Wezyriada, czyli słabeusz w roli głównej

Choć ten artykuł dotyczy jednego, konkretnego wezyra, to – ściśle rzecz biorąc – wezyry są dwa. Właśnie tak: „dwa wezyry”, a nie „dwaj wezyrowie”, bo nie chodzi o muzułmańskich dostojników, tylko o dwie figury szachowe – podobne, ale poruszające się nieco inaczej. Pierwszy wezyr należy, jak jego osobowy odpowiednik, do historii – był w szachach średniowiecznych, lecz z czasem zyskał na sile i zmienił się w hetmana. Drugi także gościł w dawnych grach (np. w tzw. szachach Tamerlana), ale przetrwał i dziś pojawia się w szachowej problemistyce, a ściślej w jej nieortodoksyjnej odmianie, zwanej zwykle bajkową.

Oba wezyry, jeśli chodzi o ich sposób poruszania się i atakowania, to słabeusze, rzec by można – półkróle, bowiem każdy z nich dysponuje inną połową możliwości szachowego władcy. Wezyr historyczny poruszał się i atakował o jedno pole na ukos (rys. 1a), czyli był jakby krótkodystansowym gońcem o zasięgu ograniczonym do jednego kroku. Podobnie wezyr współczesny jest „kuśtykającą” wieżą – sięga zaledwie jednego pola w wierszu lub kolumnie (rys. 1b). Zajmiemy się tym wciąż aktywnym, choć nadal słabowitym wezyrem à la wieżowym.

Wskrzeszenie naszego wezyra miało miejsce przed 150 laty w zadaniach zamieszczanych w piśmie szachowym „The Dubuque Chess Journal” redagowanym przez znanego amerykańskiego filozofa transcendentalistę Orestesa Brownsona i wydawanym, jak wskazuje nazwa, w mieście Dubuque w stanie Iowa. Diagram na rys. 2 to jeden z pierwszych opublikowanych problemów z wezyrem, a nawet z dwoma (odwrócone czarne wieże). Zadanie brzmi niezbyt zachęcająco, zwłaszcza dla nowicjusza: „mat w 10 posunięciach”, czyli po wykonaniu co najwyżej dziewięciu par ruchów „biały-czarny” w dziesiątym białe powinny zamatować czarnego króla. Po uważnym przyjrzeniu się sytuacji na planszy pozornie zawiły problem okazuje się jednak dość prosty. Czarne mają niewiele możliwości i gdyby na nie przypadał ruch, to każde z dwu przesunięć – króla (Ka7-a6) lub sąsiedniego wezyra (Va8-b8) – skutkowałoby matem wieżą (Wb5-a5X). Białe powinny więc doprowadzić do pozycji, w której jedno z takich przesunięć będzie wymuszone. Taka pozycja powstanie po zbiciu przez białego króla wezyra z h1. Zaczyna się więc polowanie na tego wezyra:

1. Ke1-f1 Vh1-h2

2. Kf1-g1 Vh2-h3

3. Kg1-g2 Vh3-h4

itd., aż do

7. … Vh7-h8

8. Kg6-g7…

Teraz niezależnie od ruchu wezyrem z h8, zostanie on zbity i czarne będą musiały wykonać jedno z dwóch straceńczych posunięć, po którym nastąpi mat.

Później wezyr upodobał sobie zadania szachowe zwane matem pomocniczym i dziś niemal wyłącznie w takich się pojawia. Jest to zadanie samobójcze dla czarnych, bowiem do zamatowania czarnego króla dążą w nim obie strony, czyli ruchy czarnych powinny być jak najgorsze. Początek też jest nieco nietypowy, bo zaczynają czarne i ich król – wraz ze swoją ekipą i oczywiście przy wsparciu białych – dąży do tego, aby dostać mata. Oto przykład takiego zadania (rys. 3) – mat pomocniczy w 5 ruchach. Mimo dwukrotnie mniejszej liczby ruchów zadanie jest znacznie trudniejsze niż poprzednie ze względu na nieschematyczne rozwiązanie, a właściwie możliwe są dwa rozwiązania. Oto pierwsze z nich:

0. … Ve6-d6 (ruch zerowy czarnych, bo chodzi o 5 ruchów białych)

1. Vd5-e5 Kb5-c5

2. e2-e4 Kc5-d4

3. Kc7-b6 Vd6-c6+ (szach)

4. Kb6-a5 Kd4-c5

5. Ve5-d5X (mat)

Drugie rozwiązanie zaczyna się tak:

0. … c4-c3

1. e2-e3 Kb5-c4

2. Kc7-b6 Ve6-d6

3. Kb6-a5 …

Powstała sytuacja została przedstawiona na rys. 4; pozostały cztery posunięcia: czarne – białe – czarne – białe matujące. Jakie konkretnie?

