Triangulacja kamieni, czyli o dominacji trójkątów

Szczyt popularności domina w Europie przypadł na wiek XIX, lecz pochodzenie tej gry jest niejasne. Zwykle podawane są informacje o podobnej grze znanej w Chinach już w średniowieczu oraz o przywiezieniu jej do Europy przez Marco Polo, ale to tylko hipotezy. Angielski filozof i logik Michael Dummett (1925–2011), który przy okazji badania historii tarota zajmował się także dominem, uważał, że gra ta powstała w połowie XVIII wieku we Włoszech, w Wenecji lub Neapolu, oraz że domino jest bez wątpienia „dzieckiem” gry w kości. Większość kamieni odpowiada parze cyfr, które można wyrzucić dwiema kośćmi; nie wszystkie, ponieważ na połówkach siedmiu kamieni znajdują się tzw. mydła, czyli zera, których na kościach brak – jest to jednak dodatek późniejszy, z końca XVIII wieku; na najstarszych kompletach do gry mydeł nie ma. Jest też bardzo prawdopodobne, że domino powstało w reakcji na częste potępianie gry w kości przez Kościół katolicki. Zakazy dotyczące hazardu, nie tylko kościanego – w odniesieniu do księży poparte zwykle groźbą ekskomuniki – wydawało wielu papieży, m.in. Benedykt XIII, sprawujący pontyfikat w latach 1724–1730.

Domino było więc początkowo poczciwym substytutem mających złą opinię sześcianików z oczkami. Zamiast rzucać dwiema kośćmi wyciągano z woreczka kamień. Po dodaniu mydeł pojawiła się nowa możliwość: kamień z jednym mydłem oznaczał rzut jedną kością, a z dwoma – utratę kolejki w grze. Potem zauważono, że kamieniami można grać, dokładając je do siebie tak, aby stykały się połówkami z identyczną liczbą oczek. Dzięki zbożnej nazwie gra otrzymała wsparcie ze strony Kościoła – stała się nawet popularna wśród duchownych. Między innymi to sprawiło, że niebawem lawina ruszyła. Już na przełomie XVIII i XIX wieku wiele europejskich kawiarni i karczm zamieniło się w „dominiarnie”. Miarą popularności było także pojawianie się różnych wariantów rozgrywki, a później także dominowych łamigłówek oraz – z czym wiąże się niniejszy artykuł – modyfikowanie samych kamieni.

Kamienie domina są prostokątne – a ściślej, jeśli uwzględnić ich grubość, prostopadłościenne. Jednak to tylko kwestia formy. Teoretycznie bowiem są to obiekty jednowymiarowe, odpowiadające odcinkom, końcom których przyporządkowano cyfry. Pomysł przekształcenia ich w dwuwymiarowe doczekał się po raz pierwszy realizacji w Stanach Zjednoczonych w roku 1885. Niejaki pan Frank H. Richards zaprojektował wówczas, opatentował i wyprodukował domino trójkątne. Nie było to zbyt odkrywcze. Dwie liczby na połówkach prostokątnych kamieni zostały po prostu zastąpione trzema przy bokach trójkątów. Projektant musiał tylko rozstrzygnąć, jak liczny powinien być komplet, czyli uporać się z prostym zadaniem kombinatorycznym.

W tradycyjnym dominie oznaczonych oczkami (punktami) różnych liczb na kamieniach jest n=7 (od 0 do 6), a liczba kamieni, w ogólnym przypadku wyrażająca się wzorem n(n+1)/2, wynosi 28. Grywa się także liczniejszymi kompletami: dziewiątkowym (liczby od 0 do 9, n=10, 55 kamieni) i dwunastkowym (91 kamieni). Co ciekawe, trójkąt pojawia się już teraz jakby na drugim planie, bowiem 28, 55, 91 i wszystkie liczby wyznaczane podanym wyżej wzorem to tzw. liczby trójkątne – określane tak, ponieważ są równe liczbom okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny.

