Odwrotki – reaktywacja, czyli śladami 1089
Matematyka „poważna” nie obejmuje swoim zakresem działania arytmetycznego, polegającego na odwracaniu kolejności cyfr liczby, czyli zapisywaniu jej wspak. Inaczej mówiąc, chodzi o tworzenie tzw. odwrotek. Na marginesie elementarnej teorii liczb pojawia się jednak funkcja R (reverse) – R(x®)=¬x, czyli np. R(1234)=4321, choć nie wiąże się ona z żadnym szerszym tematem, ani tym bardziej z jakąś teorią. Dotyczy głównie drobnych zagadnień lub ciekawostek i osobliwości arytmetycznych, a najczęściej gości w zadaniach. Oto przykład:
W minionym tysiącleciu (1020–2019) był tylko jeden rok wyrażający się liczbą, której odwrotka jest jej wielokrotnością (przynajmniej dwukrotnością) – R(1089)=9801=1089×9. Odwrotka którego roku w tym samym tysiącleciu różniła się (była mniejsza lub większa) dokładnie o 3 od jego wielokrotności?
Zadanie nie jest trudne, choć nieco żmudne obliczeniowo. Na początek warto wykluczyć wiek XXI. Przy okazji można zauważyć, że rok 2001 jest rozwiązaniem częściowo odwrotnego zadania, tzn. jest o 3 mniejszy od dwukrotności swojej odwrotki. Ponieważ jedynką kończy się odwrotka każdego roku minionego tysiąclecia, więc jeśli ma się ona różnić o 3 od wielokrotności roku, to ostatnią cyfrą wielokrotności musi być 4 lub 8. Stąd wynikają mnożenia „szkieletowe”, z których do sprawdzenia kwalifikuje się pięć (rys. 1).
Tylko jedno z tych działań nie prowadzi do celu. Każde z czterech pozostałych daje po jednym rozwiązaniu. Dotarcie do nich pozostawiam na razie Czytelnikom (kto chce spróbować, powinien teraz przerwać czytanie, bo dalej wyniki są ujawnione). A przy okazji proponuję niematematyczne pytanie dodatkowe: czy któreś z tych czterech lat wiąże się z jakimś znaczącym wydarzeniem z historii Polski?
Nie ma liczb krótszych niż 4-cyfrowe, których wielokrotności byłyby ich odwrotkami (pomijamy równe swoim odwrotkom liczbowe palindromy). 4-cyfrowe są tylko dwie: wspomniana 1089 oraz jej dwukrotność – 2178 (8712:4). Nie ma też takich liczb dłuższych niż 4-cyfrowe, które nie byłyby jakoś skoligacone z tymi dwiema 4-cyfrowymi. Koligacje polegają na łączeniu kopii tych liczb ciągami zer oraz ich przepoławianiu ciągami dziewiątek, zaś efektem końcowym powinna być liczba z symetrycznym rozmieszczeniem 4-cyfrowych „protoplastów”, zer i dziewiątek. Na przykład:
10989001099890010989×9=98901009899010098901
219978000219978×4=879912000879912
Nietrudno się domyślić, dlaczego w podanym wyżej zadaniu, które pochodzi z niemieckiej olimpiady matematycznej dla szkół średnich, wymagana różnica (dw-o) między wielokrotnością (w) a odwrotką (o) liczby (Ld) wynosi 3, a nie mniej. Gdyby bowiem była równa 1 lub 2, to zadanie nie miałoby rozwiązania. Wielokrotność żadnej liczby oznaczającej rok minionego tysiąclecia, czyli zawartej między 1020 a 2019, nie różni się o 1 lub 2 od swojej odwrotki. W ogólnym przypadku, czyli dla dowolnej różnicy dw-o, rozwiązaniem może być wyłącznie liczba Ld, której pierwsza cyfra jest przynajmniej dwukrotnie mniejsza od ostatniej, czyli nie większa niż 4. To oczywiste, bo gdyby była większa od 4, wtedy jej wielokrotność byłaby o jedną cyfrę dłuższa od odwrotki. Z kolei warunek konieczny (ale nie dostateczny), aby dw-o≤3, brzmi: pierwsza cyfra liczby powinna być nie większa niż 3.
W tabeli znajdują się wszystkie pierwotne Ld dla których -3≤dw-o≤+3. Pierwotnymi są te, które nie powstają w wyniku modyfikacji mniejszych liczb, czyli – ogólnie mówiąc – łączenia ich i/lub uzupełniania jakimiś cyframi, zwykle zerami lub dziewiątkami, w rezultacie czego powstają Ld wtórne. Nie wszystkie pierwotne Ld są źródłem wtórnych; cztery czerwone w tabeli – nie są. W ciągach liczb wtórnych podanych pod tabelą widoczne są sposoby ich tworzenia z każdej czarnej liczby pierwotnej (oprócz 1089 i 2178).
