Rodzina dodamina czyli arytmetyka parami z plusem
Z kompletu domina (rys. 1; układy kropek zastąpiono cyframi) można wybrać dwa kamienie i ułożyć z nich słupkowe mnożenie lub dodawanie – przykłady na rys. 2a. Ze względu na ograniczony zakres cyfr wszystkich takich mnożeń da się ułożyć dziesięć, a dodawań tylko cztery. Nie więcej także dlatego, że w działaniach wykluczamy liczby zaczynające się zerem, czyli pustą połówką kamienia zwaną mydłem. Nie uwzględniamy więc np. takich działań, jak na rys. 2b.
Działania z pary kamieni są jednak nietypowe, bo w praktyce nie mnożymy ani nie dodajemy w słupku liczb jednocyfrowych, dlatego właściwa dominowa arytmetyka zaczyna się od działań z trzech kamieni, czyli np. mnożeń tworzonych zgodnie ze schematem pokazanym na rys. 3 z lewej strony. Obok tego schematu są cztery zgodne z nim ekstremalne przykłady: trzy z najmniejszym iloczynem (100) i jeden z największym (366). Wszystkich 3-cyfrowych liczb, które mogą być iloczynami, jest 59, a wszystkich różnych dominowych tercetów, dających te iloczyny – 75. Różnica stąd, że te same iloczyny mogą być tworzone przez różne tercety; są też dwa przypadki, gdy ten sam tercet daje dwa różne mnożenia: z kamieni 0-5, 1-3 i 2-6 powstanie 26×5=130 lub 62×5=310, zaś 0-5, 2-3, 4-6 owocuje działaniami 46×5=230 lub 64×5=320.
Z artykułu, dotyczącego dominowych mnożeń, zamieszczonego w tej rubryce przed miesiącem, wiadomo, że po odrzuceniu kamienia 0-0, który i tak w 3-kamiennym mnożeniu nie może się pojawić, z pozostałych 27 uda się utworzyć dziewięć mnożeń (rys. 4). Co ciekawe, jest to jedyny zestaw dziewięciu 3-kamiennych mnożeń ułożony z kompletu domina. Gdyby próbować utworzyć analogiczny zestaw 3-kamiennych dodawań, sprawa byłaby znacznie prostsza, a rozwiązań bardzo dużo, choćby ze względu na to, że schematów dodawania jest sześć (rys. 5) lub pięć, jeśli pominąć ostatni z „niepraktycznym” słupkiem z liczb jednocyfrowych. Zadanie byłoby trudniejsze przy warunku, by wszystkie dodawania należały do jednego schematu, np. pierwszego z rys. 5, w którym trzy kamienie leżą poziomo, co – podobnie jak w przypadku zestawu dziewięciu mnożeń – wyklucza kamień 0-0. Przykład takiego zestawu dodawań znajduje się na rys. 6.
Nawiązując do mnożeń, można by też zapytać, czy z jakiegoś tercetu kamieni, tworzącego mnożenie, uda się ułożyć także dodawanie? Takie zadanie stanowi wariant ćwiczenia rachunkowego, polegającego na układaniu działania z podanych cyfr, w tym przypadku z sześciu. To wariant z ograniczeniami, którymi są oczywiście warunki związane z dominem. Gdybyśmy np. dysponowali cyframi 1, 2, 3, 4, 5, 6, to byłoby możliwe obsłużenie dominem mnożenia na jeden sposób, a dodawania na kilka podstawowych sposobów – przykłady na rys. 7. Gdyby jednak wybrać cyfry 2, 4, 4, 5, 6, 6, wówczas dominowe dodawanie nie stanowiłoby problemu (6+6+42=54), ale mnożenie byłoby tylko liczbowe (64×4=256), bowiem w dominowym, co niedozwolone, powtórzyłby się taki sam kamień – 4-6.
Każde dodawanie ułożone z domina zwane jest ogólnie dodaminem, ale podstawowe znaczenie tego określenia dotyczy szczególnego rodzaju dodawań. Chodzi o tzw. kompletne dodawania, czyli tworzone z pełnych kompletów domina, będących podkompletami tradycyjnego domina szóstkowego (rys. 1), na którym wyróżniono podkomplety – każdy składa się z p=(k+1)(k+2)/2 kamieni, obejmujących wszystkie różne pary cyfr – od 0-0 do k-k. Dla k=1 mamy najmniejszy komplet (nieoznaczony na rys. 1), który obejmuje trzy kamienie (0-0, 0-1, 1-1), dla k=2 kamieni jest sześć (0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 1-2, 2-2), dla k=3 – dziesięć itd.
