Świeżaki układne. Kilka słów o „szykownych” liczbach

Wieś liczy 40 gospodarstw, a każdy gospodarz hoduje świeżaki – niektórzy tylko na własne potrzeby, ale większość także na sprzedaż. W sumie aktualnie we wsi jest 2017 świeżaków, przy czym u każdego gospodarza ich liczba jest inna. Najwięcej świeżaków ma sołtys – ile, jeśli ta liczba jest najmniejszą z możliwych?

To zadanie, pochodzące z holenderskiej olimpiady matematycznej dla uczniów szkół średnich (nieznacznie zmienione), jest dobrym punktem wyjścia do tematu tzw. liczb układnych, czyli – w dawnym znaczeniu tego słowa – powstających w sposób uporządkowany, „szykowny”. Byłoby ono niemal trywialne, gdyby chodziło o największą możliwą liczbę świeżaków hodowanych przez sołtysa. Wystarczyłoby wówczas ustalić, ile najmniej świeżaków jest u pozostałych 39 gospodarzy, czyli zsumować liczby od 1 do 39: 1+2+3+…+37+38+39=[(1+39)/2]×39=780, a następnie odjąć tę liczbę od 2017. Pierwszy etap takiego rozwiązywania jest właśnie tworzeniem liczby układnej, a zatem: liczby układne to takie, które równe są sumie x kolejnych liczb całkowitych dodatnich od n do n+x–1, gdzie n może być dowolną liczbą całkowitą większą od zera, a x – od jednego. Tabela 1 obejmuje 28 początkowych liczb układnych z uwzględnieniem wszystkich sposobów tworzenia (podziałów) każdej z nich.

Przyglądając się tej tabeli, można wyciągnąć kilka ciekawych wniosków – na razie w formie hipotez:

1) układna jest zdecydowana większość liczb naturalnych n>0;

2) liczby nieukładne tworzą ciąg: 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

3) stopień układności, określany jako liczba różnych podziałów liczby układnej na sumę kolejnych liczb, może być różny. W tabeli wynosi 1 (liczby 1–układne, zielone rzędy), 2 (liczby 2–układne, żółte) lub 3 (liczby 3–układne, niebieskie), ale może przyjmować wartości nieskończenie duże; np. liczba 295 489 569 375 jest najmniejszą 1000–układną, czyli z ciągu liczb naturalnych można „wyciąć” 1000 różnych fragmentów takich, że suma liczb tworzących każdy fragment będzie równa 295 489 569 375. Przy okazji warto zauważyć, że ciąg najmniejszych liczb n-układnych nie jest, jak można by wnioskować z tabeli, ciągiem rosnącym, czyli np. najmniejsza liczba 5-układna (45) nie jest większa od najmniejszej 4-układnej (81).

Wnioski (1) i (2) wiążą się z twierdzeniem:

Liczba naturalna jest układna, czyli stanowi sumę co najmniej dwu kolejnych liczb naturalnych, wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest potęgą dwójki.

Aby dowieść zaskakującej nieukładności liczb 2ⁿ, wystarczy zapisać liczbę układną n w ogólnej postaci jako sumę k+1 wyrazów – od m do m+k (k>0) – ciągu arytmetycznego o różnicy równej 1:

n=m+(m+1)+…+(m+k)= (k+1)(2m+k)/2

W otrzymanym iloczynie jeden z czynników – k+1 lub 2m+k – zawsze jest nieparzysty, a drugi parzysty, czyli każda liczba układna ma przynajmniej jeden dzielnik nieparzysty większy od 1. Tymczasem żadna potęga dwójki nie ma takiego dzielnika, a zatem liczbą układną być nie może. Warto zauważyć, że korzystając z podobnego wzoru, można udowodnić, że suma wyrazów żadnego ciągu arytmetycznego o nieparzystej różnicy nie może być równa potędze 2. Suma 2ⁿ pojawia się tylko wtedy, gdy różnica jest liczbą parzystą, np. 1+3+5+7=16 lub 10+14+18+22=64.

Czy poza potęgami 2 mogą być jakieś inne liczby nieukładne, czyli takie, które nie mają dzielnika nieparzystego większego od 1? Nie, ponieważ każda inna liczba albo jest pierwsza albo jej rozkład na czynniki pierwsze zawiera liczbę pierwszą różną od 2, a więc nieparzystą.

