Permutacje z kokardkami, czyli o magii heksagramu

Na setnej stronie książki Iana Stewarta Gabinet matematycznych zagadek* znajduje się łamigłówka z gwiazdą. Polega ona na rozmieszczeniu na przecięciach krawędzi (boków) wielokąta gwiaździstego, a więc gwiazdy sześcioramiennej, zwanej też heksagramem (rys. 1), liczb od 1 do 12 tak, by gwiazda stała się magiczna, czyli aby suma czterech liczb na każdej krawędzi była taka sama. W tekście łamigłówki są też: podpowiedź – suma ta wynosi 26 – i prośba – żeby łamigłówka była trudniejsza, poproszę, aby sześć liczb na końcach ramion też dawało po zsumowaniu 26. Do celowości podpowiedzi, sensowności prośby, a także poprawności rozwiązania (o tym później) można mieć zastrzeżenia. Podpowiedź wydaje się zbędna, bo obliczenie sumy jest bardzo proste: skoro każda liczba znajduje się na przecięciu dwóch krawędzi, czyli występuje w dwóch sumach, a krawędzi z sumami jest sześć, to wystarczy podwojoną sumę liczb od 1 do 12 (156) podzielić przez 6. Z kolei prośba nie utrudnia rozwiązania, lecz przeciwnie – je ułatwia. To właśnie bez prośby zadanie jest niezwykle żmudne. Właściwie sprowadza się do układu sześciu równań z dwunastoma niewiadomymi, co zachęca raczej do skorzystania z komputera i metody brute force.

Natomiast uwzględnienie prośby sprawia, że rozwiązywanie „na piechotę” nie wydaje się zbyt trudne, jeśli zacząć np. od wypisania wszystkich kombinacji sześciu liczb ze zbioru od 1 do 12, których suma równa jest 26. Takich kombinacji jest siedem i wszystkie kandydują – choć nie wszystkie przejdą przez dalsze eliminacje – do obsadzenia końców ramion (oznaczone dużymi literami od A do F żółte pola na rys. 2): (1, 2, 3, 4, 5, 11), (1, 2, 3, 4, 6, 10), (1, 2, 3, 4, 7, 9), (1, 2, 3, 5, 6, 9), (1, 2, 3, 5, 7, 8), (1, 2, 4, 5, 6, 8), (1, 3, 4, 5, 6, 7).

Z równań:

2(A+C+E)+a+b+c+d+e+f=78

2(B+D+F)+a+b+c+d+e+f=78

wynika, że zawsze A+C+E=B+D+F, zaś dla równej 26 sumy liczb na końcach ramion A+C+E=B+D+F=13.

Zatem każdy podany wyżej sekstet liczb należy podzielić na dwa tercety z sumą 13 (nie jest to możliwe tylko dla sekstetu z jedenastką). Liczby z jednego tercetu trafią do pól A, C, E, zaś z drugiego do pól B, D, F. Podziały te i dalszy tok rozwiązywania są przedstawione w tabeli na rys. 3. Jak wynika z drugiej kolumny (obejmującej cztery podkolumny rozdzielone liniami przerywanymi), są cztery różne możliwości wypełnienia liczbami pól A, C, E. Dalsze kolumny wskazują, jakie liczby powinny być wpisane do trójki pól (B, D, F) oraz do par pól (a, b), (c, d), (e, f) w każdej z czterech pozycji „startowych”, przedstawionych na rys. 4.

Rozmieszczanie konkretnych liczb we właściwych polach jest prostym, choć wymagającym uwagi ćwiczeniem rachunkowym i prowadzi do sześciu rozwiązań (rys. 5). Liczby z różowych rzędów tabeli dają dwa rozwiązania (Ia, Ib, IIIa, IIIb), z zielonych – po jednym (II i IV), z białych – żadnego, bo przy wypełnianiu pól prowadzą do sprzeczności.