Każde kompletne, a właściwie kompletowe dodamino jest prostokątem m×n złożonym z 2p połówek kamieni, czyli cyfr. Dla k=1 połówek jest 6, co umożliwia utworzenie prostokąta 2×3, ale nie będzie on nigdy dodawaniem-dodaminem. Gdy k=2, połówek jest 12, a szansę na bycie dodaminem ma tylko prostokąt 4×3. Prostokąty 2×6, 6×2 i 3×4 (trzy połówki w podstawie) oczywiście nie wchodzą w grę, bo liczby muszą być przynajmniej trzy i żadna nie może zaczynać się zerem, zatem przy zbyt wysokim prostokącie (n>k+1) pierwsza cyfra sumy byłaby większa od k.
Kluczem do układania dodamina jest suma oczek, czyli cyfr (liczb jednocyfrowych) na połówkach kamieni kompletu. Suma ta wyraża się wzorem
S=k(k+1)(k+2)/2
Dla kompletu dwójkowego (k=2) S=12, więc suma cyfr w sumie dodamina, czyli w dolnym rzędzie utworzonego prostokąta, powinna być równa d=S/2=6. Tę liczbę mogą tworzyć tylko dwa kwartety cyfr z zakresu od 0 do 2 – [0, 2, 2, 2] lub [1, 1, 2, 2]. Drugi kwartet trzeba jednak odrzucić, bo wówczas do ułożenia dodawania zabrakłoby jedynek. Zaczątek dodamina wygląda więc tak, jak na rys. 8 – z trzema możliwymi sumami w dolnym rzędzie: 2022, 2202, 2220. Uzupełnienie go do pełnego prostokąta jest teraz bardzo proste. Niewielkim utrudnieniem mógłby być warunek, aby geometria układu kamieni była dla każdej sumy taka sama. Rozwiązaniem będą wówczas dwa tercety dodamin (rys. 9) – dodawania w każdym tercecie różnią się rozmieszczeniem trzech kolumn cyfr.
Z dziesięciu kamieni domina trójkowego (k=3, S=30) można utworzyć prostokąt 5×4, ale nietrudno udowodnić, że nigdy nie będzie on dodaminem. Skoro d=15, więc sumę dodamina musiałyby tworzyć same trójki, czyli jego zaczątek wyglądałby jak na rys. 10. W każdej z czterech pustych kolumn nad trójkami powinna się wówczas znaleźć przynajmniej jedna jedynka, a zostały tylko dwie, bo w komplecie każda cyfra występuje k+2 razy.
Począwszy od domina czwórkowego (k=4, p=15, S=60), arytmetyka staje się nieco bardziej zawiła, a nawet teorioliczbowa. Prostokąty są dwa – 10×3 oraz 6×5 – i oba mogą być dodaminem na wiele sposobów. W pierwszym, wąskim d=30, więc sumę może tworzyć odpowiednia, co najwyżej 10-cyfrowa partycja liczby 30 złożona z cyfr nie większych niż 4 – uzupełniona zerami do dziesięciu cyfr, jeśli w partycji byłoby ich mniej (partycja lub podział liczby N to zbiór liczb dodatnich, których suma równa jest N). W tym kontekście ciekawym zagadnieniem jest szukanie ekstremalnych sum. Największa dla prostokąta 10×3 odpowiada partycji złożonej z sześciu czwórek, dwóch trójek i dwóch zer, czyli jest liczbą 4 444 443 300. Uzyskanie takiej sumy nie jest jednak możliwe, bo wymagałoby skorzystania z dwóch dubletów 0-0. Dodamino z największą sumą znajduje się na rys. 11. Odwrócenie tej sumy (wspak) nie zmieni jej w minimalną, bo wówczas jeden ze składników zaczynałby się zerem. Najmniejsza suma powinna więc zaczynać się dwójką – dotyczy jej jedno z zadań konkursowych.
W przypadku prostokąta 6×5 teoretycznie suma cyfr w składnikach (c) i suma cyfr w sumie (d) są równe, tzn. byłoby tak, gdybyśmy skorzystali z systemu czternastkowego. Wtedy liczby od 10 do 14 byłyby zapisywane jako cyfry literami od A do E; w przykładowym dodaminie (rys. 12a) c=d=39. W systemie dziesiętnym w kolumnach cyfr w składnikach, których suma jest większa od 10, w sumie d pojawia się tylko cyfra jednostek – B zmienia się w 1, E w 4 – a każda taka sytuacja powoduje zmniejszenie sumy d o 9. W efekcie d maleje do wartości takiej, aby c+d=S, czyli 21 (rys. 12b). Finalna suma w tym dodaminie (444 414) jest największą możliwą dla prostokąta 6×5.
Przy układaniu dodamina warto znać liczbę kolumn cyfr (x), w których może i powinno zachodzić „przesilenie” (suma cyfr większa od 10) oraz możliwą sumę d. Z układu równań c+d=S i c-d=9x wynika wzór d=(S-9x)/2. Stąd m.in. wniosek, że S i x muszą być równocześnie parzyste lub nieparzyste. Dlatego w dodaminie z domina czwórkowego nie może pojawić się tylko jedna kolumna z „przesileniem”.
