Osiemnaście niepowag, czyli parada czterech cyfr

W Apologii matematyka, głośnym eseju angielskiego teoretyka liczb Godfreya Hardy’ego wydanym po raz pierwszy w roku 1940 i tłumaczonym na wiele języków (także na polski), mowa jest m.in. o „niepoważnej” matematyce, czyli takiej, która dotyczy drobnych faktów niezwiązanych z żadnymi szerszymi zagadnieniami. Jako przykład profesor Hardy przytacza ciekawostkę arytmetyczną – czterocyfrową liczbę, która zapisana wspak, stanowi wielokrotność samej siebie – 1089=9801:9.

Ten przykład braku powagi nie wytrzymał próby czasu. Niespełna 30 lat później w szacownych periodykach naukowych pojawiły się pierwsze obszerne artykuły dotyczące liczb o takiej własności; jest ich nieskończenie wiele i tworzą swego rodzaju rodzinę (najmniejsze to dwie 4-cyfrowe – oprócz 1089 jest jeszcze 2178, czyli dwukrotność 1089; wykluczamy palindromy, a więc liczby, które nie zmieniają się po zapisaniu wspak). Temat objął też takie liczby w systemach liczbowych innych niż dziesiętny. Zaproponowano nawet dla nich specjalne określenie – palintiplety (połączenie palindromu z multipletem). Krótko mówiąc, „niepoważny” przykład rozrósł się niemal do teorii palintipletów.

Liczb czterocyfrowych złożonych z dwu najmniejszych i dwu największych cyfr dziesiętnego systemu liczbowego jest 18: 1089, 1098, 1809, 1890, 1908, 1980, 8019, 8091, 8109, 8190, 8901, 8910, 9018, 9081, 9108, 9180, 9801, 9810. Sumą cyfr każdej z tych 18 liczb jest 18, a iloczynem (z pominięciem zera) wielokrotność 18; wielokrotnością 18 jest też dziesięć z nich (wszystkie parzyste). Ponadto z tworzących je czterech cyfr można utworzyć dwie liczby dwucyfrowe – 18 i wielokrotność 18 (90), a z trzech – trzy trzycyfrowe wielokrotności 18 (108, 180, 810). Zatem już na początku pojawia się osobliwy osiemnastkowy brak powagi, a nawet „złowrogość”, jeśli przypomnieć, że suma cyfr tzw. liczby Bestii (666), która była bohaterką tej rubryki w październiku ub.r., także równa się 18, a skoro liczba jest parzysta, więc stanowi też wielokrotność 18. Istotne jest jednak to, że wiele z wymienionych wyżej 18 czterocyfrowych liczb wyróżnia się „niepoważnymi” własnościami, które mają zadatki na rozwinięcie się do „poważnych” zagadnień, więc bliższe zapoznanie się z nimi może być interesujące.

* * *

Tworzymy trzycyfrową liczbę T=abc, spełniającą warunek: pierwsza cyfra powinna być większa od ostatniej o co najmniej 2, czyli a–c>1. Następnie od T odejmujemy liczbę T zapisaną wspak, otrzymując różnicę R (abc–cba=R). Na koniec dodajemy R do R zapisanego wspak. Mimo że T może być jedną z 360 liczb spełniających podany na początku warunek, to wskazane działania zawsze prowadzą do jednego, konkretnego wyniku – 1089. Na przykład: 754–457=297→297+792=1089.

Tę arytmetyczną osobliwość, prezentowaną zwykle jako sztuczka z odgadywaniem wyniku, opisał po raz pierwszy pod koniec XIX wieku angielski matematyk W. W. Rouse Ball. Wyjaśnić jej sekret nietrudno. Po odejmowaniu abc–cba kolejnymi cyframi różnicy R będą (a–c–1), 9 i (c+10–a), które po podstawieniu a–c=d przybiorą postać: (d–1), 9, (10–d). Zapis finalnego dodawania będzie więc następujący:

[100×(d–1)]+90+(10–d)+(d–1)+90+[100×(10–d)]=

100d–100+90+10–d+d–1+90+1000–100d=

–100+90+10–1+90+1000=1089.