W Gabinecie matematycznych zagadek na stronie 328 znajduje się heksagram z takim układem liczb, jak na rys. 5/Ia oraz następujący komentarz: Poniższe rozmieszczenie – które można obrócić lub odbić – to jedyne rozwiązanie. Jak się okazuje, nie jedyne, lecz jedno z sześciu. Profesor Stewart potraktował więc zadanie dość niefrasobliwie, co może dziwić tym bardziej, że nie jest ono nowością. Po raz pierwszy opublikował je w miesięczniku The Strand Magazine w roku 1915 angielski „król łamigłówek” Henry Ernest Dudeney. Pojawiło się ono później w jednej z jego książek, a w latach 60. przypomniał je Martin Gardner. Dudeney zmierzył się także przed ponad wiekiem z wyzwaniem jak na owe czasy benedyktyńskim – postanowił znaleźć wszystkie rozwiązania zadania w ogólnej postaci, a więc bez warunku o sumie sześciu liczb na końcach ramion gwiazdy równej 26. Wprawdzie popełnił błąd, a właściwie przeoczył trzy rozwiązania, ale metodę obrał właściwą – podobną do opisanej wyżej. Rozwiązywał po prostu serię zadań, przyjmując w każdym inną możliwą sumę sześciu liczb na końcach ramion.

Możliwości nie jest na szczęście zbyt wiele, a przynajmniej ich liczbę można ograniczyć, bo po pierwsze: muszą one obejmować zakres od 21 (suma liczb od 1 do 6) do 57 (suma od 7 do 12). Zauważmy też, że sumom x i 78–x będą odpowiadać pary heksagramów „bliźniaczych”, a ściślej – komplementarnych lub dopełniających, czyli takich, w których każda liczba w jednym zastąpiona jest jej dopełnieniem do 13 w drugim; praktyczny zakres zmniejszy się więc do 21–39. Po drugie: z warunku A+C+E=B+D+F wynika, że sumy musza być parzyste, co ograniczy ich zestaw do dziewięciu wartości: 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38. Stosując dla każdej z tych sum metodę taką, jak zastosowana wyżej dla 26, otrzymamy komplet rozwiązań. Ich liczba dla każdego przypadku podana jest w tabeli na rys. 6. Jak widać, dla sum 22 i 28 gwiazdy magiczne nie istnieją, a wszystkich jest 40. Ta liczba jest poprawna przy założeniu, że za jednakowe uznajemy dwa heksagramy, z których jeden można otrzymać z drugiego w wyniku przekształcenia – obrotu, odbicia lustrzanego lub dopełnienia liczb do 13 – albo dzięki jakiejś kombinacji tych przekształceń. Jeśli całkowicie lub częściowo pominąć to założenie, liczba rozwiązań, oczywiście, wzrośnie, w skrajnym przypadku do 960. A czy liczbę 40 rozwiązań można zmniejszyć, korzystając jeszcze z jakiegoś innego przekształcenia? Okazuje się, że jest to możliwe.

Każde z trzech dotychczasowych przekształceń stanowi w gruncie rzeczy pewną permutację. Obrót to permutacja cykliczna, odbicie lustrzane możemy nazwać permutacją lustrzaną, a dopełnienie – permutacją dopełnieniową albo trzynastkową, bo praktycznie polega ona na zamianie miejscami (transpozycjach) par liczb, których suma równa jest 13; zgodnie z definicją permutacji w następstwie każdego z tych przekształceń zbiór liczb pozostaje ten sam. Na rys. 7 przedstawione są trzy rodzaje innej permutacji gwiazdy magicznej, a konkretnie – pierwszego heksagramu z rys. 5: miejscami zamieniane są cztery pary liczb połączone czerwonymi łukami, tworzące dwie pary par w kształcie kokardek, położone symetrycznie względem siebie. Co najistotniejsze, po każdej takiej „kokardkowej” permutacji powstaje inna gwiazda magiczna. Dlaczego taka permutacja nie zaburza magii, najłatwiej wyjaśnić, przenosząc się z płaszczyzny w przestrzeń trójwymiarową.

