Starcie czwórek, czyli Teeko-reaktywacja

Ogólna zasada jest następująca: w polach pokratkowanego prostokątnego diagramu m×n dwaj gracze na przemian stawiają znaki – zwykle jeden kółka, drugi krzyżyki. Wygrywa ten, kto jako pierwszy utworzy ciągły rząd k swoich znaków – poziomy, pionowy lub ukośny – na przekątnych k pól. Jeśli m=n=k=3, to grą jest tradycyjna dziecięca kółko i krzyżyk. Jeżeli zaś m i n nie są ograniczone i k=5, to mamy równie tradycyjny kółko i krzyżyk na nieograniczonej planszy, który w podstawowej wersji nosi rodzimą japońską nazwę go moku.

Obie te gry nie są wolne od typowej wady: wiadomo, jak zakończy się rozgrywka, jeśli przeciwnicy wykonywać będą najlepsze ruchy. W przypadku kółka i krzyżyka wskazaniem jest remis, co dzieciom raczej nie przeszkadza, dopóki nie poznają prostej strategii. Przy go moku wygrać może zawsze rozpoczynający, ale to także nie jest przeszkodą, bo prosta strategia pozostaje tajemnicą, więc sposób doprowadzenia do zwycięstwa „zna” tylko komputer. Ten priorytet jest jednak na tyle istotny, że został uwzględniony w regułach turniejowych wariantów go moku (m=n=15 lub 19) – renju i pente. Przewagę rozpoczynającego ograniczają warunki dotyczące sposobu rozpoczynania partii.

Kółko i krzyżyk oraz go moku to klasyka znana od przynajmniej kilku wieków, która doczekała się wielu odmian. W przeciwieństwie do nich gry, w których k=4 długo pozostawały „nieodkryte”. I trudno się temu dziwić. Skoro dla k=5 rozpoczynający ma przewagę, to dla k=4 byłaby ona tak znaczna, że gra praktycznie nie miałaby sensu. Należałoby więc wprowadzić jakiś handicap, czyli warunki dodatkowe, radykalnie niwelujące przewagę rozpoczynającego. Co istotne, warunków powinno być jak najmniej, najlepiej jeden i jak najprostszy, a znalezienie takiego dodatku – skutecznego i atrakcyjnego – to niełatwa sprawa.

Jako pierwszy z tym wyzwaniem zmierzył się pod koniec lat 30. amerykański iluzjonista John Scarne. Uchodził on także za znawcę gier, zwłaszcza hazardowych w kości i w karty, które to przedmioty często stanowiły rekwizyty w demonstrowanych przez niego sztukach. Mierzenie się trwało długo, bo ostatecznie dopracowana wersja gry ukazała się w formie „pudełkowej” dopiero w roku 1952. Zawartość pudełka prezentowała się nadzwyczaj skromnie, zwłaszcza w porównaniu z modnym już wówczas Monopoly – plansza z kwadratowym układem połączonych liniami krągłych pól, schematycznie tożsama z fragmentem szachownicy 5×5, oraz 8 pionków (rys. 1). Autor był jednak tak bardzo przekonany o doskonałości, atrakcyjności i niezwykłych walorach strategicznych swojego dziełka, które nazwał Teeko (tiko), że bardzo aktywnie zaangażował się w jego reklamę i upowszechnianie. Zakładał kluby, organizował turnieje i wyzywał na pojedynek znane osobistości ze świata kultury i nauki. Nie nastręczało mu to zbytnich trudności, bo był osobą popularną, a nawet jako uznany ekspert od hazardu miał status – jak byśmy dziś powiedzieli – celebryty. Teeko było dla Scarne’a odskocznią od gier hazardowych, a równocześnie stanowiło jego idée fixe. Zrównywał je z grami z najwyższej półki – szachami i go, a synowi dał na drugie imię… Teeko.

