Cyfra do cyfry, czyli o sumach znaków

„Dodawanie cyfr” jest określeniem oprotestowanym przez purystów: „cyfra to znak, a nie dodajemy znaków, tylko ich wartości, czyli liczby”. Istotnie, tak wynika z definicji cyfry. Zatem najwyższa pora, aby słownik uzupełnić drugą, pokrewną definicją: cyfra oznacza także (potocznie) liczbę jednocyfrową. Takie określenie w praktyce od dawna jest domyślnie akceptowane choćby przy cechach podzielności. Uczniowie podstawówki dowiadują się w czwartej klasie, że liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3.

Przechodząc od semantyki do matematyki: sumowanie cyfr liczby w celu określenia jej podzielności przez 3 lub 9 można zaliczyć do jednego z historycznie pierwszych praktycznych, nie całkiem elementarnych zastosowań arytmetyki. Na marginesie tego stwierdzenia warto sobie przypomnieć albo dowieść, dlaczego ten sposób jest skuteczny, a to wbrew pozorom nie taka łatwa łamigłówka.

Znany jest ogólny – sprytny, ale niepraktyczny wzór na S(m,n) – sumę cyfr m-cyfrowej liczby n: (Wzór nr 1)

Kwadratowe „półnawiasy” z kreseczką u dołu oznaczają, że objęte nimi działania należy zaokrąglić w dół do liczby całkowitej. Niepraktyczność jest oczywista – łatwiej dodawać cyfry, niż korzystać z tego wzoru, chyba że zamierzamy sprawdzić, czy „działa”, na przykład w przypadku 8-cyfrowej liczby mieszkańców Polski (wg spisu z roku 2021):

S(8,n) = 37019327 – 9×(3701932 + 370193 + 37019 + 3701 + 370 + 37 + 3) = 32

Sumy cyfr kolejnych liczb naturalnych tworzą monotonny (ale nie monotoniczny) cykliczny ciąg, które to cechy widoczne są na jego wykresie (rys. 1).

Z sumowaniem cyfr tworzących liczby wiąże się kilka ciekawych zagadnień.

Oczywistym jest, że różne liczby mogą mieć takie same sumy. Ile jest zatem liczb dających określoną sumę – na przykład 13? Odpowiedź brzmi: „nieskończenie wiele”, bo liczby można dowolnie szpikować zerami, które na sumę nie wpływają. Bardziej konkretna odpowiedź możliwa jest po uściśleniu pytania, czyli na przykład po wykluczeniu zer. Wtedy zbiór szukanych liczb sięga od 49 do 1 111 111 111 111, a jego liczebność wyraża się prostym wzorem, dającym potęgi dwójki – 2^n–1. Zatem liczb bez zera z sumą cyfr równą 13 jest 4096.

Przywrócenie zer wymaga innego ograniczenia. Zwykle dotyczy ono liczby cyfr, czyli pytanie brzmi: ile jest d(k,m), czyli np. k=7-cyfrowych liczb, których suma cyfr m=13? Gdyby suma była jednocyfrowa, czyli na przykład m=9, sprawa byłaby prosta. Należałoby skorzystać dwukrotnie ze wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami, czyli (Wzór nr 2) – dla k=7 i k=6, a następnie odjąć mniejszy wynik od większego: (Wzór nr 3)

Odjemnik dotyczy kombinacji, zaczynających się zerem, które są wykluczone jako liczby.

Podany wzór można sprowadzić do jednego symbolu Newtona: (Wzór nr 4)

Wzór komplikuje się dla m≥10, bo wówczas w kombinacjach, a więc także w liczbach, pojawiają się „cyfry dwucyfrowe” i takie liczby należy pominąć. W prostym przypadku – dla k=3 i m=10 – korzystając z wzoru (A), otrzymamy d(3,10)=55. Wśród tych 55 liczb jest jedna z „cyfrą” 10 na początku (więcej nie ma, bo w takiej liczbie są jeszcze dwa zera, które „przodować” nie mogą). Wystarczy więc 55 zmniejszyć o 1, aby otrzymać właściwą wartość d(3,10)=54.

Na tej samej zasadzie dla dowolnego k i m=10 wynik będzie o jeden mniejszy od uzyskanego po zastosowaniu wzoru (A). Dla większych m zaczyna się „wyższa” kombinatoryka. Jednego w miarę prostego wzoru ogólnego na d(k,m) nie ma. Można tworzyć coraz dłuższe wzory dla różnych zakresów m, obejmujących kolejne dziesiątki. Na przykład, wzór dla zakresu 10≤m≤19 i k=3 otrzymamy, odejmując od wzoru (A), a praktycznie dopisując, symbol Newtona: (Wzór nr 5). Jeszcze dłuższy jest wzór dla wszystkich wartości k w zakresie m od 10 do 19, ale dla m≥20 wzór ten nie będzie już skuteczny. Dlaczego? – to prosta zagadka. W tej sytuacji praktycznym sposobem szukania wartości d(k,m) dla m większych niż jednocyfrowe jest korzystanie z programu komputerowego. A odpowiedzią na postawione wcześniej pytanie: w ilu 7-cyfrowych liczbach suma wszystkich cyfr wynosi 13? – jest 18312. Warto zauważyć, że tyle samo jest liczb 7-cyfrowych z sumą cyfr równą 51, zachodzi bowiem zależność: m=9k+1-m.