37 – 397, 3997, 39997,…
25 – 295, 2995, 29995,…
28 – 298, 2998, 29998,…
17 – 197, 1997, 19997,…
12 – 102, 1002, 10002,…
16 – 166, 1666, 16666,…
159 – 1509, 15009, 150009,…
Wśród Ld zarówno pierwotnych, jak i wtórnych, trudno doszukać się jakichś ogólnych prawidłowości. Zestaw liczb robi wrażenie chaotycznego, a jeden z ciągów, zaczynający się od Ld=16, powstaje w nietypowy sposób – między cyfry wstawiane są szóstki, a nie, jak w pozostałych przypadkach, dziewiątki lub zera. Osobliwe jest też na przykład to, że 1038 wygląda, jakby była liczbą wtórną od 138 – po uzupełnieniu zerem na podobnej zasadzie jak w parze 159 i 1509. Wreszcie gdyby szukać liczb Ld dla większych i mniejszych wartości dw-o, okazałoby się, że na przykład dla czterech jednocyfrowych (-4, +5, +7, -8) Ld nie istnieje. Inaczej mówiąc, nie ma takiej liczby Ld, której odwrotka po odjęciu 4 lub 8 albo po dodaniu 5 lub 7 byłaby podzielna przez Ld.
Wzajemnej podzielności i niepodzielności liczb i ich odwrotek bliski jest temat podzielności obu przez liczby „trzecie”. Chodzi o takie liczby podzielne przez n, których odwrotki także dzielą się przez n. Zacząć warto od stwierdzenia, że odwrotka każdej liczby podzielnej przez 3 jest podzielna przez 3. To samo dotyczy liczb podzielnych przez 9 i 11, choć dla 11 nie jest to już tak oczywiste, więc przyda się wyjaśnienie. W tym celu najprościej, podobnie jak dla 3 i 9, przypomnieć odpowiednią cechę podzielności: liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica między sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych, a sumą cyfr na miejscach parzystych dzieli się przez 11. Ponieważ jednak nie ma znaczenia, od której strony liczymy miejsca parzyste i nieparzyste, więc podzielność przez 11 odwrotki zostaje zachowana.
A czy istnieje taka liczba d, że odwrotka żadnej liczby podzielnej przez d nie dzieli się przez d? Sprawdźmy kolejne liczby d oprócz uwzględnionych już 3, 9 i 11. Przypadki d=2, 4, 8, 16, … możemy uogólnić: odwrotka każdej liczby podzielnej przez d=2k jest podzielna przez 2k, jeśli odwrotka k końcowych cyfr tej liczby również jest podzielna przez 2k. Niezbyt interesujące są także liczby podzielne przez 5 i 6 – zachowują one podzielność odwrotek, gdy zaczynają się odpowiednio piątką lub liczbą parzystą. Ciekawsze są wielokrotności siódemki. Te, których odwrotki także dzielą się przez 7, tworzą ciąg: 7, 70, 77, 161, 168, 252, 259, 343, 434, 525, 595, 616, 686, 700, 707, 770, 777, 861, 868, 952, 959, 1001, … Tym razem trudno wyjaśnić w prosty sposób – podobnie jak poprzednio, czyli np. korzystając z cech podzielności – dlaczego odwrotki zachowują podzielność. Część z nich jest palindromami, które zapewne należałoby potraktować jako odrębny ciąg (7, 77, 161, 252, 343, 434, 525, 595, 616, …). Być może trzeba by także wyodrębnić wielokrotności dziesięciu (70, 700, 770, 1610, 1680, 2520, …) oraz większe z par liczba-odwrotka, a do analizy pozostawić ciąg mniejszych: 168, 259, 1008, 1071, 1078, 1162, 1169, 1253, 1344, 1435, 1526, 1596, 1617, 1687, 1708, 1778, 1862, 1869, 1953, 2009, … Pozostaje stwierdzić, że cecha podzielności działa „w obie strony”, czyli suma iloczynów kolejnych liczb (niezależnie od tego, z której strony zaczniemy odliczanie) przez kolejne potęgi trójki jest podzielna przez 7. Na przykład dla 1253 zarówno suma 1+2×3+5×9+3×27=133 jak i suma 3+5×3+2×9+1×27=63 są podzielne przez 7. I wreszcie docieramy do liczby, która stanowi odpowiedź twierdzącą na zadane poprzednio pytanie: odwrotka żadnej wielokrotności dziesięciu nie jest podzielna przez 10, bo liczby nie zaczynają się zerem.
Są też liczby podzielne przez n, których odwrotki tylko w pewnych zakresach dzielą się przez n. Należy do nich wspomniany tytułowy 4-cyfrowy „protoplasta” i zalążek wielu arytmetycznych osobliwości – 1089. Odwrotka każdej jego wielokrotności od 2 do 10 dzieli się przez 1089, ale odwrotka 1089×11=11979, czyli 97911 – już nie. Jednak od 12-krotności 1089 podzielność odwrotek przez 1089 powraca, aby w zakresie do 100 ponownie etapami zanikać dla mnożników: 21-22, 31-33, 41-44, 51-54, 56, 61-67, 71-78, 81-89.
