Statyka siedmiu klocków czyli tetris bez prądu

30 lat temu Stany Zjednoczone, a wkrótce potem cały świat, podbiła „zwodniczo prosta i podstępnie uzależniająca” rosyjska gra, która powstała cztery lata wcześniej; jej autorem był moskiewski programista Aleksiej Pażytnow. Chodzi, oczywiście, o największy przebój w historii gier komputerowych, czyli tetris, który jednak przebojowo wcale się nie prezentuje. Przeciwnie, w zestawieniu z graficznym i fabularnym bogactwem gier współczesnych wygląda jak ich ubogi krewny. Stanowi zatem potwierdzenie reguły, że sam dobry pomysł nie wystarcza; przynajmniej równie istotna jest jego realizacja we właściwym czasie i okolicznościach. Przypomnę pokrótce – choć to być może niekonieczne, bo mamy do czynienia z evergreenem – na czym polega zabawa.

Na ekranie ukazuje się mały wielokąt (klocek) i powoli opada na dno dużego prostokątnego „naczynia”. Gdy tam dotrze, pojawia się następny, wędrujący w dół, po nim kolejny itd. Każdy jest tzw. tetrominem, czyli składa się z czterech kwadratów. Różnych tetromin jest siedem; wszystkie mają jednoliterowe nazwy związane z ich kształtem (rys. 1). W trakcie opadania można je przesuwać na boki i obracać. Celem pośrednim jest możliwie szczelne wypełnianie prostokąta. Jeśli jego boki zostaną połączone ciągłym rzędem kwadratów tworzących klocki, wówczas rząd ten znika, a wszystko, co było nad nim, przesuwa się jedno „oczko” w dół. Na przykład, na rys. 2 opada klocek Z (a), który po obróceniu i przesunięciu umieszczany jest przy lewym brzegu i tym samym dopełnia dwa ciągłe rzędy kwadratów (b), które natychmiast znikają, a kwadraty znajdujące się nad nimi spadają o dwa „piętra” (c). Szybkość opadania pojawiających się kolejnych klocków powoli wzrasta, co ogranicza możliwości operowania nimi, a więc wpływa na szczelność ich ułożenia i utrudnia tworzenie ciągłych rzędów. Głównym celem jest jak najdłuższe prowadzenie gry, która dobiega końca, gdy „naczynie” się wypełni, a kolejne tetromino znieruchomieje, oparte na jednym z klocków ulokowanych u góry.

Miarą popularności tetrisa było i jest nadal pojawianie się wielu jego odmian i wariantów, organizowanie turniejów, a nawet mistrzostw świata oraz przenoszenie gry z rzeczywistości wirtualnej w realną. Tego ostatniego aspektu dotyczy przede wszystkim niniejszy artykuł, ale zacząć wypada od sprostowania.

Tetris zaliczany jest do grupy tzw. gier łamigłówkowych (puzzle games). Można się z tym zgodzić, bo kto nie pomyśli, jak obrócić i/lub przesunąć spadający klocek, aby wpasować go w odpowiednie miejsce, ten szybko przegra. Poza tym gra dla jednej osoby, która wymaga choćby w niewielkim stopniu ruszania głową, zwykle uznawana jest za łamigłówkę. Nieporozumienie stanowi natomiast powszechne nazywanie tetrisa grą logiczną. Tempo gry i losowość pojawiania się klocków o różnym kształcie ograniczają sposób operowania nimi do schematów. Jest to wyraźnie widoczne w grze mistrzów, którzy działają niemal odruchowo, stosując prostą strategię – typowym jej elementem jest zostawianie pustego słupka na kamień „I” (jak na rys. 2). Tetris jest więc bliższy „strzelankom”, od których różni się tylko możliwością manipulowania zmierzającą do celu tetrominową amunicją. Należałoby go zatem określić jako grę strategiczno-zręcznościową.

Przeniesienie tetrisa do realu polega na jego spowolnieniu, czyli umożliwieniu „zatrzymywania” opadających klocków. Tym samym zabawa staje się bardziej statyczna, co zapewne odbiera jej nieco uroku, ale zwykle czyni bardziej umysłową. Konkretnym efektem są gry planszowe i łamigłówki diagramowe. Na uwagę zasługują przede wszystkim te, w których do głosu dochodzi logika albo przynajmniej nowa strategia.