Oczywistym jest, że suma cyfr każdej liczby n pomnożonej przez potęgę 10 nie zmienia się, czyli S(n)=S(10^an). Czy natomiast dla każdej liczby n≠10a znajdziemy taką jej wielokrotność bn≠10a, że S(n)=S(bn), czyli suma cyfr liczby n i suma cyfr jej wielokrotności (niekończącej się zerem) będą równe?

Dla większości liczb takich wielokrotności jest nieskończenie wiele, a bryluje w tym gronie – w związku z cechą podzielności – dziewiątka. Dla niektórych małych n najmniejsze wielokrotności bn są wyjątkowo duże, na przykład S(21)=S(481×21)=S(10101) lub S(31)=S(3871×31)=S(120001). Lista „czarnych owiec” zaczyna się od tercetu 1, 2, 5, co łatwo wyjaśnić: S(b×1)=1, S(b×2)=2 i S(b×5)=5 tylko wtedy, gdy wielokrotność kończy się zerem, a takie przypadki wykluczamy.

Nietrudno też uzasadnić obecność kolejnych liczb pozbawionych odpowiedniej wielokrotności: 12 i 25. W obu przypadkach decydujące są dwucyfrowe końcówki: wielokrotność dwunastu powinna być podzielna przez 4, ale nie jest, bo aby S(b×12)=3, b×12 musi kończyć się parą 02 (sprzeczność z cechą podzielności przez 4). Z kolei wielokrotność 25 kończy się parą …25 lub …75, których sumy cyfr są za duże. Prawdopodobnie nie ma większej „czarnej owcy” niż n=25, czyli większej liczby, której żadna wielokrotność (bez zera na końcu) nie ma takiej samej sumy cyfr, jak n. W trakcie poszukiwań długo kandydowały do tego grona liczby 31 i 41, ale pierwsza odpadła na 120 001, a druga na 310 001.

Pokrewny ciąg liczbowy, ale tym razem nieskończony, tworzą najmniejsze liczby, których wielokrotności mają określone sumy cyfr (nieskończony teoretycznie, bowiem dotąd niewiele wyrazów tego ciągu udało się ustalić). Na przykład wspomniana liczba 41 jest także najmniejszą, której suma cyfr wielokrotności wynosi 5. A jeśli suma cyfr wielokrotności n miałaby być równa 7, to najmniejszą n byłaby liczba pierwsza 239 (14101=239×59).

Szczególnym przypadkiem liczb z jednakową sumą są te, które składają się z takich samych cyfr, ale rozmieszczonych w różnej kolejności. Inaczej mówiąc, są one permutacjami tego samego zbioru. Ciekawe jest to, że jeśli weźmiemy dowolną parę takich bliźniaczych liczb – np. 62 389 i 39 268 – i każdą z nich pomnożymy przez 2, to sumy cyfr utworzonych w ten sposób iloczynów także będą równe. Rysunek 2 wyjaśnia tę zależność. Wyniki mnożeń przez 2 każdej cyfry (w kratkach) są w obu przypadkach takie same, więc tyle samo jest przeniesień jedynki w lewo do sąsiedniego wyniku, zaś z każdego wyniku do iloczynu wchodzi cyfra na miejscu jedności.

Analogiczne jest wyjaśnienie podobnej własności dotyczącej innego mnożnika: jednakowe są sumy cyfr wyników mnożenia liczb bliźniaczych przez 5 (rys. 3). Dla innych jednocyfrowych mnożników ta zależność nie działa ze względu na różne efekty „przenosin”.

Inna ciekawa zależność dotyczy liczb n, których podwojona suma cyfr równa jest sumie cyfr liczby 2n, czyli 2S(n)=S(2n). Liczby te tworzą ciąg: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, … . Osobliwość niełatwą do wyjaśnienia stanowi fakt, który nietrudno zauważyć – jest to po prostu ciąg… liczb naturalnych – tylko że zapisanych w piątkowym systemie liczbowym.

Natomiast łatwo wyjaśnić inną osobliwość. Jeśli liczbę, w której każda kolejna cyfra jest większa od poprzedniej, pomnożymy przez 9, to suma cyfr iloczynu zawsze będzie równa 9.