Jeśli trójkątami równobocznymi mają być kamienie domina z trzema liczbami przy bokach, to można by w pierwszej chwili przyjąć, że w komplecie powinno ich być tyle, ile jest trójelementowych kombinacji z powtórzeniami Γ₃ w zbiorze n-elementowym (n jest liczbą różnych liczb na kamieniach), czyli Γ₃=n(n+1)(n+2)/6. Szkopuł w tym, że w przypadku Γ₃ kolejność elementów nie ma znaczenia, więc kombinacje ABC i ACB uważa się z definicji za jednakowe. Jeśli jednak elementy A, B, C są rozmieszczane okrężnie przy bokach trójkąta, wtedy kolejność może być istotna, ponieważ kamienie są jednostronne – można je obracać, ale nie odwracać (odbicie lustrzane). Dlatego dwa kamienie na rys. 1 należy uznać za różne. Zatem właściwy wzór na liczbę kamieni otrzymamy, uzupełniając Γ₃ liczbą trójelementowych kombinacji bez powtórzeń równą n(n–1)(n–2)/6. Ostatecznie więc, aby komplet był pełny, powinien liczyć (n³+2n)/3 kamieni.

Pana Richardsa pełny komplet nie interesował. Skorzystał ze wzoru na Γ₃ dla n=6 (liczby na kamieniach od 0 do 5), tworząc zestaw złożony z 56 kamieni, wśród których każdy kamień z trzema różnymi liczbami był tylko jeden – liczby zawsze umieszczone w kolejności rosnącej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; wszystkich takich kamieni było 20. Całość uzupełniała instrukcja z opisem kilku gier. Brakowało natomiast aspektu bliższego matematyce rekreacyjnej w postaci propozycji rozrywek dla jednej osoby, czyli łamigłówek.

Luka ta została wypełniona, gdy kilka lat później trójkątnym dominem zainteresował się brytyjski matematyk Percy Alexander MacMahon. Zmodyfikował on dziełko Richardsa, z góry zakładając, że komplet powinien być pełny, czyli z parami kamieni z trzema różnymi liczbami: na jednym kamieniu liczby umieszczone w kolejności rosnącej prawoskrętnie, na drugim – lewoskrętnie. Dla n=3 komplet byłby zbyt ubogi (11 kamieni), a dla n=5 za duży (45); idealne okazało się n=4, dające tyle kamieni, ile jest kart w małej talii, czyli 24. Ponadto MacMahon wprowadził kolory zamiast oczek i w 1892 roku opatentował efekt końcowy, nazwany później trójkątami MacMahona, przedstawiony na rys. 2 z oczkami dla podkreślenia związku z dominem. To pokrewieństwo widoczne jest także w „przestrzennej” tabeli na rys. 3: czerwonym parom cyfr odpowiada 10 kamieni trójkowego domina, natomiast całość jest schematem „trimina” MacMahona.

Zabawa 24 trójkątami, obejmująca gry i łamigłówki, sprowadza się głównie do układania wielokątów. Gdyby pominąć kolory, czyli ograniczyć się do kształtu kamieni, byłoby to tworzenie tzw. poliamentów, czyli figur złożonych z jednakowych trójkątów równobocznych. Z dwóch trójkątów można utworzyć diament (rys. 4a), z trzech triament (4b), z czterech – trzy różne tetramenty (4c), z pięciu – cztery pentamenty (4d). Najpopularniejszy jest tuzin heksamentów (4e) – tworzą one odrębny układankowy zestaw, pojawiający się w sklepach z zabawkami.

Liczba poliamentów szybko rośnie wraz ze wzrostem liczby tworzących je trójkątów. 24-amentów – różnych (odbicia lustrzane nie są innymi figurami) i jednospójnych (bez otworów) – jest ponad 753 mln. Kolory radykalnie ograniczają tę liczbę, ponieważ wiążą się z nimi dwa warunki MacMahona, dotyczące układania wielokątów:

1. warunek dominowy: na stykających się bokach kamieni powinien być jednakowy kolor;

2. warunek brzegowy: boki układanego wielokąta powinny być w jednym kolorze.