Wezyrów, podobnie jak wszystkich pozostałych figur, dotyczą dwa główne zadania kombinatoryczne z zakresu matematyki szachowej. Krótko określa się je jako problem wolności i problem dominacji. Ten pierwszy sprowadza się do określenia największej liczby figur, które można umieścić na planszy n×n tak, aby każda figura była bezpieczna, czyli nieatakowana przez żadną inną. Drugi problem ma dwa warianty i polega na ustawieniu na planszy n×n najmniejszej liczby figur tak, aby atakowane były: a) wszystkie niezajęte pola – to tzw. dominacja niepełna lub b) wszystkie pola – to dominacja pełna zwana też totalną; inaczej mówiąc, przy dominacji totalnej każde pole zajęte przez figurę (a więc i sama ta figura) także musi być atakowane przez chociaż jedną inną figurę (żadna figura nie atakuje pola, na którym stoi).

Wydaje się, że ze względu na skromne możliwości wezyra oba problemy są znacznie prostsze niż dla innych figur, jak choćby nietypowo hasającego skoczka lub dalekosiężnego, agresywnego hetmana. W przypadku wolności podstawowe zadanie istotnie jest niemal trywialne. Na każdej szachownicy n×n jest albo tyle samo pól jednego koloru, ile drugiego (gdy n jest parzyste) – czyli n²/2, albo o jedno więcej (dla nieparzystego n) – czyli (n²+1)/2. Te liczby dla kolejnych n=1, 2, 3, … tworzą „ciąg wolności”: 1, 2, 5, 8, 13, 18, 25, … . Ustawienie wezyrów na odpowiadających im polach – na przykład dla klasycznej szachownicy na wszystkich ciemnych lub wszystkich jasnych – jest więc rozwiązaniem zadania.

Problem wolności nieco się komplikuje, gdy rozszerzymy to pojęcie. Dotychczasowa wolność będzie minimalną, a jako jej uzupełnienie pojawi się wolność totalna, którą dysponują wezyry, gdy na planszy n×n jest ich mniej niż n²/2, a zwłaszcza znacznie mniej. Na przykład, gdy są tylko 3 na szachownicy 8×8. Pytanie brzmi wówczas: na ile różnych sposobów (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych) można je rozmieścić bezpiecznie, a więc tak, aby sobie nie zagrażały?

Zadanie jest względnie proste dla małych plansz albo gdy plansze są większe, ale liczba wezyrów jest bardzo mała lub przeciwnie – bardzo bliska n²/2. Na przykład na rys. 5 znajdują się wszystkie sposoby bezpiecznego rozmieszczenia na planszy 3×3 liczby wezyrów od 1 do (n²–1)/2=4. Znacznie trudniej uporać się graficznie z wszystkimi lokacjami 3 wezyrów na klasycznej szachownicy, ale znane są ogólne, choć nieproste wzory na liczbę różnych sposobów zgodnego rozmieszczenia niektórych małych liczb wezyrów na planszach n×n. Dla trzech wezyrów i parzystych n wzór jest następujący:

S(3,n_p)=(n⁶–15n⁴+20n³+50n²–116n+48)/48.

Po podstawieniu n=8 otrzymamy poszukiwaną liczbę sposobów S(3,8)=4443. Gdyby za różne uznać te ustawienia, które powstają z innych w wyniku obrotu lub odbicia, to liczba sposobów wzrosłaby do 35012. Nieparzyste n wymagają innego wzoru:

S(3,n_n)=(n⁶–15n⁴+28n³+29n²–76n–15)/48

Stąd S(3,3)=6, co potwierdza fragment rys. 5.

Omawianie dominacji zaczniemy od podzielenia jej wariantu (a), czyli dominacji niepełnej, na dwa rodzaje: minimalną i optymalną. Minimalna jest wtedy, gdy atakowane są tylko niezajęte pola, a więc żaden wezyr nie atakuje innego wezyra. Natomiast w przypadku dominacji optymalnej niektóre wezyry są atakowane – ale nie wszystkie, bo wtedy byłaby dominacja totalna. Zauważmy, że dwa ustawienia „wolnościowe” na rys. 5 – te w czerwonej ramce – są zarazem wszystkimi całkowicie różnymi (pomijamy obroty i odbicia) przykładami dominacji minimalnej wezyrów na planszy 3×3. Jest tak, ponieważ 3 wezyry są najmniejszą ich liczbą dominującą na takiej planszy. Ogólnie: każda wolność minimalna jest zawsze dominacją minimalną (w teorii grafów zasada ta brzmi następująco: każdy największy zbiór niezależny w grafie jest także najmniejszym zbiorem dominującym). Z kolei dominacja totalna występuje przy tylko jednym ustawieniu (rys. 6a). Czy dla planszy 3×3 możliwa jest dominacja optymalna?

