Magia z pustymi polami

Kwadraty magiczne są jednym z klasycznych, sztandarowych tematów matematyki rekreacyjnej. Mimo ich niepraktyczności i rozrywkowego charakteru (a może właśnie dlatego) zajmowało się nimi wielu znanych matematyków, a obszerny traktat poświęcił im koryfeusz królowej nauk Leonhard Euler. Warto zaznaczyć, że kwadrat magiczny należy z definicji do obiektów stricte matematycznych – macierzy kwadratowych, którymi zajmuje się algebra liniowa. Gwoli ścisłości przypomnijmy, że chodzi o macierz kwadratową n×n, której elementami są kolejne liczby od 1 do n² rozmieszczone tak, że suma n liczb w każdym wierszu, kolumnie i na obu głównych przekątnych jest taka sama, równa n(n²+1)/2 – na przykład 34 dla n=4 (rys. 1). Ten przykład jest zapewne najbardziej znanym kwadratem magicznym – znajduje się na słynnym miedziorycie Albrechta Dürera Melancholia I.

Znacznie mniej znane są spokrewnione z „magią” kwadraty z niektórymi pustymi polami (nazwiemy je kwadratami MPP), czyli takie, w których liczby naturalne występują nie we wszystkich polach, ale są to zawsze, jak w kwadratach magicznych, różne i kolejne liczby – od 1 do jakiegoś m<n², zwykle największego możliwego, a ich zakres ograniczony jest określonym „magicznym” warunkiem – czasem dokładnie takim, jak w macierzystych kwadratach (jednakowe sumy). Z niektórymi wiążą się zawiłe, trudne do analizy problemy. Zaczniemy jednak od nieskomplikowanego wariantu łamigłówkowego.

W niektórych krajach uczniowie szkół podstawowych, wprawiając się w szukaniu dzielników i rozkładzie na czynniki pierwsze liczb złożonych, rozwiązują na lekcjach matematyki zadania, które są typowymi łamigłówkami. W jednym z wariantów takich zadań do wybranych pól kwadratu n×n należy wpisać 2n różnych liczb od 1 do 2n tak, aby:

– w każdym rzędzie (wierszu i kolumnie) znalazły się dwie liczby,

– iloczyn pary liczb w danym rzędzie był równy liczbie podanej nad kolumną lub obok wiersza.

W podręcznikach zadania są łatwe, a kwadraty małe – na ogół 4×4, jak na rys. 2 z lewej strony. Typowy, schematyczny sposób rozwiązywania polega na wypisaniu przy wierszach i kolumnach odpowiadających iloczynom możliwych mnożeń, czyli par mnożna-mnożnik (rys. 2 w środku), a następnie wybieraniu i lokowaniu właściwych czynników w odpowiednich polach na „skrzyżowaniach” (rys. 2 z prawej). Takie „krzyżówki czynników” pojawiają się także w prasowych działach rozrywek umysłowych lub specjalistycznych publikacjach, a wówczas ich format jest większy i są nieco trudniejsze. Ponadto dwa iloczyny (jeden nad kolumną, drugi obok wiersza) z reguły nie są podawane, bo nie jest to konieczne – jak na rys. 3. Łatwo sprawdzić, że więcej niż dwu brakujących iloczynów być nie może, bowiem wówczas rozwiązanie nie byłoby jednoznaczne.

Zabawa liczbowa jest równie przyjemna i pożyteczna, jak choćby sudoku, ale w przeciwieństwie do tej popularnej łamigłówki – rachunkowa (w sudoku nie ma liczenia, liczby pełnią wyłącznie funkcję znaków). Trudno uznać ją za ambitną autorsko, bowiem właściwie wystarczy ulokować w diagramie liczby od 1 do 2n, po parze w każdym rzędzie, wypisać przy brzegach ich iloczyny, które stanowią coś w rodzaju „wyciągu” z tabliczki mnożenia, usunąć liczby z diagramu i… zadanie gotowe.

Oczywiście, można się postarać, aby droga do rozwiązania była nieco wyboista, ale czynniki pierwsze, zwłaszcza te większe, skutecznie wyznaczają szlak, bo wskakują do pól diagramu śmiało i jednoznacznie, o czym nietrudno się przekonać, rozwiązując zadanie z rys. 3 (n=6, więc wpisywane są liczby od 1 do 2n=12). Jest to także łamigłówka „asortymentowo” uboga, jeśli chodzi o liczbę różnych iloczynów, które mogą pojawić się obok diagramu. Dla 12 liczb umieszczanych w kwadracie 6×6 różnych par mnożna-mnożnik jest 66 (kombinacje bez powtórzeń), ale 11 par (6, 8, 10, 18, 20, 30, 36, 40, 48, 60, 72) występuje dwukrotnie, a dwie pary (12, 24) – trzykrotnie, więc różnych iloczynów pozostaje 66–11–2×2=51; dla szkolnych kwadratów 4×4 iloczynów jest ponad dwukrotnie mniej – tylko 24. Nic więc dziwnego, że łamigłówki dla zaawansowanych sięgają formatem sudoku, czyli 9×9 – wtedy do wykorzystania jest już 111 iloczynów. Koneserów lubiących trudne wyzwania zadowala jednak dopiero uzupełnienie, a właściwie zastąpienie niektórych iloczynów sumami. Droga do celu bywa wówczas mocno wyboista – propozycją jej pokonania jest pierwsze zadanie konkursowe.