Na wszystkich kamieniach są 24×3=72 kolorowe oznaczenia (sektory). Żaden z czterech kolorów nie jest uprzywilejowany, więc każdy występuje 72:4=18 razy. Skoro takie same kolory wewnątrz wielokąta muszą się stykać parami, więc brzeg także powinna tworzyć parzysta liczba boków trójkątów. Może ich być co najwyżej 16, ponieważ jeden z trójkątów jest jednobarwny, a wszystkie jego boki nie znajdą się na brzegu wielokąta. A ile będzie najmniej? Tu przyda się twierdzenie, że wśród wielokątów o ustalonym polu i ustalonej liczbie boków najmniejszy obwód ma ten, który jest foremny. Ponieważ kąty w wielokącie utworzonym z trójkątów równobocznych muszą wynosić 60 lub 120°, więc w grę wchodzą tylko trójkąt i sześciokąt. Jednak trójkąta z 24 trójkątów równobocznych utworzyć nie sposób; łatwo sprawdzić, że byłoby to możliwe np. po dodaniu jednego trójkąta. Natomiast 24 trójkąty idealnie składają się w sześciokąt (rys. 5) – to jeszcze jedna istotna zaleta kompletu 24-elementowego. A zatem spośród ponad 3/4 mld 24-amentów, kandydującymi do ułożenia z trójkątów MacMahona są tylko te, których obwód jest równy 12, 14 lub 16 (jednostką jest długość boku kamienia), ale kandydowanie nie oznacza zakwalifikowania. Jedyna zakwalifikowana figura z obwodem 12 to sześciokąt foremny. Warunkiem koniecznym, aby wielokąt o obwodzie 14 udało się ułożyć, jest obecność przynajmniej jednego kąta równego 60°. Musi tak być, ponieważ trójkątów, na których znajduje się dany kolor, jest 13, a zatem przynajmniej jedna para wśród 14-brzegowych odcinków powinna należeć do jednego trójkąta, którego kąt między tą parą znajdzie się na obwodzie. Analogiczny warunek dotyczy brzegu o długości 16. Wówczas wielokąt musi mieć przynajmniej trzy kąty 60°. Nieco trudniej ustalić warunek ograniczający z góry liczbę kątów 60°– dla obwodu 14 jest to 2, a dla obwodu 16 – 4.

Nie wiadomo, ile wszystkich 24-amentów można ułożyć z kompletu trójkątów zgodnie z warunkami MacMahona; znana jest tylko liczba figur symetrycznych. Poza sześciokątem, czyli jedyną z obwodem 12, jest ich 60 – 18 z obwodem 14 oraz 42 z obwodem 16. Ich układanie wymaga wprawdzie dysponowania 24 kolorowymi trójkątami (rys. 2), które łatwo i warto wykonać, np. wycinając z kartonu, ale ciekawa jest także niewymagająca rekwizytów analiza, poprzedzająca zabawę, która przypomina proste i eleganckie rozwiązywanie problemu logicznego. Najlepiej prześledzić tę analizę na przykładzie sześciokąta.

Zaczynamy od skorzystania z warunku brzegowego (2), czyli oznaczenia sektorów na bokach sześciokąta jednakowym kolorem, w tym przypadku niebieskim (rys. 6a). Sektorów jest 12 i każdy należy do innego trójkąta. Czy wśród tych 12 trójkątów może nie być całego niebieskiego (nazwiemy go N)? Nie, bowówczas N byłby jednym z 12 wypełniających wnętrze figury, a w związku z tym – przy zachowaniu warunku dominowego (1) – kamieni z niebieskim kolorem musiałoby być więcej niż 13. A zatem trójkąt N znajdzie się przy brzegu i może zajmować – uwzględniając symetrię sześciokąta, czyli z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych – tylko jedną pozycję (rys. 6b). Pozycja ta wymusza położenie dwóch kamieni: jednego z dwoma niebieskimi sektorami – poniżej N oraz drugiego, czyli 13 (z jednym lub dwoma niebieskimi sektorami) – na prawo od N (rys. 6c). Tak więc wszystkie kamienie z niebieskimi sektorami są już ulokowane. Wypadałoby teraz wskazać wśród nich dwa z dwoma niebieskimi sektorami. Musi to być para sąsiednich, stykających się z sobą – wybranych spośród tych, na których na rys. 6c jest oznaczony jeden niebieski sektor. Takich różnych par jest 6, a wszystkie ich stykające się sektory, które mogą być niebieskie, oznaczono na rys. 6d jako szare, tworzące romby. Reasumując, układ skrajnych sektorów jednego koloru w sześciokącie wypełnionym trójkątami MacMahona może być jednym z sześciu – każdy tworzą na rys. 6d wszystkie niebieskie sektory oraz dowolny z sześciu szarych rombowych dubletów. Następny krok analizy polega na wskazaniu możliwych pozycji trzech pozostałych jednokolorowych kamieni – różowego (R), zielonego (Z) i żółtego (Ż), ale to dotyczy jednego z zadań konkursowych, więc na rys. 7a oznaczony jest tylko jeden z możliwych układów tych trójkątów. Przy takim układzie sześciokąt można wypełnić pozostałymi kamieniami, pamiętając o warunkach MacMahona, na 10 800 sposobów – na przykład tak, jak na rys. 7b.