Bez warunku a–c>1 sztuczka traci atrakcyjność i zagadkowość, bo wówczas już na etapie odejmowania możliwe są inne, znacznie prostsze do wyjaśnienia wyniki. Dla a–c=0 liczba jest palindromem, więc R=0, zaś gdy a–c=1, to R=99, czyli finałem jest 198 – chyba że umówimy się, by liczby dwucyfrowe zapisywać jako trzycyfrowe, poprzedzając je zerem. Wtedy wszystko gra: 099+990=1089. Gdyby startowe T było liczbą dwucyfrową, to żaden warunek wstępny nie byłby konieczny, bo w tym przypadku wynikiem działań jest zawsze 99.

Bardziej zawiła sytuacja powstaje dla liczby T złożonej z więcej niż trzech cyfr. Już dla czterocyfrowego T=abcd jest konieczny ostrzejszy warunek, wykluczający różne układy cyfr – aby końcowy wynik był jednoznaczny i złożony z cyfr należących do zbioru {0, 1, 8, 9}. Skuteczność zapewnia choćby wymóg, by kolejne cyfry T tworzyły ciąg malejący (a>b>c>d) – wówczas finałem jest 10 890. Na przykład: 7542–2457=5085 → 5085+5805=10 890. Inny, ale złożony warunek, to: a–d>1 oraz b=c – wtedy działania kończą się sumą 10 989. Przykład: 6334–4336=1998 → 1998+8991=10 989.

Analiza różnych wyników końcowych dwóch wskazanych działań dla wielocyfrowych liczb T zbliża niepoważną ciekawostkę arytmetyczną do poważnej teorii liczb. Potwierdzeniem tego zbliżenia są także artykuły analizujące to zagadnienie w różnych systemach liczbowych. Jeszcze w XIX wieku ustalono, że dla trzycyfrowych T w systemie o podstawie b końcowy wynik wyraża się wzorem (b–1)×(b+1)². Istotnie, w systemie dziesiętnym mamy 9×11²=1089, a na przykład w systemie dwójkowym 1×3²=9, czyli 1001 (np. 110–011=011 → 011+110=1001).

Przy okazji skorzystania z tego wzoru w systemie dziesiętnym pojawia się charakterystyczna cecha 1089: jest to kwadrat liczby półpierwszej (33²), a więc iloczyn dwóch kwadratów liczb pierwszych – 3²×11². Następnymi takimi iloczynami (w zakresie do miliarda), zawierającymi wszystkie cztery cyfry (0, 1, 8, 9) i żadnej innej, są: 91 809=(3×101)², 199 809=(3×149)² i 19 000 881=(3×1453)².

1089 nie jest sumą dwóch dodatnich kwadratów, czyli na przeciwprostokątną trójkąta pitagorejskiego się nie nadaje, ale na przyprostokątną jak najbardziej i to w różnych konfiguracjach, będąc różnicą kwadratów na cztery sposoby:

1089=33²=55²–44²=65²–56²=183²–180²=545²–544².

1089 patronuje też jako kwadrat czwórkom pitagorejskim, czyli dodawaniom trzech kwadratów – od kwartetu 33²=1²+8²+3² do 33²=18²+18²+21². Wszystkich takich czwórek jest jedenaście, a jedenastkowy zapis jednej z nich kwalifikuje ją do liczbowego panoptikum: 33²=11²+(11+11)²+(11+11)².

* * *

Efektem przestawienia dwóch końcowych cyfr w 1089 jest 1098 – liczba wyraźnie różniąca się własnościami od 1089. Przypomina to izomerię w chemii organicznej, gdy właściwości dwóch związków o takim samym wzorze sumarycznym są całkiem odmienne – na przykład C₂H₆O to wzór sumaryczny zarówno alkoholu etylowego (C₂H₅OH), jak i eteru dimetylowego (CH₃OCH₃). 1098 jest liczbą Nivena, gdyż dzieli się przez sumę swoich cyfr (18), a nawet liczbą Morana, bo wynik dzielenia jest liczbą pierwszą (61), ale w obu przypadkach ilorazy nie stanowią osobliwości, gdyż takich liczb jest całkiem sporo.

