Magia gwiazd – pentagram. O pięciokącie dziesięciocyfrowym

Gwiazdy magiczne pojawiły się w matematyce rekreacyjnej na początku XX wieku. Pierwszy artykuł o nich został zamieszczony w roku 1915 na łamach amerykańskiego kwartalnika The Monist, poświęconego szeroko pojętej filozofii. Autorem był William Symes Andrews, matematyk amator (z zawodu inżynier elektryk), który wcześniej opublikował w tym samym czasopiśmie serię artykułów o protoplastach gwiazd, czyli kwadratach magicznych (artykuły te zostały później wydane w formie książki wielokrotnie wznawianej).

Ogólna postać gwiazdy magicznej zaproponowanej przez Andrewsa – taka, którą dziś, po ponad wieku od debiutu, można nazwać klasyczną – powstaje w trzech etapach. Najpierw w wielokącie foremnym są rysowane wszystkie najkrótsze przekątne, czyli łączące co drugi wierzchołek – efektem jest wielokąt gwiaździsty; następnie na końcach przekątnych oraz na ich przecięciach umieszcza się koliste pola; ostatni, trzeci etap, najważniejszy i najtrudniejszy, polega na wpisaniu do pól różnych liczb – takich i w taki sposób, aby suma czterech liczb na każdym boku wielokąta gwiaździstego, zwana jego sumą magiczną, była taka sama. Ten trzeci etap, który właściwie definiuje gwiazdę magiczną, wypadałoby uściślić, formułując warunek, określający pełnię magii: jeśli gwiazda ma n ramion, czyli jest n-kątem gwiaździstym, to pól jest 2n i powinny się w nich znaleźć liczby od 1 do 2n.

Efekty drugiego etapu – gwiazdy z jeszcze pustymi polami – przedstawione są na rys. 1. Gwiaździsty trójkąt i czworokąt nie istnieją, więc najuboższy w ramiona ma ich pięć, a najbogatszy na rys. 1 – dziesięć. Wielokąty pięcio- i sześcioramienny, zwane także pentagramem i heksagramem, są najbardziej znane ze względu na ich symbolikę. Czasem greckimi nazwami określa się także kolejne wielokąty gwiaździste (heptagram, oktagram itd.), ale to niezbyt fortunne, bo wówczas dziesięciokąt staje się jednostką masy – dekagramem.

Gwiazdy magiczne zyskały popularność głównie dzięki pentagramowi. Ten znak od starożytności kojarzony był z magią, gościł na amuletach i talizmanach, przypisywano mu właściwości ochronne, symbolizował – zależnie od okoliczności – zło lub dobro. Pojawiła się więc okazja wzbogacenia go o magię liczbową.

Przepis na magiczny pentagram sprzed blisko 100 lat pomija pełnię magii, czyli warunek, aby w jego 10 polach znalazły się liczby od 1 do 10. Przepis zaczyna się od wyboru magicznej sumy pentagramu (S_m). Następnie do pięciu pól, otaczających środkowy pięciokąt, wpisywane są teoretycznie dowolne liczby (praktycznie uwarunkowane m.in. sumą magiczną, ale o tym dalej). Każdy bok tego pięciokąta, czyli czerwony odcinek na rys. 2, jest równocześnie podstawą trójkąta równoramiennego – ramienia gwiazdy. Teraz trzeba umieścić liczby w wierzchołkach pięciu trójkątów-ramion. Nie jest to trudne, ponieważ każda z tych liczb (L) określona jest wzorem L=S_m/2-(a+b)+c, gdzie S_m/2 jest połową sumy magicznej, a i b to liczby na końcach podstawy trójkąta, zaś c liczba w wierzchołku pięciokąta, znajdującym się naprzeciwko podstawy trójkąta (rys. 2). Z analogicznego wzoru można korzystać w przypadku każdego z pięciu trójkątów, ale właściwie wystarczy zastosować go tylko raz, bo wpisanie liczby na końcu jednego ramienia gwiazdy umożliwia „reakcję łańcuchową” – następne wpisywane są jako różnice między sumą magiczną, a sumą trzech liczb znajdujących się już na boku wielokąta gwiaździstego.

Wracając do pięciu liczb, wpisywanych na początku wokół pięciokąta, trudno krótko określić warunki, jakie powinny one spełniać, ale niewłaściwie wybranymi lub niedobrze rozmieszczonymi są takie, które prowadzą do pojawienia się na ramionach liczb ujemnych albo powtórzeń. Liczb ujemnych łatwo uniknąć – wystarczy, co wynika z podanego wyżej wzoru, aby połowa sumy magicznej nie była mniejsza od sumy dwu liczb na końcach żadnego czerwonego odcinka na rys. 2. Trudniej zabezpieczyć się przed powtórzeniami.

