „popsute”, czyli dominowa spójność będzie zachowana; podobnie przeniesienie pierwszego wiersza na dół lub ostatniego na górę nie zaburza poprawności rozwiązania (rys. 5). Poprawność pozostaje po każdym z trzech kolejnych takich przeniesień w tym samym kierunku (po czwartym układ wraca do stanu początkowego). Taka dwukierunkowa okrężna trwałość spójności zwana jest toroidalną, cechuje bowiem układ 4×4 po nadaniu mu formy torusa – powierzchni, która przypomina kształtem dętkę lub obwarzanek (aby kwadrat zmienić w torus, należałoby go „podnieść” z płaszczyzny, wygiąć w łuk i połączyć jego przeciwległe boki, tworząc walec, a następnie zaokrąglić walec, łącząc jego podstawy; bliższy kwadratowego oryginału byłby jednak „kanciasty torus”, czyli toroidalny 16-ścian – taki, jak na rys. 6). Wszystkie 16 otrzymanych w ten sposób bliźniaczych rozwiązań tworzy toroidalną grupę symetrii rzędu 16.

Dlaczego toroidalny układ linii ukośnych z rys. 4a prowadzi do rozwiązania, a pozbawiony tej własności układ z rys. 4b nie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, warto na wstępie zwrócić uwagę na inną cechę rozwiązania 4a: jeśli odcinki pionowe usunąć z wszystkich płytek, na których się znajdują, a dorysować je na płytkach, które ich nie zawierały, to układ pozostanie dominowo spójnym rozwiązaniem. Dotyczy to także każdego innego rodzaju odcinków. Na przykład, po skasowaniu przekątnych rosnących z wszystkich płytek na rys. 4a i dorysowaniu ich na ośmiu płytkach, na których przedtem ich nie było (czerwone na rys. 7), powstanie inne w pełni poprawne, spójne rozwiązanie (warto zauważyć, że układ linii ukośnych jest na nim bardzo podobny do błędnego układu na rys. 4b – tylko jedna przekątna płytki przeniesiona jest z lewego dolnego rogu do prawego górnego). Ten sposób przekształcania prowadzi do 16 bliźniaczych rozwiązań tworzących grupę symetrii rzędu 16, którą Conway nazwał – odwołując się do Sartre’a – egzystencjalną.

Korzystając z „przekształceń egzystencjalnych”, można każde rozwiązanie doprowadzić do postaci zwanej standardową – takiej, w której płytka pełna (z czterema odcinkami) znajdzie się w lewym górnym rogu. Jeśli więc zaczniemy rozwiązywanie od takiego właśnie ulokowania pełnej płytki, to powinniśmy dotrzeć do wszystkich geometrycznie różnych rozwiązań. Za geometrycznie różne uważamy każde dwa, z których jednego nie można zmienić w drugi, stosując przekształcenia właściwe trzem grupom symetrii – toroidalnej, egzystencjalnej oraz elementarnej 8 rzędu, czyli obejmującej obroty i odbicia lustrzane.

Pozycję startową z narożną pełną płytką można od razu uzupełnić wynikającymi z dominowej spójności trzema liniami (rys. 8). Jedną z nich jest opadająca linia ukośna złożona z czterech przekątnych płytek, czyli odcinków D. W sumie takich opadających odcinków jest na płytkach osiem, zatem cztery pozostałe powinny złożyć się na inne linie opadające. Uwzględniając symetrię, linie te można poprowadzić na cztery różne sposoby – takie, jak na czterech diagramach na rys. 3 – od a do d. Przynajmniej jeden z tych czterech układów linii musi prowadzić do rozwiązania. Łatwo zauważyć, że w dwóch z nich (3b i 3c) występuje spójność toroidalna, więc chociaż jeden z nich na pewno stanowi zalążek rozwiązania.

Układ na rys. 9a jest połączeniem rys. 3a i 8. Kontynuując jego rozwiązywanie, łatwo ustalić, że druga linia pozioma powinna znaleźć się w dolnym wierszu płytek, a druga pionowa w prawej kolumnie (rys. 9b). Tak musi być, ponieważ tylko wówczas w diagramie pojawią się dokładnie 4 płytki z przekątną opadającą przeciętą odcinkiem poziomym oraz 4 z przekątną opadającą i odcinkiem pionowym – czyli tyle, ile powinno ich być (gdy linie O będą w innych rzędach, wymienionych rodzajów płytek będzie mniej lub więcej niż 4). Tylko że przy takiej liniaturze w dwóch rogach kwadratu występują dwie jednakowe płytki (żółte) i żadnej z nich nie można zmienić na pełną, bo taka już jest, więc do końca pozostaną identyczne – a to jest wykluczone. Do analogicznej sprzeczności prowadzi rozwiązywanie układu łączącego rys. 3d i 8. Tutaj linie O muszą znaleźć się w trzecim wierszu i trzeciej kolumnie (rys. 9c) i także pojawiają się dwie jednakowe płytki (żółte).