Omawianie drugiego rodzaju kwadratów MPP zaczniemy od zagadki indukcyjnej, czyli polegającej na odgadnięciu reguły na podstawie przykładu, w którym ta reguła obowiązuje. Przykładem jest diagram 4×4 (rys. 4a) z wpisanymi liczbami od 1 do 10, a do odgadnięcia reguła rządząca rozmieszczeniem liczb. Wypada dodać, że więcej liczb w kwadracie tego formatu być nie może, czyli jedenastki w żadne pole nie da się już wpisać, jeśli zagadkowa reguła ma być zachowana. Rysunek 4b stanowi klucz do rozwiązania zagadki: odległość między 1 a 2 jest większa niż między 2 a 3, która jest większa niż między 3 a 4, ta z kolei większa, niż między 4 a 5 itd., aż do najmniejszej jednostkowej odległości między 9 a 10; ściślej, chodzi o odległości między środkami pól z liczbami.

W sumie odcinków, tworzących „dystansową” linię łamaną, jest 9. Nie więcej, bo tyle jest różnych dystansów między środkami pól w kwadracie 4×4. Odcinki te występują solo na rys. 5, a właściwie w duetach ze swoimi długościami. Większość z nich można uznać za przeciwprostokątne trójkątów o całkowitych długościach przyprostokątnych, gdzie jednostką długości jest odległość między środkami sąsiednich pól. Długości wszystkich odcinków, jakie można poprowadzić w kwadracie n×n dla 1≤n≤7, podane są w poniższej tabeli. Każda długość znajduje się na przecięciu wiersza i kolumny oznaczonych długościami przyprostokątnych i każda podana jest z dokładnością do części dziesiętnych. W tabeli uwzględniono także odcinki poziome i pionowe – w tym przypadku jedna przyprostokątna ma zerową długość (pierwszy wiersz).

Rozmieszczenie liczb na rys. 4 nie jest jedynym możliwym (pomijamy obroty i odbicia lustrzane). Różnica jest jednak bardzo niewielka, bo sprowadza się tylko do liczby 10, która może się znaleźć jeszcze w dwu innych polach. Miejsca pozostałych liczb są wymuszone przez regułę rządzącą ich rozmieszczeniem, a konkretnie przez długości kolejnych odcinków. Sprawdzanie działania „dystansowej” reguły w większych dystansowych kwadratach MPP należałoby zacząć od określenia liczby możliwych do poprowadzenia w nich różnych dystansów. Dla kwadratu n×n liczba ta wyraża się wzorem (n–1)(n+2)/2. Jeśli więc n=5, to dystansów jest 14, zatem do kwadratu uda się wpisać najwyżej liczby od 1 do 15. Zaczynamy oczywiście od przekątnej, a lokowanie kolejnych liczb będzie wymuszone regułą aż do 9 (rys. 6a). Wprawdzie 9 można wpisać także w pole x, ale wtedy później zabraknie miejsca dla 11. W dalszej trasie pojawia się wiele „rozdroży” i ostatecznie powstaje 38 różnych rozwiązań. Na rys. 6b przykładowe – jedyne, w którym 10 pustych pól tworzy spójny obszar sięgający wszystkich boków kwadratu.

Dla n=6 do kwadratu jednoznacznie wpisuje się liczby od 1 do 6. Siódemka wymaga dystansu 5,1 i możliwości są dwie (rys. 7a). Jeśli jednak zacząć od górnej siódemki, to jednoznacznie uda się dojechać do 12 – dwoista jest dopiero trzynastka (rys. 7b). W przypadku dolnej siódemki pojawiają się ósemkowe trojaczki, przy czym usytuowanie dystansów równych 5 jest dwojakie – poziome albo ukośne, odpowiadające przeciwprostokątnej tzw. trójkąta egipskiego. Wszystkich sposobów rozmieszczenia liczb od 1 do 20 (19 dystansów) jest kilkaset. Przykład na rys. 8 jest unikalny, podobnie jak przykład na rys. 6b ze względu na spójny, sięgający wszystkich boków kwadratu obszar bez liczb.