Łatwo sprawdzić, że nie, ponieważ nie sposób rozmieścić na takiej planszy trzech wezyrów w taki sposób, aby tylko dwa z nich były atakowane, a pod atakiem znajdowały się wszystkie puste pola. Można rozmieścić cztery (np. rys. 6b), ale wtedy nie byłoby dominacji niepełnej (najmniejsza liczba figur), której rodzajem jest optymalna. Dominacji optymalnej nie ma także dla n=4, bo wtedy do dominacji niepełnej minimalnej wystarczają 4 wezyry (rys. 7a), a to za mało, aby zdominowały wszystkie puste pola, atakując przy tym tylko 2 lub 3 zajęte. Natomiast dominacja totalna dla n=4 wymaga 6 wezyrów, zaś różne sposoby ich ustawienia są trzy (rys. 7b). Dopiero przy n=5 występuje dominacja optymalna. Na rys. 8 przedstawione są przykłady wszystkich rodzajów dominacji dla n=5 – z lewej minimalna (7 wezyrów), z prawej totalna (9 wezyrów), a w środku optymalna, ale szczególna i… ukryta – może się pojawić po rozwiązaniu zadania konkursowego.

Problemy wolności i dominacji wezyrów są ściśle związane z teorią grafów, a konkretnie ze wspomnianymi wyżej pojęciami zbiorów niezależnego i dominującego w grafie – w tym przypadku w grafie zwanym kratą, czyli w siatce kwadratowej, która jest właśnie grafem wezyra (rys. 9). Zagadnienia związane z tymi zbiorami zaczęto analizować stosunkowo niedawno – w latach 80., ale za ich początki można uznać bliźniacze rozważania, zamieszczane znacznie wcześniej w działach i czasopismach szachowych. Ich efektem było m.in. opublikowanie w roku 1913 w angielskim dzienniku „Cheltenham Examiner” dwóch przykładów ustawień wezyrów na szachownicy, będących: dominacją niepełną minimalną (rys. 10a – 16 wezyrów) i dominacją totalną (rys. 10b – 20 wezyrów).

Poza szachami bajkowymi wezyry goszczą w kilku innych grach planszowych. W jednej z nich jako jedyny rodzaj bierek, więc gra ta mogłaby nazywać się wezyrlandią, ale zwykle określana jest od nazwiska jej pomysłodawcy grą Lewthwite’a.

Na początku na szachownicy 5×5 należy ustawić 12 białych i 13 czarnych wezyrów – jak na rys. 11. Następnie grający czarnymi usuwa dowolnego czarnego (zwykle z centralnego pola) i zaczyna się zabawa. Gracze na zmianę przesuwają po jednym swoim wezyrze w wierszu lub kolumnie na wolne pole. Wygrywa ten, który zablokuje przeciwnika, czyli przegrywa ten, który nie będzie mógł wykonać ruchu, bo nie będzie miał dostępu do pustego pola. Gra w takiej postaci jest jednak raczej łamigłówką, bo nietrudno dowieść, że partia zakończy się najdalej w dwunastej kolejce, a wygrać mogą zawsze czarne, jeśli skorzystają z tzw. strategii domina. Jej podstawą jest podział planszy na domina, czyli prostokąty 1×2 – w dowolny sposób, ale oczywiście z pominięciem startowego pustego pola. Jeśli startowym będzie pole centralne, to podział może być na przykład taki, jak na rys. 12.

Przede wszystkim należy zauważyć, że w każdym ruchu przesuwany wezyr zmienia kolor zajmowanego pola, a w związku z tym żaden nie może być przesunięty w trakcie partii dwukrotnie. Jeśli zdanie to nie brzmi przekonująco, to warto wyobrazić sobie sytuację, gdy obok wezyra przesuniętego w jednym z poprzednich ruchów pojawia się wolne pole, które mógłby on nawiedzić, wykonując tym samym drugi ruch. Jednakże tak będzie tylko bezpośrednio po ruchu innego wezyra tego samego koloru, zatem ruch przypada wówczas na przeciwnika, który zajmie to puste pole.