Teoretyków liczb, choć głównie bywalców liczbowego panoptikum, interesują także różnego rodzaju zależności między liczbą n, a sumą jej cyfr S(n). To oczywiste, że n≥S(n), a równe tylko w przypadku liczb jednocyfrowych, ale wtedy trudno mówić (choć można) o sumie (coś + nic = coś). A skoro jest nie mniejsza, to może być większa całkowitą liczbę razy, czyli suma jej cyfr może być jej dzielnikiem. Liczby o takiej własności zwane są liczbami Nivena – od nazwiska amerykańskiego matematyka Ivana Nivena, który pierwszy „poważnie” je potraktował w prelekcji wygłoszonej podczas konferencji matematycznej w roku 1977.

Liczby te tworzą ciąg zaczynający się kompletem jednocyfrowych, a jego dalszy fragment wygląda tak: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111,112, … . Jak widać, jest ich sporo – w ciągu liczb naturalnych do miliona średnio co dziesiąta. Rzadkością są natomiast grupy kolejnych, jak bliźniaczki (20, 21), trojaczki (110, 111, 112) czy czworaczki, do których należy liczba tegoroczna i trzy sąsiednie (2022, 2023, 2024, 2025). O własnościach liczb Nivena pisałem dokładnie w tym dziale w styczniu 2018 roku. Przypomnę kilka osobliwości.

Jeśli S(v) we wzorze v/S(v)=d oznacza sumę cyfr liczby Nivena (v), to (d-1)×S(v) jest zawsze wielokrotnością dziewięciu.

Jeszcze w latach 70. obalona została tzw. hipoteza Kaprekara, że iloraz d może być każdą liczbą naturalną. Okazało się, że najmniejszym d, które nie spełnia tej hipotezy, jest 62, a dalej występuje nieskończenie wiele „odstępców”: 63, 65, 75, 84, 95, 161, … . Inaczej mówiąc, zadanie: „jaka liczba jest 75-krotnie większa od sumy swoich cyfr?” – nie ma rozwiązania. Ale na przykład dla „76-krotnie” rozwiązania są – najmniejsze to 912.

Przez dłuższy czas uważano, że silnia każdej liczby naturalnej jest liczbą Nivena. Dopiero pod koniec XX wieku komputerowe giganty obaliły ten pogląd, ustalając, że 950-cyfrowa silnia 432 (432!) jest najmniejszą, która przez sumę swoich cyfr jest niepodzielna. Dotąd nikt nie pochwalił się znalezieniem następnej „nieposłusznej” silni.

Wszystkie liczby naturalne x można podzielić na dwie grupy: takie, które mogą powstać jako wynik dodawania mniejszej liczby y i sumy jej cyfr, czyli x=y+S(y), oraz takie, których nie można w ten sposób utworzyć. Tych drugich jest zdecydowanie mniej; tworzą ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, … . Niektóre iksy są „dziećmi” więcej niż jednego igreka, np. x=107 ma parę „rodziców” – 94 i 103. Polski matematyk Andrzej Mąkowski udowodnił, że zawsze znajdzie się liczba x, którą można utworzyć od dowolnej liczby igreków k(y). Problem w tym, że dla k(y)>2 iksy stają się astronomiczne. Już dla k(y)=3 najmniejszy x=10 000 000 000 001, choć znalezienie trzech igreków generujących ten iks nie jest, wbrew pozorom, takie trudne, a jednego z nich – trywialne.

Zadania

1. S(6)=6, a S(12)=3, czyli 6 jest najmniejszą liczbą, której suma cyfr maleje dwukrotnie po pomnożeniu liczby przez 2. Jaka jest najmniejsza liczba, której suma cyfr maleje trzykrotnie po pomnożeniu przez 3.

2. Suma cyfr liczby N i suma cyfr liczby N+1 są wielokrotnością siedmiu. Jaką najmniejszą liczbą jest N?

3. Które wartości x spełniają równanie:

x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2023?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca 2023 r. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 06/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Sary Manning Peskin Zbuntowany mózg ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru kwietniowego

1. Liczba 2023²⁰²³ kończy się cyfrą 7.

2. Ze zbioru liczb od 1 do 20 można wybrać co najwyżej pięć takich liczb, że żadna ani żadna suma dwóch lub więcej z nich nie będzie potęgą. Piątką dającą najmniejszą sumę (59), jest podzbiór {2, 11, 13, 15, 18}.

3. X=78 125=5⁷

4. Drugą parą kolejnych liczb trzycyfrowych (po 288 i 289), z których każda albo jest potęgą albo iloczynem potęg przynajmniej drugich, jest para 675 (3³×5²) i 676 (2²×13²).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Woody’ego Allena Zero grawitacji, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS, otrzymują: Bartosz Chroł i Izabela Sikorska z Warszawy, Bartłomiej Goldman z Nadarzyna, Katarzyna Kołodziej z Krakowa, Krzysztof Pałucha z Łodzi.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”