W przeciwieństwie do kółka i krzyżyka oraz wielu jego odmian Teeko nie można zmienić w grę typu papier-ołówek, bo znaki zastąpione są pionkami, którymi wykonuje się ruchy. Każdy gracz dysponuje czterema pionkami – jeden czarnymi, drugi czerwonymi. Zaczynają czarne i na początku obaj na przemian ustawiają swoje pionki na dowolnych polach planszy 5×5. Po umieszczeniu wszystkich każdy ruch polega na przesunięciu swojego pionka na sąsiednie pole – w rzędzie, kolumnie lub na ukos, czyli tak, jak porusza się król w szachach. Wygrywa ten, kto doprowadzi do ustawienia czterech swoich pionków w ciągłym rzędzie – poziomym (10 możliwości), pionowym (10) lub ukośnym (8) albo na czterech polach tworzących kwadrat 2×2 – takich kwadratów jest 16. W sumie są więc 44 pozycje wygrywające.

Osoby, którym świat gier nie jest obcy, z pewnością zauważą, że ogólnym schematem rozgrywki Teeko przypomina jedną z najstarszych gier strategicznych w dziejach ludzkości – młynek. Podobne są dwa etapy – ustawiania i przesuwania pionków oraz cel, czyli umieszczenie ich w ciągłym rzędzie. Inna jest tylko plansza i liczba pionków.

O tym, że strategia Teeko jest istotnie nieprosta i ciekawa, choć oczywiście do szachowej jej daleko, można się przekonać, śledząc przebieg przykładowej rozgrywki, która w tym przypadku zaczyna się od niefortunnego początkowego ustawienia czarnych (rys. 2A). Właściwie jest to ustawienie prowadzące nieuchronnie do porażki. Czarne zaczynają ruchy od defensywnego posunięcia 1. c2-d3, aby zapobiec ustawieniu rzędu czerwonych pionków w wierszu 4., na co czerwone odpowiadają atakującym ruchem 1. … c3-d4 (rys. 2B), grożąc widełkami, czyli parą posunięć kończących po 2. … c5-d5 (możliwe utworzenie rzędu w wierszu 4. albo kwadratu 2×2 c4/d4/c5/d5). Czarne kontynuują obronę przed kolejnymi, atakującymi ruchami czerwonych:

2. d3-e4 b4-c3 (rys. 2C; grozi d4-d3 – widełki)

3. e4-d3 d4-e4 (rys. 2D; grozi c3-d4 – widełki)

4. d3-d4 e4-d3 (rys. 2E; grozi d3-c2)

5. b3-c2 c5-b4 (rys. 2F; grozi c4-b3 – widełki)

6. c2-b3 d3-c2 (rys. 2G; grozi b4-c5)

Teraz czarne mają dwie możliwości obrony: b5-c5 lub d4-c5. Po skorzystaniu z pierwszej do finału jest już blisko:

7. b5-c5 b4-a3 (rys. 2H; grozi a3-b2, a potem rząd w kolumnie c)

8. b3-b2 c2-b3 (rys. 2I; widełki nie do obrony, zwane pułapką Scarne’a: powstanie rząd po c4-d3 lub kwadrat po a3-b4).

Czy równie szybko czerwone wygrają, jeśli w sytuacji na rys. 2G czarne wykonają ruch d4-c5? Proszę spróbować wyręczyć czerwone w tym zadaniu.

Teeko było dość popularne w latach 50. i 60. Później mimo starań i determinacji Scarne’a poszło w zapomnienie, ale nie całkiem. Duże firmy publikujące gry (Milton Bradley, Parker Brothers) były skłonne je wznowić, ale stosowały zasadę nieumieszczania na produktach nazwiska autora, czego stanowczo domagał się Scarne, a potem jego spadkobiercy. W wielu amerykańskich domach pozostały jednak wydane przez firmę Scarne’a egzemplarze sprzed lat, a co istotniejsze w bibliotekach i antykwariatach wciąż można natknąć się na jego książkę o grze. Dzięki miłośnikom planszówek, którzy trafiali na jej egzemplarze i ulegali urokowi minigry, informacja o niej powracała co pewien czas w mediach. Zwrócili też na nią uwagę informatycy z Massachusetts Institute of Technology, którzy postanowili grę rozwiązać, czyli ustalić, jak zakończy się każda partia przy perfekcyjnie prowadzonej rozgrywce (obie strony wykonują najlepsze posunięcia). Uporał się z tym zadaniem w roku 1998 znany amerykański specjalista od języków programowania Guy Steele.