Strategia domina polega na przesuwaniu czarnego wezyra zawsze z połówki tego samego domina, z którego w poprzednim ruchu przesunięty został na inne domino biały wezyr. Na przykład, pierwszy ruch grający białymi może wykonać jednym z czterech wezyrów. Ze względu na symetrię układu ruchy te można uznać za jednakowe, ale uwzględniając podział planszy na domina i strategię grającego czarnymi, odpowiedzi czarnych będą różne, nieschematyczne. Poniżej podane są wszystkie cztery strategicznie poprawne odpowiedzi czarnych na pierwszy ruch białych przy takim podziale szachownicy na domina, jak na rys. 12:

a) b3-c3 a3-b3

b) c2-c3 b2-c2

c) c4-c3 c5-c4

d) d3-c3 d4-d3

Efektem takiej strategii jest zakończenie partii najpóźniej w dwunastym ruchu czarnych, a jeśli białe wykonają złe posunięcie, to wcześniej – nawet już w trzecim ruchu, na przykład:

1. b3-c3 a3-b3

2. a4-a3 b4-a4

3. b5-b4 a5-b5X

Zasady gry próbowano uzupełniać, aby wykluczyć możliwość korzystania z prostej strategii. Skuteczny wydaje się następujący dodatek: zamiast przesuwać wezyra x, znajdującego się obok pustego pola, a równocześnie sąsiadującego z wrogim wezyrem y, można wezyry x i y zamienić miejscami. Bezpośrednio po zamianie przeciwnik nie może jednak także dokonać zamiany – musi zrobić zwykły ruch. Czy to uzupełnienie istotnie eliminuje prostą strategię? Na razie nikt takiej nie znalazł, ale niewykluczone, że czeka ona na swojego odkrywcę.

Zadania

1. Wezyr znajduje się w narożnym polu szachownicy 5×5 (rys. 13), z której usunięto centralne pole. Jego celem jest dotarcie do przeciwległego rogu (prawego dolnego) w ośmiu ruchach. Ile różnych dróg ma do wyboru?

2. Zadanie z dwoma wezyrami na rys. 14 jest matem w dwóch posunięciach, czyli zaczynają białe i po odpowiedzi czarnych matują czarnego króla. Jaki powinien być pierwszy ruch białych?

3. Na szachownicy 5×5 (rys. 8, w środku) należy rozmieścić 7 wezyrów tak, aby dominowały optymalnie, ale w szczególny sposób: pod atakiem powinny znajdować się wszystkie puste pola oraz dwa i tylko dwa wezyry (atakujące się nawzajem).

4. W niektórych polach szachownicy 6×6 (rys. 15) należy rozmieścić wezyry w taki sposób, by atakowane były wszystkie puste pola, ale każde tylko przez jednego wezyra oraz by żadne dwa wezyry się nie atakowały. Czerwone linie to blokady ataku, czyli wezyr nie atakuje sąsiedniego pola oddzielonego taką linią. Jako rozwiązanie wystarczy podać liczbę umieszczonych wezyrów.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 listopada br. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 11/22. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Człowiek, który wspina się na drzewa Jamesa Aldreda ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru wrześniowego

1. Aby prawdopodobieństwo wyrzucenia dwiema niestandardowymi czworościennymi kośćmi każdej liczby od 2 do 8 było takie samo, jak przy rzucaniu dwiema kośćmi standardowymi (na ściankach każdej liczby 1, 2, 3, 4) – powinny znaleźć się na nich liczby: na jednej (1,2,2,3), na drugiej (1,3,3,5).

2. Aby prawdopodobieństwo wyrzucenia trzema niestandardowymi kośćmi sześciennymi – z których dwie mają na ściankach liczby: na jednej (0,1,1,2,2,3), na drugiej (1,1,3,3,5,5) – było takie samo jak przy rzucaniu dwiema kośćmi standardowymi, to na ściankach trzeciej kości powinny być liczby (1,1,1,4,4,4).

3. W zadaniu zabrakło warunku, aby łączna liczba i suma iloczynów brakujących i nadmiarowych była najmniejsza, możliwych było więc 17 rozwiązań (wystarczyło podać jedno). Gdyby uwzględnić brakujący warunek, jedynym rozwiązaniem byłaby para kości z liczbami: na jednej (1,1,3,4,5,6), na drugiej (2,2,3,4,5,6).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Człowiek i błędy ewolucji Nathana Lentsa, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS, otrzymują: Robert Galiński z Holeszowa, Magdalena Kowalczyk z Krakowa, Joanna Marciniak i Wojciech Ożdżeński z Warszawy, Kamil Zaborowski z Suwałk.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.