Większość tetrisopodobnych gier stanowi, na ile to możliwe, kopie wirtualnego oryginału. Klocki albo dosuwane są do siebie tak, jakby spadały – na poziomej planszy, albo wrzucane do odpowiednich rowków – gdy plansza jest pionowa lub pochyła. O wyborze klocka decyduje los, czyli np. rzut specjalną kostką z rysunkami tetromin na ściankach albo wyciagnięcie karty z rysunkiem klocka. Wierne przeniesienie na planszę wirtualnego znikania ciągłego, pełnego rzędu byłoby trudne i niezbyt sensowne, ale bez kłopotu poradzono sobie z tym istotnym elementem gry: kto utworzy taki rząd, ten po prostu zdobywa punkty – tak jest w grze Tetris Tower 3D oraz w niemieckiej grze FITS. W japońskim planszowym wcieleniu tetrisa, grze o takiej samej nazwie, problem znikającego rzędu rozwiązany został w sprytniejszy sposób. Gra toczy się na podłużnej prostokątnej planszy podzielonej przesuwaną granicą (ruchoma prostoliniowa przegroda) na dwie części. Każdy gracz siedzi przy krótszym boku planszy i dosuwa ku sobie klocki na swojej części. Po utworzeniu ciągłego rzędu granicę można odsunąć od siebie, zwiększając tym samym swoją część planszy, a zmniejszając część przeciwnika. Korzyść jest oczywista – na większej części da się dłużej układać klocki. Przesuwana granica dodaje rozgrywce dynamiki, czyni ją atrakcyjniejszą.

Część tetrisowych planszówek jest mniej wierna oryginałowi, stanowi raczej wariacje na temat. W tej grupie na uwagę zasługuje wyróżniony przed sześciu laty przez Mensę „Tetris Link”. Jego zasady są bardzo proste. Do pionowej planszy każdy gracz wrzuca klocki swojego koloru, starając się, aby tworzyły jak największy spójny obszar, a równocześnie utrudniając formowanie takiego obszaru przeciwnikom. Im większy obszar, tym więcej punktów dodatnich; natomiast punkty ujemne są karą za zostawianie „dziur” między klockami.

Jest jeszcze tetris… karciany (Tetris: the Card Game) – z wykorzystaniem specjalnych kart. Na jednej stronie każdej znajduje się rysunek jakiegoś układu klocków – takiego, który może powstać w trakcie gry na komputerze; na drugiej – rysunek jednego z tetromin. Istota gry polega na zestawianiu kart różnymi stronami w pary tak, aby samotny klocek na jednej karcie dało się wpasować (wirtualnie) w układ na drugiej w taki sposób, aby między brzegami tego układu powstał – jak w tetrisie – ciągły rząd kwadratów.

Wszystkie tetrisowe gry wymagają niewiele więcej myślenia niż ich protoplasta. Głównie ze względu na losowość. Spowolnienie akcji jest w gruncie rzeczy jedynym elementem, który sprawia, że można dłużej kombinować przed wykonaniem kolejnego ruchu, ale pewności nie ma, czy finalnie wybór okaże się najlepszym z możliwych. Wpływ przypadku na wynik nie ma, oczywiście, wpływu na atrakcyjność zabawy, która może być niemal równie wciągająca jak komputerowa „klasyka”.

Z punktu widzenia logiki znacznie ciekawsze są tetrisowe łamigłówki z pełną informacją. Polegają one, ogólnie rzecz biorąc, na lokowaniu danego kompletu tetromin – zwykle siedmiu różnych klocków – na jakimś obszarze w określony sposób. Aby sposób ten był bliski tetrisowemu, istotna powinna być kolejność ich umieszczania oraz warunek związany z przesuwaniem na boki i obracaniem. Tak właśnie jest w łamigłówce tetris bez prądu. Przykładowe zadanie znajduje się na rys. 3. Celem jest wypełnienie jasnoszarego obszaru znajdującymi się nad nim klockami. Gdyby chodziło tylko o to, tzn. gdyby nie było żadnych ograniczeń, to zadanie stanowiłoby zwykłą układankę, a jedno z rozwiązań mogłoby wyglądać na przykład tak, jak na rys. 4. Łatwo jednak zauważyć, że takie rozmieszczenie nie jest możliwe sposobem tetrisowym, bo klocków nie wolno przenosić, a jedynie przesuwać na właściwe miejsce po szarym obszarze, ewentualnie obracając każdy tak, aby nie „zahaczył” o inne klocki ani granice szarego obszaru. W ten sposób uda się ulokować jak należy kolejno klocki O, I oraz Z lub L, ale gdy trzecim będzie Z, to nie wpasujemy L, a gdy wstawimy L, to nie wciśnie się Z. To rozwiązanie należy więc odrzucić; pozostanie jednak kilka innych poprawnych – z przesuwaniem każdego tetromina, na przykład takie jak na rys. 5. Aby było tylko jedno, konieczny jest dodatkowy warunek, dotyczący kolejności umieszczania klocków. Może on brzmieć choćby tak: klocek O należy umieścić na jasnoszarym polu jako czwarty. Znalezienie jedynego rozwiązania z tym warunkiem nie jest zbyt trudne.