Kwadrat z progresywnie zdystansowanymi kolejnymi liczbami jest podstawą opartej na takiej samej regule łamigłówki. W pokratkowanym prostokącie oznaczone są pola, w które należy wpisać m różnych liczb od 1 do m tak, aby odległości między kolejnymi liczbami tworzyły ciąg rosnący. Nie musi to być i zwykle nie jest – jak w omawianych kwadratach – ciąg, w którym różnice między kolejnymi dystansami są najmniejszymi możliwymi. Przykład prostego zadania na rys. 9 – liczby od 1 do 6 powinny trafić do zielonych pól.

Trzeci rodzaj kwadratów MPP, zwany sąsiedzkim, ma następującą definicję: w niektóre pola kwadratu n×n wpisanych jest m kolejnych różnych liczb tak, że m jest maksymalne, a każde pole z liczbą k≤m sąsiaduje (graniczy bokiem lub tylko rogiem) z k pustymi polami.

Układanie takich kwadratów ograniczone jest warunkiem 1≤k≤8, a w związku z tym praktycznie sens mają kwadraty z n nie większym od najmniejszego, dla którego m=8. Zakres n jest więc także niewielki, bo m=8 pojawia się już w kwadracie 5×5, natomiast w kwadracie 3×3 debiutuje najmniejsze m=4 (jedyny kwadrat 3×3 – z dokładnością do obrotów i odbić – na rys. 10). Rozwiązywanie zadania, polegającego na szukaniu kwadratów 4×4, jest już zadaniem dla wytrwałych, choć kilka wstępnych „poszlak” nietrudno ustalić na logikę. Po pierwsze: siódemka nie może się pojawić, bo wtedy 6 i 7 musiałoby się znaleźć na dwóch z czterech centralnych pól i „zarezerwować” tyle pól, że nie starczyłoby miejsca dla odpowiednio rozlokowanych pięciu pozostałych cyfr. Po drugie: szóstka powinna trafić na jedno z czterech centralnych pól. Po trzecie: jedynka musi być w rogu (proszę spróbować tego dowieść). Po czwarte: z jedynką powinna sąsiadować bokiem dwójka lub trójka (też do dowiedzenia). Dalej trzeba sprawdzać różne kombinacje, a efektem jest 14 rozwiązań (rys. 11).

W przypadku kwadratów 5×5 nietrudno ustalić dotyczące rozmieszczenia liczb warunki wyjściowe, które muszą być spełnione: po pierwsze – jedynka w rogu i sąsiadująca z nią bokiem dwójka lub trójka; po drugie – tercet (6, 7, 8) w centralnym kwadracie 3×3, ale wykluczone jest sąsiadowanie szóstki i siódemki z ósemką. Szukanie kwadratów przy uwzględnieniu tych warunków wymaga wprawdzie systematyczności i uwagi, ale jest logicznie dość proste i eleganckie. Na przykład: w sytuacji przedstawionej na rys. 12 jedynka może się znaleźć w dolnym rogu – lewym lub prawym. Jeśli, jak na rysunku, trafi w lewe, to w dwóch niebieskich i w dwóch różowych polach konieczne będzie ulokowanie w sumie czterech cyfr, gdy tymczasem do dyspozycji pozostały tylko trzy – 2, 3, 4. A zatem lewy dolny róg nie jest miejscem dla jedynki. Czy może nim być prawy? Równie klarowna ścieżka logicznego wnioskowania prowadzi do odpowiedzi twierdzącej, a ściślej – do dwóch podobnych rozwiązań. Wszystkie sąsiedzkie kwadraty MPP 5×5 są 24 – oczywiście z pominięciem obrotów i odbić. Ciekawe, że aż w 10 z nich rozmieszczenie tercetu największych liczb jest takie samo (rys. 13).

Najbardziej zbliżone do zwykłych kwadratów magicznych są kwadraty MPP zwane gamicznymi (gramatycznym przejawem podobieństwa jest „czeski błąd”). Różnica polega tylko na tym, że liczby nie zajmują wszystkich pól, a sumy są jednakowe w wierszach, kolumnach i na wszystkich przekątnych, a nie tylko na dwóch głównych. Pełna definicja jest następująca: w niektórych polach diagramu n×n znajduje się k kolejnych liczb – od 1 do k – rozmieszczonych tak, że:

– jeśli w jakimś wierszu, kolumnie lub na dowolnej przekątnej (głównej albo równoległej do niej) występują co najmniej dwie liczby, to ich suma magiczna s jest zawsze jednakowa;

– k jest największą możliwą liczbą, a przy największym k maksymalne jest także s.