W przeciwieństwie do 1089 liczba 1098 jest sumą dwu kwadratów, ale tylko na jeden sposób. To także nie rzadkość, jednakże takie sumy „jedynaczki” stają się unikatami, gdy tworzą tercety złożone z kolejnych liczb. Pierwszy taki tercet zaczyna się od 72 (72=6²+6², 73=3²+8², 74=5²+7²), drugi od 232 (232=6²+14², 233=8²+13², 234=3²+15²), a trzeci od 1096 czyli jego finałem jest nasze 1098 (1096=14²+30², 1097=16²+29², 1098=33²+3²).

Nierzadka, ale ciekawa jest przynależność 1098 do liczb samorodków „odkrytych” przez hinduskiego matematyka D. R. Kaprekara. Liczba jest samorodkiem, gdy nie można jej utworzyć z mniejszej liczby G (zwanej generatorem addytywnym), dodając do niej sumę jej cyfr. Na przykład 1089 to nie samorodek tylko zwykły „rodek”, ponieważ 1089=1080+(1+0+8+0). Natomiast z 1098 taka sztuczka z dodawaniem się nie uda i jest to jedyny samorodek wśród anagramów 0189.

Oprócz samorodków addytywnych, czyli z sumowaniem cyfr, są także samorodki multiplikatywne. To liczby, które nie mogą powstać w wyniku dodawania do liczby G (generator multiplikatywny) iloczynu jej cyfr – oczywiście z pominięciem zer. Takimi samorodkami jest pięć liczb z interesującego nas grona: 9018, 9081, 9108, 9801, 9810. Nieco liczniejszy jest jednak zbiór multiplikatywnych rodków. Są wśród nich także rodki wielokrotne, czyli takie, które mają kilka generatorów. W tej grupie wyróżnia się 1098 – najmniejszy rodek pięciokrotny:

1098=874+8×7×4=936+9×3×6=972+9×7×2=1058+1×5×8=1082+1×8×2

Na najbardziej unikalną, choć nieco „zakręconą” własność 1098 zwróciła uwagę irańska matematyczka Farideh Firoozbakht (1962–2019), znana m.in. z określanej jej imieniem hipotezy, dotyczącej odstępów między liczbami pierwszymi. Hipotezę tę można sformułować na kilka sposobów, na przykład tak: każda n-ta liczba pierwsza jest mniejsza od (n–1)-ej podniesionej do ułamkowej potęgi n:(n–1). Korzystając z poniższej tabeli (będzie bardziej przydatna za chwilę), można podać dwa przykłady poprawności tej hipotezy: 7 jest czwartą liczbą pierwszą (n=4), a 5 trzecią (n–1=3), więc 7<5^4:3 (7<~8,5); natomiast dla piętnastej i szesnastej liczb pierwszych (47 i 53) mamy nierówność: 53<47^16:15 (53<~60,8).

Zaskakujące, że w hipotezie Firoozbakht, której prawdziwość została potwierdzona dla wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10¹⁹, są uwzględnione liczby n, oznaczające kolejność liczb pierwszych. Te „numery” istotne są także w przypadku czterech liczb L(n) w niebieskich wierszach tabeli. W każdym z tych wierszy n=S_L(n), czyli sumie cyfr liczby L(n), a zatem L(n)=n×p_n, a równocześnie L(n)=S_L(n)×p_n. Inaczej mówiąc, każda wyróżniona kolorem liczba L(n) jest iloczynem sumy jej cyfr równej n, a także wartości n–tej liczby pierwszej. Liczby o takiej własności są tylko cztery, a 1089 jest największą. Oto niepoważna osobliwość, która wyszła na jaw przy okazji formułowania poważnej hipotezy.