Z łamigłówek nie tyle naśladujących tetrisa, ile wyraźnie tą grą zainspirowanych, na uwagę zasługują dwie. Miejscem akcji pierwszej jest kwadrat lub prostokąt podzielony na wielokątne działki, np. taki jak na rys. 6. W każdej działce powinno pojawić się jedno tetromino – dowolne oprócz klocka O. Poza tym powinny być spełnione następujące trzy warunki:

(1) wszystkie klocki muszą pokrywać spójny obszar, czyli powinny stykać się bokami tak, aby idąc po nich można było dotrzeć do każdego klocka, nigdzie nie przechodząc między rogami dwóch klocków;

(2) dwa tetromina o takim samym kształcie nie mogą stykać się bokami (rogami mogą), nawet jeśli jedno z nich jest odbiciem lustrzanym drugiego, a więc niedozwolony jest także kontakt J z L, ani S z Z;

(3) nigdzie nie może pojawić się zakryty tetrominami kwadrat 2×2 pola.

Na rys. 7 przedstawione są kolejne etapy rozwiązywania zadania z rys. 6. Zaczynamy od zaszarzenia pewniaków (I), czyli pól, które muszą być objęte tetrominem w niektórych działkach, skoro ma się w nich pojawić czteropolowy klocek. Szarość kratek a1 i a6 wynika z warunku (3). Także ze względu na warunek (3) w polach, których tetromino na pewno nie zakryje, stawiane są czerwone kropki.

W II etapie kolejno pojawiają się: szare-c6, kropka-c5, szare-e3, kropka-e4, szare-f2, kropka-e2, szare-b2-b5 (w działce z b2 i w działce z b5 nie może być L/J, bo stykałoby się z już ujawnionym sąsiednim J), kropka-b1, szare-e1, d1, szare-d2 (wykluczone J), kropka-c2, szare-c1, kropka-d7 (aby nie było kwadratu cd67).

Na początku III etapu warto przyjrzeć się działkom przy lewym brzegu – dolnej i środkowej. Muszą się w nich znaleźć dwa różne klocki – S/Z i T, jednak T nie może być u dołu, bo nie stykałby się bokiem z żadnym klockiem. Zatem T należy oznaczyć w górnej działce, a Z w dolnej. Dalsze oznaczenia: kropka-b6, szare-e5, kropka-e6, szare-g5-h6, kropki-f5-h5, szare-f1, szare-a7 (aby klocek T przy lewej bandzie stykał się z innym klockiem), szare-c7 (aby miał kontakt leżący wewnątrz klocek Z), szare-b7 (połączenie a7 z c7), szare-c8-d8-e8 (aby klocki T, Z i L w lewej górnej części były połączone z pozostałymi).

Klocek, który trafi do prawej górnej działki, powinien łączyć się z leżącym pod nim tetrominem T, ale nie może być klockiem J/L, bo stykałby się z „bliźniakiem” z lewej strony, więc musi być Z (szare-e7-e8). Pozostało zakończyć IV etap umieszczeniem właściwego klocka w prawej dolnej działce. W pierwszej chwili może się wydawać, że jest kilka możliwości. Jednak po zauważeniu, że ulokowane dotąd tetromina tworzą dwie odrębne grupy – górną z pięciu klocków i dolną z czterech – jedyną możliwością jest umieszczenie w tej działce spajającego obie te grupy klocka L.

Dzięki trzem warunkom logika powyższej łamigłówki jest zróżnicowana i ciekawa. Nic dziwnego, że cieszy się ona w Japonii, gdzie powstała, sporym powodzeniem. Znana jest od roku 2004 pod nazwą nuruomino (w wolnym tłumaczeniu: malowanie tetrominem); później pojawiła się także inna nazwa – LITS, nawiązująca do literowych określeń klocków (równie dobrze mogłoby być np. JITZ).