Każda liczba w n-ramiennej gwieździe występuje w dwu sumach magicznych, a zatem suma wszystkich umieszczonych w niej liczb S_w=nS_m/2. Stąd wniosek, że suma magiczna pentagramu musi być parzysta. Jeśli przyjmiemy pełnię magii (liczby od 1 do 2n), to po przekształceniach powyższego wzoru otrzymamy wzór na sumę magiczną gwiazdy: S_m=4n+2. Teraz wyraźnie widać, że parzysta musi być suma magiczna każdej gwiazdy. Jednak w pentagramie pełna magia, czyli S_m=22, nie jest możliwa. Spróbujmy ustalić, czy możliwa jest niepełna z minimalną S_m=24. W tym przypadku S_w=5×24/2=60, więc żadna liczba w pentagramie nie może przekroczyć 15. Jednakże 15 też trzeba wykluczyć, bo skoro znajdzie się ona na przecięciu dwóch rzędów, to w tych rzędach poza nią będzie jeszcze w sumie sześć innych różnych liczb, a suma trzech z nich w każdym rzędzie powinna być równa 9; tymczasem z trzech możliwości utworzenia takiej sumy (1+2+6, 1+3+5, 2+3+4) w każdych dwu jakaś cyfra się powtarza. Na podobnej zasadzie uda się wyeliminować 14 i 13; wprawdzie 13 tworzy dwa „kwartety” z całkiem różnymi „tercetami” (1+3+7 i 2+4+5), jednak po umieszczeniu tych kwartetów w pentagramie nie znajdzie się drugi tercet dla siódemki, sumujący się do 17.

Pozostał zatem tuzin liczb, od 1 do 12, z których do pentagramu trzeba wybrać dziesięć z sumą równą 60 – oczywiście takich, by odpowiednio rozmieszczone uczyniły gwiazdę magiczną. Liczby te będą występować w pentagramie czwórkami o sumie równej 24. Czwórek z taką sumą jest 29 – wszystkie podane są na rys. 3. Spośród nich należy wybrać do gwiazdy pięć takich, z których każde dwie będą zawierały jedną i tylko jedną wspólną liczbę, a we wszystkich będzie 10 różnych liczb. Bez komputerowego wsparcia niełatwo się z tym uporać, zwłaszcza że efekt jest jednoznaczny, czyli znajdzie się tylko jeden żądany kwintet złożony z następujących kwartetów: 1–3–8–12, 1–4–9–10, 2–4–6–12, 2–5–8–9, 3–5–6–10. Teraz pozostaje tylko odpowiednio ulokować te kwartety na pięciu liniach gwiazdy. Najwygodniej zacząć od jedynki, która może zająć dwie całkiem różne pozycje – na ramieniu lub w wierzchołu wewnętrznego pięciokąta (rys. 4). Po wpisaniu jedynki nietrudno wskazać trzy pola (zielone na rys. 4), do których trafią liczby, nienależące do żadnego kwartetu z jedynką, czyli 2, 5 i 6. W obu przypadkach (rys. 4a i 4b) liczby te można wpisać do zielonych pól na trzy różne sposoby. Dalsze rozmieszczanie liczb jest bardzo proste i prowadzi do 12 całkowicie różnych rozwiązań – z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych. Na rys. 5 przedstawione jest jedno z nich, wyróżniające się dodatkową magią: suma liczb na ramionach gwiazdy także równa jest 24.

Powróćmy teraz do pentagramu w pełni magicznego, który, jak wyżej wspomniałem, nie istnieje. O tym, że magicznego pentagramu z liczbami od 1 do 10 i sumą magiczną 22 nie sposób utworzyć, wiedziano od czasu publikacji Andrewsa, ale dowód zapewne nie był wtedy znany, a przynajmniej nigdzie go nie zamieszczono. Tematem zainteresowano się dopiero w roku 1960 z inspiracji kanadyjskiego matematyka Leo Mosera, znanego m.in. z kilku do dziś nierozwiązanych zagadnień z pogranicza matematyki rekreacyjnej. Na łamach amerykańskiego periodyku Pi Mu Epsilon Journal problem został wówczas sformułowany nieco inaczej: chodziło o udowodnienie niemożności rozmieszczenia liczb od 1 do 10 na przecięciach pięciu prostych w położeniu ogólnym tak, aby suma liczb na każdej prostej była taka sama („położenie ogólne” oznacza w tym przypadku, że żadne dwie proste nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie). Oto zamieszczony wówczas dowód w „tłumaczeniu” na pentagram.