Wyeliminowanie układów 3a i 3d dowodzi, że w rozwiązaniu musi występować spójność toroidalna, jak w układach 3b i 3c. Wprawdzie w tych dwu układach toroidalność dotyczy przekątnych opadających, ale ze względu na symetrię obowiązuje także linie ukośne wznoszące się.

Dalsze szukanie rozwiązań będzie prostsze, jeśli zauważyć, że cztery linie O na rys. 9b i 9c wyznaczają kwadrat, czyli przecinają się w rogach kwadratu, a ponieważ układy na tych dwu rysunkach wykluczają rozwiązanie, więc można podejrzewać, że przyczyną nierozwiązywalności jest takie właśnie położenie linii O. I rzeczywiście, łatwo sprawdzić, że w polach, których środki są rogami kwadratu, nie sposób rozmieścić czterech płytek z dwoma odcinkami O (rys. 10) tak, by dominowa spójność całego układu była zachowana.

Pozostało zatem przenalizować układy łączące rys. 3b i 8 (rys. 11a) oraz 3c i 8 (rys. 11b), ale droga do celu będzie prostsza i krótsza, jeśli zacząć od rys. 8 inaczej. Otóż jedyny możliwy sposób poprowadzenia na tym rysunku dwu linii O to czerwone linie na rys. 12. Każdy inny sposób jest względem tego sposobu symetryczny, uwzględniając trzy grupy symetrii – toroidalną, egzystencjalną i/lub obrotowo-odbiciową – oraz to, że linie O nie mogą wyznaczać kwadratu. Trzeba pamiętać o tym, że linie O, które na rysunkach łączą brzegi kwadratu, są na torusie zamknięte, a wówczas warunek, aby nie tworzyły kwadratu, jest bardziej „restrykcyjny”. Na rys. 12 oznaczone są także:

– zielona linia; konieczna ze względu na jej toroidalność względem wznoszącej się przekątnej narożnej pełnej płytki;

– dwie puste kratki (żółte), z których w rozwiązaniu pusta powinna pozostać oczywiście tylko jedna.

Teraz rys. 12 stanowi klucz do wszystkich geometrycznie różnych rozwiązań. Ilu? – oto jest pytanie.

Zadania

1. Należy dokończyć rozwiązywanie zadania, korzystając z układu na rys. 12, czyli odpowiednio umieszczając na nim brakujące linie D. Ostatecznie wystarczy odpowiedzieć na pytanie: ile jest geometrycznie różnych rozwiązań?

2. Jeśli na rys. 2 zlikwidować odstępy między płytkami, powstanie kwadrat taki, jak na rys. 13. Niebieskie linie wyznaczają w nim 5 mniejszych kwadratów (różowe). Które dwie płytki trzeba zamienić miejscami (bez obracania), aby niebieskich kwadratów było 7?

3. Formalnie bardzo podobna do układanki wg LeWitta jest japońska łamigłówka Senwohiku („narysuj linie”). W kwadratowy diagram należy wrysować linie O i D, biegnące białymi korytarzami i łączące brzegi kwadratu. Linie te mogą krzyżować się w środkach „płytek”, tworzących diagram. Liczby przy brzegach oznaczają sumę linii uczestniczących w poszczególnych skrzyżowaniach w danym wierszu lub kolumnie (ta sama linia O uwzględniana jest w sumie tyle razy, ile tworzy skrzyżowań).

Litery przy brzegach umożliwiają zapis rozwiązania. Dla przykładu nad zadaniem zapis ten wygląda tak: (C,E–)(b|)(e,g,B\)(aB/).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 08/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką 100 rzeczy, których nie wiesz o swoim ciele Andrzeja Fedorowicza ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru czerwcowego

1. Suma cyfr w żółtych polach – 23 (pełne rozwiązanie na rys. 15a).

2. Suma cyfr w żółtych polach – 18 (pełne rozwiązanie na rys. 15b).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Johna Gribbina Sześć niemożliwych rzeczy. Kwanty ukojenia i tajemnice subatomowego świata, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Blanka Brysiak z Warszawy, Elżbieta Gołdyn z Wrocławia, Adrian Gracz ze Skawy, Katarzyna Guła z Warszawy, Krzysztof Młodawski z Koła.