Spora grupa łamigłówek wykorzystuje podzielność 24 przez 2, 3 i 4. Polegają one na tzw. duplikacji, tryplikacji i tetraplikacji, czyli układaniu z całego kompletu dwóch, trzech lub czterech figur o jednakowym kształcie, przy zachowaniu warunków brzegowego i dominowego. Przykładowe efekty każdego z trzech rodzajów takich łamigłówek przedstawione są na rys. 8.

Na koniec warto wspomnieć o zaproponowanej przez MacMahona grze. Planszą jest sześciokąt – taki, jak na rys. 5. Wszystkie kamienie są widoczne i dostępne dla graczy, którzy na przemian lub kolejno (jeśli jest ich więcej niż dwóch) kładą na planszy po jednym trójkącie tak, aby sąsiadował on przynajmniej z jednym znajdującym się już na planszy, pamiętając przy tym o warunkach MacMahona. Kamień położony na skraju wyznacza obowiązujący kolor sektorów brzegowych. Wygrywa, kto położy ostatni trójkąt, kończąc tym samym rozgrywkę, ponieważ wówczas żadnego z pozostałych kamieni nie da się dostawić zgodnie z warunkami. Gra jest więc w gruncie rzeczy jakby zespołowym rozwiązywaniem łamigłówki-układanki – takiej jednak, jakiej w tym przypadku z reguły do końca nie udaje się ułożyć.

Zadania

1. Załóżmy, że dysponujemy liczbą kolorów mniejszą niż numer strony Świata Nauki, na której znajduje się to zadanie. Korzystając z nich oznaczamy boki trójkątów równobocznych, tworząc pełny komplet trójkątnego domina. Ilu kolorów k>4 powinniśmy użyć, aby z całego utworzonego kompletu można było zbudować trójkąt (warunki MacMahona pomijamy)?

2. Na rys. 6d sześciokąt wypełniony jest 13 kamieniami N na sześć sposobów. Położenie 11 z nich jest jednoznaczne, a 2 z dwoma niebieskimi sektorami mogą zajmować 6 różnych, zawsze sąsiednich pozycji – drugie niebieskie sektory na tych kamieniach są tymczasowo szare i tworzą sześć rombów. W każdym z sześciu układów tych 13 kamieni w sześciokącie pozostaje taki sam wolny obszar dla 11 pozostałych trójkątów, wśród których są trzy jednobarwne – R, Z i Ż. Na ile różnych sposobów można umieścić te trzy jednobarwne kamienie w wolnym obszarze, pamiętając o przestrzeganiu warunku dominowego MacMahona? Układ pozostałych kamieni pomijamy.

3. Tetraplikacja polega na ułożeniu z kompletu MacMahona czterech figur o jednakowym kształcie – każda złożona z sześciu trójkątów – z zachowaniem warunków dominowego i brzegowego. Każda z tych figur powinna więc być którymś z 12 heksamentów z rys. 4e. Przykład tetraplikacji „pistoletu” znajduje się na rys. 8 u dołu. Możliwa jest tetraplikacja prawie wszystkich heksamentów – poza jednym. Którego heksamentu nie uda się przedstawić w postaci „czworaczków” MacMahona i dlaczego?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Krzysztofa Potaczała To nie jest miejsce do życia. Stalinowskie wysiedlenia znad Bugu i z Bieszczad ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru październikowego

1. Aby dowieść, że sumy trzech liczb na przeciwległych ramionach magicznego heksagramu (rys. 9) są takie same, można skorzystać z układu równości:

A+a+b+C=D+d+e+F

B+a+f+F=C+c+d+E

A+f+e+E=B+b+c+D

Po dodaniu równości stronami i uproszczeniu otrzymamy:

A+a+f=D+c+d

Dodawanie równości stronami w inny sposób prowadzi do jednakowych sum na dwóch pozostałych parach przeciwległych ramion gwiazdy.

2. Rozwiązanie na rys. 10. Sumy magiczne w rzędach wskazanych strzałkami równe są 32.

3. W klasycznym heksagramie z odcinkami łączącymi przeciwległe ramiona można wskazać 56 trójkątów.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Tajemnicze życie grzybów Roberta Hofrichtera, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Tymoteusz Bendyk z Gdyni, Przemysław Papiernik z Chorzowa, Michał Tarnowski z Radomia, Piotr Tyburski z Torunia, Danuta Zając z Kępy.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.