Kwadraty gamiczne są trudne do znajdywania i analizy. Przede wszystkim ze względu na brak ogólnego dowodu, że określone k i s są dla danego n największe. Dla najmniejszego n=3 metoda prób i błędów dość łatwo prowadzi do odkrycia okazu z k=4 i s=7 (rys. 14a), ale już dla n=4 praktycznie nieodzowne jest wsparcie komputerowe (wyzwanie stanowi także napisanie odpowiedniego programu), a efekt tego wspomagania znajduje się na rys. 14b (k=8, s=13). Niektóre zależności liczbowe związane z kwadratami gamicznymi nietrudno ustalić, choć praktycznie nie na wiele się przydają. Na przykład: każda liczba może wchodzić w skład co najwyżej czterech sum s; największa liczba sum s dla danego n wynosi L_s=6(n-1).

Najciekawsza wydaje się zależność między największą liczbą (L_k) wszystkich co najmniej 2-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru liczb od 1 do k, dających taką samą sumę s, a wartością k. Brzmi to nieco zawile, więc gwoli jasności dwa przykłady. Dla k=3 (zbiór {1, 2, 3}) mamy cztery kombinacje: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Suma liczb w każdej jest inna, więc trudno mówić o największej L_k z taką samą s – po prostu w tym przypadku L_k=1. Dla k=4 kombinacji jest 11, a w trzech parach jest jednakowa suma: {1, 4} i {2, 3} – suma 5, {2, 4} i {1, 2, 3} – suma 6, {3, 4} i {1, 2, 4} – suma 7. Ponieważ takiej samej sumy nie dają żadne trzy kombinacje, więc L_k=2. Poniższa tabelka zawiera wartości L_k dla dziesięciu kolejnych k.

Jak widać, w dolnym wierszu wyskakuje niczym królik z kapelusza dobry znajomy – ciąg Fibonacciego. Dlaczego? Oto jest pytanie.

Na rys. 15 znajdują się przykłady większych kwadratów uznanych za gamiczne – 5×5 (k=11, s=20), 6×6 (k=14, s=21), 7×7 (k=15, s=22). Uznanych, bo nie ma pewności, czy nie zostaną znalezione okazy z większym k lub s.

Zadania

1. Do dziesięciu pól kwadratu (rys. 16) należy wpisać dziesięć różnych liczb – od 1 do 10 – tak, aby w każdym rzędzie (wierszu i kolumnie) znalazły się dwie liczby oraz aby liczba podana przed wierszem i nad kolumną była sumą lub iloczynem liczb znajdujących się w danym rzędzie.

2. Do trzynastu zielonych pól diagramu 6×5 (rys. 17) należy wpisać kolejne liczby od 1 do 13 tak, aby każdy dystans między liczbami x a (x+1) był mniejszy niż między liczbami (x+1) a (x+2) – a ściślej między środkami pól z tymi liczbami.

3. Kwadraty sąsiedzkie MPP bywają czasem przedstawiane w wersji „królewskiej”: zamiast cyfr na polach stoją króle szachowe, a każdy atakuje inną liczbę pustych pól – od 1 do m. Analogicznie tworzone są wersje kwadratów MPP z innymi figurami szachowymi jednego rodzaju. Na rys. 18a jest wariant konikowy dla n=4, czyli na planszy 4×4 oraz z m=4, czyli z 4 skoczkami, z których każdy atakuje inną liczbę pustych pól – od 1 do 4. Zadanie polega na ustawieniu na planszy 5×5 (rys. 18b) sześciu koników tak, aby każdy atakował inną liczbę pustych pól – od 1 do 6. Zadanie ma wiele rozwiązań. Proszę znaleźć przynajmniej jedno takie, w którym żadne dwa skoczki nie stoją na sąsiednich polach – mających wspólny bok.

4. W siedmiu polach kwadratu na rys. 19 brakuje siedmiu liczb z zakresu od 1 do 14 (3, 4, 5, 7, 11, 13 14). Liczby te należy wpisać do odpowiednich niebieskich pól tak, aby powstał kwadrat gamiczny (k=14, s=21).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 stycznia 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 01/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jak kochać zwierzęta w świecie człowieka Henry’ego Mance’a ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru listopadowego

1. Wezyr ma do wyboru 34 drogi.

2. Pierwszy ruch białych: 1. Se4-c5. Ciąg dalszy: 1. … d6:c5, 2. Gb8:c7X lub 1. … Hf6:h8, 2. Sc5-d7X.

3. Jedno z trzech możliwych rozwiązań (z dokładnością do obrotów i odbić) na rys. 20.

4. 11 wezyrów. Pełne rozwiązanie na rys. 21.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Człowiek, który wspina się na drzewa Jamesa Aldreda, ufundowaną przez Wydawnictwo Rebis, otrzymują: Wiesław Blicharski z Zegrza Południowego, Natalia Chrupek z Wyszkowa, Zbigniew Kapusta z Banina, Waldemar Karpiński z Nowego Miasta Lubawskiego, Beata Kawczyńska z Warszawy.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.