Scarne podał, że liczba wszystkich pozycji, które mogą tworzyć na planszy 5×5 4 czerwone i 4 czarne pionki, równa jest 1 081 575. Jak z tego wynika, nie był zbyt dobrym rachmistrzem. Obliczył tylko, ile jest kombinacji bez powtórzeń 8 elementów ze zbioru 25-elementowego, korzystając z symbolu Newtona:

Pominął to, że pionki są w dwu różnych kolorach, czyli każdą z ponad miliona kombinacji trzeba jeszcze potraktować jako 8-elementowy zbiór i obliczyć liczbę 4-elementowych kombinacji bez powtórzeń z tego zbioru , a następnie 70-krotnie zwiększyć poprzedni wynik. Zatem rzeczywista liczba ustawień wynosi 75 710 250.

Liczba ta obejmuje jednak ustawienia „bliźniacze”, czyli powstające z innych w wyniku obrotów lub/i odbić lustrzanych. Na przykład, jest w niej uwzględnionych jako różne wszystkie osiem bliźniaczych ustawień stanowiących obroty i odbicia układu z rys. 2A. Jeśli uznać takie ustawienia za jednakowe, to liczba całkowicie różnych układów będzie około ośmiokrotnie mniejsza. Około, ponieważ niektóre ustawienia są symetryczne, a „bliźniaków” każdego takiego układu jest mniej niż 8. W praktyce należy także pominąć ustawienia, w których pionki obu stron są równocześnie w zwycięskich pozycjach.

O tym, jaki będzie finał rozgrywki prowadzonej perfekcyjnie, rozstrzyga oczywiście układ startowy powstały po etapie ustawiania pionków. Na przykład układ na rys. 2A gwarantuje zwycięstwo czerwonym. Należałoby więc ustalić, czy czarne, które umieszczają na planszy pierwszy i siódmy pionek, mogą zapobiec takiemu i innym niekorzystnym dla nich ustawieniom. Analiza komputerowa nie tylko potwierdziła taką możliwość, ale doprowadziła do zaskakujących ogólniejszych wniosków: jakkolwiek by w trzech pierwszych ruchach gracze nie rozmieścili trzech czarnych i trzech czerwonych pionków, żaden z nich nie będzie w stanie umieścić siódmego i ósmego pionka tak, aby utworzyć pozycję wygrywającą. Krótko mówiąc, przy perfekcyjnej grze partia zawsze zakończy się remisem, czyli rozgrywka się zapętli.

Perfekcja jest oczywiście nieosiągalnym ideałem, więc praktyczne zapętlenie wśród dziesiątek milionów pozycji to utopia. Gdy wybór ruchu nie jest oczywisty, łatwo o błąd, który przeciwnik może wykorzystać. Mimo wszystko jednak warto się umówić, że partię nierozstrzygniętą na przykład w 30 kolejkach uznaje się za remisową. Ponadto, zgodnie z regułami, przegrywa ten, kto w czterech kolejnych ruchach przesunie ten sam pionek między tymi samymi dwoma polami; powinien zatem wykonać czwarty ruch innym pionkiem lub tym samym, ale w inny sposób. Zabronione jest także blokowanie pionka przeciwnika trzema swoimi pionkami w rogu planszy przez więcej niż trzy kolejki – w czwartym ruchu trzeba rozluźnić „obstawę” pod rygorem przegranej.

Opisany wyżej sposób zwycięskiego zakończenia gry jest jednym z dwu podstawowych zaproponowanych przez Scarne’a – typowym dla wariantu Teeko zwanego standardowym lub towarzyskim. W drugim wariancie – turniejowym albo zaawansowanym – wygraną jest ustawienie swoich pionków nie tylko w linii poziomej, pionowej, ukośnej lub w kwadracie 2×2, ale także w narożnych polach każdej kwadratowej „podplanszy” – 3×3 (9 możliwości), 4×4 (4) lub 5×5 (1). W tym wariancie trzeba więc być znacznie uważniejszym, bo pozycji wygrywających jest 58, a ponadto – jak wynika z analizy komputerowej Steele’a – przy perfekcyjnej grze rozpoczynający ma przewagę, czyli teoretycznie może zapewnić sobie zwycięstwo. Ale pod jednym warunkiem – że ulokuje pierwszy pionek na centralnym polu planszy. Wystarczy więc zabronić mu tego ruchu, aby uznać rozgrywkę, jak w wariancie standardowym, za komputerowo remisową.