Druga łamigłówka, kojarząca się z tetrisem, ma także japoński rodowód; jest podobna do poprzedniej, ale bardziej wyszukana i znacznie młodsza – pojawiła się przed dwoma laty. Jej nazwę – stostoon – można by przetłumaczyć jako spadające kamienie lub kamień na kamieniu. Diagram też podzielony jest na działki i w każdej także należy umieścić klocek złożony z kwadratów, ale niekoniecznie czterech. Liczba kwadratów tworzących klocek może być teoretycznie dowolna – praktycznie od jednego do nawet kilkunastu. Tę liczbę określa umieszczona w działce cyfra, ale gdy cyfry brak, trzeba ją ustalić samemu w trakcie rozwiązywania. Dodatkowe warunki są dwa:

(1) klocki nie mogą stykać się bokami;

(2) kształty i rozmieszczenie klocków powinno być takie, aby po oznaczeniu wszystkich i opuszczeniu ich prostopadle w dół do oporu – podobnie jak w grze tetris, ale bez przesuwania na boki i obracania – wypełniły one szczelnie dolną połowę diagramu.

Na rys. 8 znajduje się łatwy przykład. W diagramie są dwie działki z cyfrą, której wartość równa jest liczbie tworzących ją kratek oraz jedna jednokratkowa, więc można je całe wypełnić klockami, czyli zaszarzyć wszystkie ich pola, a następnie oznaczyć czerwoną kropką te sąsiednie kratki, których klocki na pewno nie pokryją ze względu na warunek (1). W dalszym ciągu podstawą jest korzystanie z warunku (2), zgodnie z którym w każdej kolumnie powinna zostać odpowiednio zaszarzona liczba kratek równa połowie wysokości diagramu, czyli w tym przypadku cztery. Warunek ten umożliwia oznaczenie w pierwszym etapie jeszcze kilku szarych pól oraz kropek (rys. 9a). Dalsze korzystanie na przemian z obu warunków prowadzi do rozwiązania (rys. 9b). Potwierdzeniem jego poprawności jest efekt przesunięcia wszystkich klocków w dół do oporu (rys. 9c) – dolna połowa diagramu zostaje nimi szczelnie wypełniona.

Wszystkie trzy rodzaje tetrisopodobnych łamigłówek są idealnym połączeniem testu logicznego myślenia z ćwiczeniem wyobraźni i spostrzegawczości. Ponadto zaletę stanowi to, że możliwe jest układanie zadań o dużym zakresie stopnia trudności, czego przykładem są poniższe zadania konkursowe.

Zadania

1. Tetris bez prądu (rys. 10). Zestaw klocków do umieszczenia sposobem tetrisowym na jasnoszarym polu jest nietypowy – brak tetromina O i Z, zaś klocki L, S i T są zdublowane. Istotna jest też kolejność ich umieszczania, która powinna być następująca: S, S, T, J, L, T, L, I. W rozwiązaniu wystarczy podać rodzaj tetromina zakrywającego każde pole z cyfrą.

2. LITS (rys. 11). W rozwiązaniu wystarczy podać, ile razy występuje w diagramie każde z tetromin (I, J, L, O, T, S, Z).

3. Stostoon (rys. 12). W rozwiązaniu wystarczy podać, jakie cyfry powinny zająć miejsca liter A, B, C, D, E.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 09/18. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Liz Strachan Proste jak pi. Matematyka to bułka z masłem! ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru lipcowego

1. 61+83+97=241 to jedyne dodawanie trzech 2-cyfrowych liczb pierwszych złożone z ośmiu różnych cyfr (w tym cztery parzyste), w którym suma także jest liczbą pierwszą.

2. Spośród 15 dwucyfrowych liczb pierwszych tą, która w ciągu liczb pierwszych pojawia się jako ostatnia na końcu dłuższej liczby, jest 87 w liczbie 487.

3. W ciągu 137909…, czyli takim, w którym każda kolejna cyfra, zaczynając od piątej, jest ostatnią cyfrą sumy czterech poprzednich cyfr, utworzona przez trzy kolejne cyfry liczba 102 nie wystąpi, ponieważ ciąg ma postać cykliczną nnnnpnnnnpnnnnp…, a 102 jest postaci npp (p – liczba parzysta, n – nieparzysta).

4. Przykłady zbioru czterech liczb (bez liczby jednocyfrowej), w którym suma każdych trzech liczb jest liczbą pierwszą: {11, 13, 17, 43}, {15, 19, 25, 27}, …

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Reguła przetrwania Vitusa B. Dröschera, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Jarosław Głagowski, Marek Krzymowski, Arkadiusz Otok – wszyscy z Warszawy, Filip Nalepa z Krakowa, Zofia Teper z Cieszyna.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.