Jest 18 kwartetów różnych liczb z zakresu od 1 do 10, których suma równa się 22 (rys. 6). Z nich można wybrać trzy pary kwartetów, w których taka sama jest tylko jedna liczba – 10. Pary te oznaczono na rys. 6 jednakowym kolorem. Aby któraś z tych par znalazła się w pentagramie, powinien uzupełniać ją trzeci kwartet zawierający dokładnie po jednej liczbie z każdego ze sparowanych kwartetów i dwie inne liczby. Do każdej pary kwartetów można taki kwartet dobrać – oznaczono go na rys. 6 wąskim paskiem takiego samego koloru (8–7–5–2 pasuje do dwóch par). Teraz do trójki kwartetów powinien doszlusować czwarty, zawierający dziesiątą liczbę, dotąd niewykorzystaną (zielone – 6, różowe – 9, niebieskie – 8) oraz po jednej liczbie z każdego z trzech kwartetów tego samego koloru. Jednak takiego kwartetu nie ma, zatem nie uda się zapełnić pentagramu wszystkimi dziesięcioma liczbami.

Ten niezbyt elegancki dowód stał się swego rodzaju zachętą do szukania innego, bardziej zwięzłego. Wszystkie opublikowane później oparte były jednak na podobnej zasadzie – ograniczania w kolejnych etapach zbioru liczb. Być może komuś z Czytelników uda się znaleźć dowód, odbiegający od tego schematu, wynikający z dostrzeżenia w układzie liczb czegoś szczególnego. Jeśli taki dowód zostanie nadesłany, opublikujemy go w tej rubryce.

Zadania

1. W artykule podany jest wzór, określający zależność między liczbą na ramieniu pięciokątnej gwiazdy magicznej (L) a sumą magiczną (S_m) i trzema liczbami (a, b, c) na obwodzie wewnętrznego pięciokąta: L=S_m/2-(a+b)+c (rys. 2). Proszę udowodnić prawdziwość tej zależności, wynikającą z magii pentagramu, czyli wyprowadzić podany wzór, korzystając z oznaczeń na rys. 2.

2. Jeden z ciekawszych dowodów nieistnienia w pełni magicznego pentagramu 1–10, czyli z sumą magiczną 22, zaczyna się od stwierdzenia, że gdyby utworzenie go było możliwe, to liczby 1 i 10 musiałyby się znaleźć na jednej linii, czyli w tym samym kwartecie. Proszę udowodnić to stwierdzenie bez szukania wszystkich możliwych par kwartetów z 10 lub 1, czyli bez korzystania z rys. 6 i związanego z nim dowodu.

3. W polach lewego pentagramu na rys. 7 powinny znaleźć się liczby od 1 do 10 tak rozmieszczone, aby powstała gwiazda magiczna inaczej: sumy kwartetów liczb na liniach powinny być pięcioma różnymi, kolejnymi liczbami. Cztery liczby są już na swoich miejscach, pozostaje odpowiednio wpisać sześć pozostałych.

4. W polach prawego pentagramu na rys. 7 powinny znaleźć się liczby od 0 do 9 tak rozmieszczone, aby powstała gwiazda niemagiczna z sumami kwartetów liczb na liniach wskazanymi na rysunku. W rozwiązaniu wystarczy podać liczby, które znajdą się w czterech kółkach na poziomej, różowej linii.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 9/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Davida R. Beguna Prawdziwa planeta małp. Nowa historia człowieka ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru lipcowego

1. W diagramie fillomina 1–2–3 jest 11 monomin, 7 domin i 8 trimin (rys. 8).

2. Kratki diagramu suguru, w które można wpisać dwie różne cyfry (1 lub 5) oznaczone są na pełnym rozwiązaniu (rys. 9).

3. W narożnych polach polidoku są cyfry 4, 4, 5, 7 (rys. 10).

4. Półmagiczny prostokąt można podzielić na pentomina z różnymi cyframi na trzy sposoby (rys. 11).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań książkę Krótka historia wszystkich ludzi, którzy kiedykolwiek żyli Adama Rutheforda, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Adam Biernacki z Wąsosza, Maks Brandt z Bolesławca, Radosław Celuch i Kamil Gala z Warszawy oraz Mateusz Harla z Krakowa.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.