Wielokrotności 1089 pojawiają się także w iteracji, polegającej na odejmowaniu odwrotek. Wybieramy dowolną liczbę, tworzymy jej odwrotkę i odejmujemy mniejszą liczbę od większej. Z otrzymaną różnicą postępujemy tak samo i kontynuujemy taką zabawę aż do osiągnięcia stabilizacji. Dojdzie do niej natychmiast, w jednym kroku, jeśli zaczniemy od palindromu, bo wówczas liczba i jej odwrotka będą równe. W pozostałych przypadkach, a ściślej dla wszystkich liczb nie większych niż 1010, takie samo zakończenie, czyli pojawienie się zera po 9 lub po palindromie, nastąpi w co najwyżej 6 krokach. Tak będzie na przykład dla 13:
31–13=18®81-18=63®63-6=27®72-27=45®54-45=9®9-9=0.
Za 1010 następuje przełom: 1011 jest pierwszą liczbą wymagającą 7 kroków:
1101-1011=90®90-9=81… (dalej jak dla 13).
Natomiast przy 1012 pojawia się inna stabilizacja – iteracja wpada w dwuetapowy cykl, który tworzą dwie wielokrotności 1089:
2101-1012=1089®9801-1089=8712®8712-2178= 6534«6534 -4356=2178
Dalej bywa różnie – zero lub dwuetapowy cykl. Liczby w cyklu mogą być dłuższe – n-cyfrowe, jeśli liczba n-cyfrowa zaczyna iterację. Prawie zawsze jednak są skoligacone z parą 2178-6534 na identycznej zasadzie, jak na początku artykułu przy odwrotkach wielokrotności liczb dłuższych niż 1089 i 2178, czyli łączone są ciągami zer oraz przepoławiane ciągami dziewiątek. Jeśli na przykład zaczniemy od jakiejś liczby 15-cyfrowej, to stabilizacją może okazać się cykl 21997800219978«659934000659934. „Prawie zawsze” w poprzednim zdaniu oznacza, że przy wielocyfrowym starcie możliwe są niespodzianki w postaci cyklu 12-, 14-, 17- lub 22-etapowego. Komputerowo sprawdzono liczby do 50-cyfrowych, więc niewykluczone, że dla jeszcze dłuższych liczb można spodziewać się nowych niespodzianek w postaci cykli innej długości. Cykl 12-etapowy pojawia się przy rozpoczynających iterację liczbach 12-cyfrowych, a najmniejszą jest 100010505595 (rys. 2). Czy któreś liczby w tym tuzinowym (ale nie tuzinkowym) cyklu są wielokrotnością 1089? Oczywiście… wszystkie.
ZADANIA
1. Jakie dwie liczby n – oprócz podanych wyżej n=3, 9 i 11 – mają tę własność, że odwrotka każdej liczby podzielnej przez n także dzieli się przez n?
2. Czy suma liczby i jej odwrotki może składać się tylko z liczb nieparzystych, z których każda będzie inna? Odpowiedź „nie” należy krótko uzasadnić, a w przypadku „tak” – podać przykład.
3. Ile różnych liczb całkowitych można przedstawić w postaci odejmowania dwu 5-cyfrowych liczb naturalnych, z których jedna jest odwrotką drugiej?
4. W odejmowaniu dwu liczb pięciocyfrowych występuje sześć różnych cyfr, w tym wszystkie nieparzyste. Trzema końcowymi cyframi dodatniej różnicy są 1, 5 i 9 (niekoniecznie w takiej kolejności). Odjemnik jest odwrotką odjemnej. Jaka jest wartość odjemnika, jeśli wiadomo, że jest on liczbą największą z możliwych.
5. Liczba a=kn+1 jest odwrotką liczby b=km+1. Jakimi liczbami są a i b, jeśli k>1 oraz n≠m?
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 29 lutego br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 02/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Ryana Northa Jak wynaleźć wszystko. Cała wiedza ludzkości w jednej książce ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.
Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl
***
Rozwiązania zadań z numeru grudniowego
1. Wygra człowiek (przy założeniu, że nie można podawać liczb większych niż 1000; w przeciwnym wypadku gra pozostanie nierozstrzygnięta).
2. Wygraną zapewnia wybór przez gracza N liczby 2.
3. Przy docelowej liczbie 20-cyfrowej wygra N (P nie uda się utworzyć liczby podzielnej przez 9). Przy docelowej liczbie 30-cyfrowej wygra P, tworząc wielokrotność dziewięciu.
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Jak nauczyć teorii względności swojego psa Chada Orzela ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Włodzimierz Bąk z Karłowic, Paweł Hołownia z Ożarowa Mazowieckiego, Tomasz Migdałek z Poznania, Kajetan Siepielski z Poznania, Jakub Wawrzyszczak z Ostrołęki.