Heksagram jest figurą płaską powstałą w wyniku odpowiedniego przecięcia się trzech par jednakowo odległych od siebie prostych równoległych pod kątem 60 stopni – punktów przecięcia jest 12. Jeśli proste zastąpimy trzema parami równoległych, równoodległych płaszczyzn, przecinających się pod kątem 90 stopni, to powstanie sześcian – 12 punktom przecięcia prostych na płaszczyźnie odpowiadać będzie 12 krawędzi sześcianu. Teraz można sformułować zadanie będące przestrzennym analogiem łamigłówki z książki Stewarta: ponumeruj krawędzie sześcianu liczbami od 1 do 12 tak, aby powstał magiczny sześcian, czyli aby suma czterech liczb wokół każdej ściany była taka sama, równa 26 (rys. 8 – rozmieszczenie liter na krawędziach odpowiada ich rozmieszczeniu na bokach gwiazdy na rys. 2). Na rysunku 9 znajduje się rozwiązanie odpowiadające heksagramowi Ia z rys. 5 oraz jego trzy odbicia lustrzane: lewe górne (X) – w lustrze umieszczonym równolegle do górnej ściany, prawe górne (Y) – w lustrze równoległym do tylnej ściany, prawe dolne (Z) – w lustrze równoległym do prawej ściany. Jeśli uważnie przyjrzeć się tym odbiciom i porównać je z efektami trzech permutacji „kokardkowych” na rys. 7, to okaże się, że rozmieszczenie liczb na każdym sześcianie jest odpowiednikiem rozmieszczenia liczb na heksagramie oznaczonym taką samą literą. Inaczej mówiąc, każda „kokardkowa” permutacja gwiazdy magicznej odpowiada jakiemuś lustrzanemu odbiciu magicznego sześcianu.

Można więc przyjąć, że cztery magiczne heksagramy są jednakowe także wówczas, kiedy każdy z nich da się utworzyć z każdego z pozostałych w wyniku którejś z trzech permutacji „kokardkowych”. Czy wówczas liczba wszystkich całkiem różnych rozwiązań zmniejszy się czterokrotnie, a więc będzie ich tylko 10? Nie, ponieważ niektóre pary rozwiązań jednakowych „kokardkowo” mogły już zostać uznane za jednakowe wcześniej, w następstwie innych przekształceń. Takimi są np. gwiazdy Ia oraz X na rys. 7: jeśli jedną z nich zmienić w komplementarną, czyli zastąpić każdą liczbę jej dopełnieniem do 13, a następnie obrócić o 180 stopni, to otrzymamy drugie rozwiązanie. Jeszcze bliższe sobie są heksagramy Y i Z na tym rysunku – jeden powstaje z drugiego tylko w wyniku permutacji trzynastkowej.

Po uwzględnieniu kokardek wszystkich całkiem różnych gwiazd magicznych jest 15. Na rys. 10 są one umieszczone w kolejności rosnących sum (niebieskie liczby) sześciu liczb na końcach ramion. Jak widać, jest wśród nich tylko jeden heksagram z sumą 36 i nie ma żadnego z sumą 38, choć w tabeli na rys. 6 takich heksagramów jest 17. Oznacza to, że każdą z tych gwiazd można otrzymać w wyniku jakiegoś przekształcenia jednej z gwiazd z mniejszą sumą. Każdy magiczny heksagram na rys. 10 należy do rodziny 64 heksagramów „bliźniaczych” tworzonych w procesie przekształceń, czyli stosowania czterech opisanych wyżej rodzajów permutacji. Niewykluczone, że można by znaleźć jakiś nowy rodzaj przekształcenia, który pozwoliłby jeszcze bardziej ograniczyć liczbę całkiem różnych rozwiązań. Chodzi oczywiście o przekształcenie skuteczne w każdym przypadku, a nie tylko ze względu na umożliwiający to specyficzny układ cyfr. Takie specyficzne układy można wskazać w niektórych gwiazdach na rys. 10. Na przykład, w heksagramie A zamiana miejscami 1 z 10 i 3 z 12 nie narusza magii. Podobnie „nieszkodliwe” są w diagramach E i F jednakowe pary transpozycji 2–9 i 4–11.