Liczba składników tworzących daną układną liczbę-sumę zwana jest długością podziału. Podział może być parzysty lub nieparzysty w zależności od tego, czy parzysta (nieparzysta) jest liczba tworzących go składników. Na przykład, z trzech podziałów 15 jeden jest parzysty o długości 2 – 7+8, a dwa nieparzyste o długościach 3 i 5 – 4+5+6 i 1+2+3+4+5.

Oznaczmy przez d nieparzysty dzielnik liczby układnej n i utwórzmy fragment ciągu liczb naturalnych:

n/d–(d–1)/2, n/d–(d–1)/2+1, …, n/d–1, n/d, n/d+1, …, n/d+(d–1)/2–1, n/d+(d–1)/2

Fragment ten składa się z tylu liczb, ile ich jest od –(d–1)2 do (d–1)/2, czyli d, zaś ich suma równa jest n, ponieważ suma liczb od –(d–1)2 do (d–1)/2 wynosi zero.

Do rozpatrzenia są dwa przypadki:

I) (d–1)/2<n/d; wtedy powyższy fragment ciągu jest nieparzystym podziałem liczby układnej n.

II) (d–1)/2≥n/d; wówczas powyższy fragment ciągu zaczyna się od zera lub liczby ujemnej. Po usunięciu zera oraz wyrazów ujemnych i przeciwnych do nich wyrazów dodatnich pozostaje fragment:

(d–1)/2–n/d+1, (d–1)/2–n/d+2, …, n/d+(d–1)/2

który jest parzystym podziałem o długości 2n/d liczby n.

Jak z tego wynika (choć nie jest to pełny dowód), każdy podział liczby układnej jest „sprzężony” z jednym i tylko z jednym z jej nieparzystych dzielników. Inaczej mówiąc, różnych podziałów danej liczby można utworzyć dokładnie tyle, ile ma ona nieparzystych dzielników. Można też określić, korzystając z opisanych wyżej przypadków (I) i (II), ile z tych podziałów będzie nieparzystych, a ile parzystych.

Praktycznie ustalenie, ile jest podziałów liczby układnej n, czyli jaki jest stopień układności, polega na rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze, a następnie pomnożeniu powiększonych o 1 wszystkich wykładników potęg przy nieparzystych czynnikach w rozkładzie. Liczba podziałów jest o 1 mniejsza od otrzymanego iloczynu. Na przykład w rozkładzie 90:

90=2*3²*5

wykładnikami potęg przy czynnikach nieparzystych są 2 i 1, a zatem liczba podziałów 90 równa jest (2+1)*(1+1)–1=5. Wszystkie podziały przedstawione są w tabeli 2.

W praktyce tworzenie podziału, odpowiadającego danemu dzielnikowi d, wiąże się z podanymi wyżej przypadkami (I) i (II).

Gdy (d–1)/2<n/d, można zacząć od zapisania sumy d jednakowych składników q=n/d:

n=q+…+q+…+q

a następnie zmieniać wartości tych q, które leżą na lewo i na prawo od środkowego q. Każde kolejne „lewe” q powinno być mniejsze o 1 od poprzedniego, a każde kolejne „prawe” – większe o 1.

Jeśli natomiast (d–1)/2≥n/d, to najwygodniej jest zacząć od zapisania pierwszej liczby podziału równej (d–1)/2–n/d+1 i dopisywać kolejne dotąd, aż otrzymamy ostatni wyraz – n/d+(d–1)/2.

Liczby układne są ściśle związane z liczbami trójkątnymi, które często przedstawia się w postaci graficznej, np. takiej jak diagram na rys. 1, odpowiadający czwartej liczbie trójkątnej równej 10. Liczby kwadracików w kolejnych rzędach „zębatego” trójkąta równe są kolejnym liczbom naturalnym, czyli n-ta liczba trójkątna równa jest sumie kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Każda liczba układna jest więc albo liczbą trójkątną albo różnicą dwóch liczb trójkątnych. Jeśli różnicą, wówczas jej graficzne przedstawienie ma kształt „zębatego” trapezu prostokątnego. W związku z tym liczby układne zwane są czasem trapezowymi. Każda z nich ma oczywiście tyle postaci graficznych, ile podziałów. Dwie postacie trapezowe liczby 18 przedstawione są na rys. 2. Pierwsza z nich jest różnicą liczb trójkątnych 28 i 10, druga – 21 i 3.