W przypadku domina piątkowego (k=5, p=21, S=105), gdy prostokąt ma wymiary 3×14 jedno „przesilenie” musi wystąpić. Natomiast dla prostokąta 7×6 nie jest to możliwe, bo wynikająca z podanego wzoru wartość d=48 jest za duża – nie może być większa niż 35 (siedem piątek). Trzy „przesilenia” także nie wystarczą (d=39), chyba że dwa z nich będą podwójne (suma w kolumnie większa od 20). Pojedyncze powinny wystąpić przynajmniej w pięciu kolumnach; wtedy d=30, a c=75.
Szukanie ekstremalnych dodamin z kompletów piątkowego i szóstkowego, a nawet liczniejszych, to zabawa dla komputera. Jej inspiratorem był przed kilkunastu laty brytyjski programista Tony Jollans. Rezultatem okazało się odkrycie dwu prostokątnych dodawań 8×7 z tradycyjnego kompletu szóstkowego – jednego z największą i drugiego z najmniejszą sumą końcową (rys. 13).
Zadania
1. Z siedmiu kamieni (rys. 14) jeden należy odrzucić, a sześć pozostałych podzielić na dwie grupy po trzy kamienie w taki sposób, aby z każdej grupy można było utworzyć zarówno mnożenie, jak i dodawanie. W rozwiązaniu należy podać wszystkie cztery działania.
2. Dodawanie o kształcie pokazanym na rys. 15 należy ułożyć z siedmiu różnych kamieni domina szóstkowego. Wszystkie te kamienie powinny być tzw. dubletami, czyli na połówkach każdego muszą być jednakowe cyfry (0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6). Żadna liczba w dodawaniu nie może być ani zaczynać się zerem.
3. W dodawaniu ułożonym z sześciu kamieni domina dwójkowego, czyli takim, jak dowolne z przedstawionych na rys. 9, każda z trzech cyfr występuje czterokrotnie. Zadanie polega na utworzeniu takiego prostokątnego dodawania 4×3 złożonego z trzech kwartetów cyfr 0, 1, 2, którego ułożenie z domina dwójkowego nie będzie możliwe. Żadna liczba w tym dodawaniu nie może zaczynać się zerem.
4. Na rys. 12 znajduje się dodamino 10×3 z domina czwórkowego z największą możliwą sumą (2 112 330 020+2 332 110 301=444 444 032). Zadanie polega na ułożeniu dodamina o takim samym kształcie z tego samego kompletu, w którym suma będzie minimalna. Zero na początku liczb wykluczamy.
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 6/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Tima Jamesa Spal tę wodę. Jak zmienić wodę w ogień, zrobić diament z masła i inne cuda z krainy pierwiastków ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.
Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl
***
Rozwiązania zadań z numeru kwietniowego
1. Przykłady zapisu 2019 jako liczby Costera (w zapisie każda cyfra 2019 występuje dokładnie dwa razy; dozwolone są tylko cztery podstawowe działania i nawiasy): 201×9+209+1; 201×(9+1)+9+0×2; 102×(20-1)+9×9; (99+2)×20-1/1+0.
2. 549 i 550 to najmniejsza para kolejnych (różniących się o 1) liczb o żądanych własnościach:
– każdą można rozciąć na dwie części tak, że suma cyfr w każdej części-liczbie będzie taka sama: 54|9, 5|50;
– mniejsza z tej pary pomnożona przez 35 daje w wyniku liczbę wampirzą: 549×35=25375=35×725.
3. W zapisie mnożeniem liczby wampirzej (LW) 116725 kolejność prawie wszystkich cyfr jest taka, jak w LW: 161×725; tylko druga i trzecia cyfra są zamienione miejscami.
Bardzo zbliżone, eleganckie dowody, że nie ma takiej LW, w zapisie mnożeniem której kolejność wszystkich cyfr byłaby dokładnie taka, jak w LW, nadesłało kilkunastu czytelników. Poniżej wersja Pana Krzysztofa Szerugi z Wrocławia.
Jeśli założymy, że taka liczba istnieje, to można ją zapisać w postaci n=a×10k+b, gdzie 0≤b<10k, k>0, a>0, b≥0, k, a, b – całkowite oraz a×10k+b=a×b. Stąd a=b/(b-10k), gdzie b-10k<0, więc także a<0, a to ewidentna sprzeczność.
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Mózg, władca czasu. Dlaczego dzień może być krótszy niż godzina, a minuta dłuższa od dnia Deana Buonomano, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Grzegorz Czelusta z Liskowa, Piotr Goczyński z Warszawy, Tomasz Gogolewski z Olsztyna, Łukasz Górski z Torunia, Tomasz Migdałek z Poznania.