Na koniec warto wspomnieć o osobliwym efekcie zainteresowania matematyków i informatyków magicznym heksagramem. Podjęli oni wyzwanie skonstruowania takiej gwiazdy z kolejnych liczb pierwszych. Komputery się napracowały, a ukoronowaniem było kilka figur, z których pierwsza, czyli wypełniona najmniejszymi liczbami – od 29 do 73, z sumą magiczną 204 – przedstawiona jest na rys. 11. W następnej liczby są trzycyfrowe, a kolejna nie zmieściłaby się na tej stronie, zakładając, że liczby powinny być czytelne bez mikroskopu.

Zadania

1. Magiczny heksagram ma kilka wtórnych cech magicznych, a wśród nich następującą: suma trzech liczb na przeciwległych ramionach gwiazdy jest zawsze taka sama, czyli, korzystając z oznaczeń na rys. 2: A+a+f=D+c+d; B+a+b=E+d+e; C+b+c=F+e+f. Proszę udowodnić tę cechę, wychodząc oczywiście od cechy głównej, czyli równości sum liczb na krawędziach.

2. Heksagram „po przejściach” (rys. 12) składa się z 12 trójkątnych pól. W trójkąty te należy wpisać liczby od 1 do 12 tak, aby gwiazda stała się magiczna, czyli aby suma pięciu liczb w każdym z sześciu rzędów wskazanych strzałką była taka sama. Dwie liczby znajdują się już na swoich miejscach. Jest też podpowiedź: w żadnych dwu trójkątach sąsiadujących bokami – oprócz tych z ujawnioną szóstką i siódemką – nie mogą się znaleźć kolejne liczby (różniące się o 1). I jeszcze prośba: suma magiczna powinna być równa 32. W rozwiązaniu wystarczy podać liczby, które znajdą się w sześciu trójkątach stanowiących ramiona gwiazdy.

3. Jeśli w klasycznym heksagramie (bez pól z liczbami) połączymy odcinkami przeciwległe ramiona, powstanie gwiazda taka, jak na rys. 13. Ile jest wszystkich trójkątów, które można wskazać w tej figurze (trójkąty przystające uznajemy za różne).

* Wydawnictwo Literackie, 2011.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 10/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Roberta Hofrichtera Tajemnicze życie grzybów ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru sierpniowego

1. Marię Konopnicką można wpisać „po królewsku” w diagram 3×3 tak, że w środkowym polu znajdzie się litera A, I lub K (przykłady na rys. 14).

2. Niemal wszyscy rozwiązujący odczytali z diagramu (rys. 15) cztery słowa z wykorzystaniem wszystkich 16 liter; przykłady: (Krem, Lira, Pech, Topól), (Krem, Lirach, Lotce, Topór). Tylko sześć osób nadesłało rozwiązanie 3-wyrazowe (Kremlach, Topól i Piratce lub Tarlice); „piratka” to oczywiście kobieta pirat, a „tarlica” – przyrząd do międlenia lnu.

3. Jedyne rozwiązanie (z dokładnością do odbić i obrotów) – na rys. 16.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Ciekawostki matematyczne. Skarbnica zadziwiających rozrywek Alfreda S. Posamentiera i Ingmara Lehmanna ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Iwona Chmielik z Warszawy, Aleksander Fiuk z Krotoszyna, Martyna Kowalczyk z Chorzowa, Cezary Kruk z Wrocławia, Małgorzata Nowotnik z Pomyska Wielkiego.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.