Wariant turniejowy oferuje też osobliwe remisy podobne do krótkich pętli szachowych. Jedna z takich remisowych pozycji przedstawiona jest na rys. 3A. Czarne muszą bronić się przed linią czerwonych ruchem b4-a5, zagrażając równocześnie utworzeniem kwadratu 5×5 (rys. 3B). Ruch czerwonych d5-e5 nie jest skuteczny, bo po ruchu czarnych d4-d5 nic nie uratuje czerwonych przed kwadratem 4×4 (a5/d5/a2/d2). Pozostaje im więc kontratak d5-c4 (rys. 3C), na który czarne odpowiadają obroną a5-b4 (rys. 3D), grożąc utworzeniem kwadratu 3×3 (b4/d4/b2/d2). Ruch c4-c3 nie uchroni przed zagrożeniem w następnych posunięciach, nie ma też sensu atak a4-a5, bo wtedy czarne natychmiast utworzą kwadrat 4×4 ruchem b4-a4. Pozostaje więc zamknięcie pętli, czyli ruch c4-d5, prowadzący do powtórzenia sytuacji z rys. 3A.

Teeko należy bez wątpienia do najciekawszych małych gier. Stanowi propozycję intelektualnej zabawy właściwie w każdych warunkach z wykorzystaniem nakreślonej naprędce planszy i ośmiu drobnych przedmiotów. Przy minimum formy oferuje zaskakująco bogatą, ciekawą, wciągającą strategię, która dzięki skromnym rekwizytom jest równocześnie dość klarowna. Trudno się więc dziwić Scarne’owi, że uważał swój wynalazek za zasługujący na wysoką ocenę i rozpowszechnianie, a i dziś jest on wart przypomnienia i posmakowania.

Zadania

1. W latach 60. w Teeko próbowano także grać, uwzględniając więcej pozycji kończących niż w wariancie turniejowym. Poza liniami i kwadratami 2×2, 3×3, 4×4 i 5×5 za układy wygrywające uznawano też kwadraty „ukośne” – takie, jak np. kwadrat na rys. 4. Ile było w takim wariancie wszystkich możliwych pozycji kończących partię?

2. W ustawieniu na rys. 5 zaczynają czarne i przy najlepszej obronie czerwonych wygrywają w minimalnej liczbie ruchów. Jaka jest ta liczba i jakie są kolejne ruchy obu stron?

3. Ruch czerwonych 1. c4-c3 w sytuacji na rys. 3D nie uchroni ich przed porażką. Na rys. 6 przedstawiona jest sytuacja po tym ruchu. Jak będzie wyglądał dalszy przebieg partii (turniejowej, 58 pozycji finałowych) przy założeniu, że obie strony będą wykonywać najlepsze ruchy – aż do zwycięstwa czarnych? W rozwiązaniu wystarczy podać, w którym ruchu czarne utworzą wygrywającą pozycję?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 08/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jane Goodall, Douglasa Abramsa i Gail Hudson Księga nadziei. Podręcznik przetrwania w trudnych czasach ufundowaną przez wydawnictwo Media Rodzina. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru czerwcowego

1. Najmniejszą liczbą, której suma cyfr maleje trzykrotnie po pomnożeniu jej przez 3, jest 6669.

2. Najmniejszą liczbą N taką, że suma jej cyfr i suma cyfr liczby N+1 są wielokrotnością siedmiu, jest 69 999.

3. Równanie x+S(x)+S(S(x))+S(S(S(x)))=2023 spełniają wartości x równe 1993 i 2011.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Sary Manning Peskin Zbuntowany mózg, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS, otrzymują: Michał Bereta z Bolechowic, Paweł Gawlik z Warszawy, Aleksandra Golecka-Mazur z Rumi, Dariusz Pączkiewicz z Ustanowa, Adam Tomaszewski z Łodzi.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”