Zadania

1. Pierwszym konkursowym jest zadanie o świeżakach zamieszczone na początku artykułu.

2. Graficzną postacią liczby układnej może być także prostokąt, np. liczby 63 – prostokąt 7×9 (rys. 3). Jak podzielić ten prostokąt na dwie części wzdłuż oznaczonych linii w taki sposób, aby z części tych można było złożyć trapezową postać graficzną liczby 63? Jeśli rozwiązań jest więcej niż jedno, należy podać wszystkie.

3. Liczby układne kwadratowe to takie, które są sumą kwadratów przynajmniej dwóch kolejnych liczb całkowitych dodatnich. Tworzą one ciąg:

5, 13, 14, 25, 29, 30, 41, 50, 54, 55, 61, 77, 85, 86, 90, 91, 110, …

Niektóre z tych liczb, podobnie jak układne zwykłe, mają więcej niż jeden podział; najmniejszą z dwoma podziałami jest 365=10²+11²+12²=13²+14². Wśród liczb układnych kwadratowych występują także kwadraty, a długość podziału większości z nich wynosi 2, jak 25 w powyższym fragmencie (25=3²+4²); następnym jest 841=40²+41². Podział każdego kwadratu w tym ciągu zawiera 2 lub więcej niż 10 składników. Proszę znaleźć najmniejszy kwadrat, który jest sumą kwadratów 11 kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 6/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Czy Wielki Wybuch był głośny? Karoliny Głowackiej i Jeana-Pierre’a Lasoty ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru kwietniowego

1. Powierzchnia żółtej części koła równa jest 80 (z dokładnością do jedności).

2. Wystarczy zamienić miejscami cztery cyfry, np. w cyklu: 1>5>3>7>1.

3. Należy w pierwszym ruchu połączyć punkty 9 i 11. Po równomiernym rozciągnięciu pozostałych „grających” 16 punktów na cały okrąg okaże się, że pary różnej parzystości (n–p) leżą naprzeciwko siebie, a poza tym układ wszystkich par jest symetryczny (symetria n–n i p–p) względem jednej osi. W tym układzie kto zacznie, ten przegra, bo drugi będzie zawsze rysował cięciwę symetrycznie względem środka w stosunku do narysowanej w poprzednim ruchu.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Maria Skłodowska-Curie Magdaleny Niedźwiedzkiej ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Adrian Gracz ze Skawy, Tomasz Kosiacki z Łodzi, Paweł Kozyra z Pszczyny, Michał Stańczuk z Kobyłki, Andrzej Sulich z Olkusza.

***

Sprzężenie zwrotne

W styczniowym „Umyśle giętkim” zamieszczone było poniższe zadanie.

Na planszy 6x6 ustawiono kwadrat z 16 pionków (rys. 4). Należy wykonać jak najmniej takich ruchów pionkami, po których nie będzie możliwe wykonanie żadnego ruchu. Ruchem jest skok w rzędzie lub kolumnie jednym pionkiem przez drugi i usunięcie przeskoczonego pionka (rys. 5a); jednym ruchem jest także seria dwu lub więcej takich skoków tym samym pionkiem (przykład na rys. 5b). W numerze marcowym podano jako najkrótsze rozwiązanie złożone z pięciu ruchów: 1. d3-f3, 2. d5-d3-d1, 3. c3-a3, 4. c5-a5, 5. e5-e3-e1-c1-c3-c5, po którym na planszy pozostaje 6 pionków (rys. 6). Tymczasem dwie osoby – Waldemar Karpiński z Nowego Miasta Lubawskiego i Krzysztof Szeruga z Wrocławia – uporały się z tym zadaniem w czterech ruchach. Proszę spróbować pójść ich śladem, wiedząc, że na planszy także pozostaje 6 pionków, a ostatni, czwarty ruch jest najdłuższy i składa się z 6 skoków.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.