* * *

Dziesięć parzystych liczb-anagramów 0189 podzielnych jest przez sumę swoich cyfr, a więc wszystkie one są liczbami Nivena. Oprócz 1098 – jedynej, która daje iloraz, będący liczbą pierwszą, wyróżniają się jeszcze trzy – jako dubeltowe liczby Nivena, czyli takie, w których przypadku ilorazy także są liczbami Nivena. To 1980 (1980:18=110 → 110:2=55), 9108 (9108:18=506 → 506:11=46) i 9180 (9180:18=510 → 510:6=85). Ale to nie koniec wyróżnień ze względu na ten iloraz, bo można wskazać jeszcze dwie liczby:1890 i 8910. Pierwsza daje iloraz równy 105, który zgodnie z hipotezą Erdösa jest największą liczbą (i jedną z siedmiu: 4, 7, 15, 21, 45, 75, 105), która ma tę osobliwą własność, że po odjęciu od niej dowolnej mniejszej potęgi dwójki różnica jest zawsze liczbą pierwszą (103, 101, 97, 89, 73, 41). Natomiast liczby 495, czyli wyniku dzielenia 8910 przez 18, dotyczy sztuczka liczbowa podobna do tej z liczbą 1089, opisanej na początku.

Z trzech różnych dowolnych cyfr tworzymy dwie liczby – w jednej cyfry ustawiamy w porządku rosnącym, w drugiej odwrotnie. Odejmujemy mniejszą cyfrę do większej, a z cyframi tworzącymi różnicę wykonujemy tę samą operację. Powtarzamy czynność ustawiania i odejmowania do momentu, aż różnica przestanie się zmieniać – będzie nią zawsze 495, bo 954–459=495.

1890 może się też pochwalić dalekim pokrewieństwem z liczbami doskonałymi. Przypomnijmy, że są to liczby, z których każda równa jest sumie swoich dzielników właściwych, czyli mniejszych od niej. Na przykład trzecią liczbą doskonałą, z 51 znanych od roku 2018, jest 496, ponieważ taka też jest suma jej dzielników: 248+124+62+31+16+8+4+2+1=496. Pozostałe liczby są albo deficytowe, gdy suma dzielników jest mniejsza od liczby albo przeciwnie – nadmiarowe. Do rzadkości należą nadmiarowe nieparzyste, a najmniejszą z nich jest 945. Ta liczba po podwojeniu – i tu pojawia się pokrewieństwo – daje właśnie 1890.

* * *

1089 i 9801 tworzą unikalną parę kwadratów, z których jeden jest „wspakiem” drugiego złożonym z różnych cyfr. Znamy tylko cztery takie pary. Trzy pozostałe to 169 i 961, 12769 i 96721 oraz 1 238 769 i 9 678 321. Unikalność pary 4-cyfrowej polega też na tym, że o ile w przypadku trzech pozostałych par podstawy kwadratów także są względem siebie wspakami, a ponadto tworzą wyraźny schemat (13 i 31, 113 i 311 oraz 1113 i 3111), o tyle podstawy 1089 i 9801 wyłamują się z tego schematu (33 i 99). Warto zauważyć, że dla podstaw kwadratów 11113 i 31111 same kwadraty także są wspakami (ale nie wszystkie cyfry są w nich różne – 123 498 769 i 967 894 321), natomiast od podstaw 111113 i 311111 wspakowość znika.

9801 jest także elitarną liczbą ze względu na przynależność do tzw. kwadratów Kaprekara. Wynika to z efektu operacji podzielenia go, a właściwie rozcięcia na dwie liczby (98 i 01), a następnie zsumowania tych liczb; efektem jest bowiem podstawa kwadratu (99). Kwadratów Kaprekara jest nieskończenie wiele, ale w gąszczu liczb naturalnych tkwią one jak rodzynki w cieście. Do miliona są tylko 54 (999 999 to ostatni przed milionem), a mniejszych od 9801 mamy trzy (81, 2025, 3025).

* * *

W jednym z zadań testu Mensy na inteligencję chodzi o uzupełnienie siódmym wyrazem ciągu: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …(?). Łatwo zauważyć, że różnice między wyrazami tworzą ciąg liczb parzystych, więc siódmym wyrazem jest 56. Natomiast zapewne nie każdy określi ten ciąg jako utworzony z tzw. liczb prostokątnych, czyli takich, z których każda jest iloczynem dwu kolejnych liczb naturalnych – n×(n+1). Czy do tego ciągu trafi któraś z naszych liczb-anagramów 0189?

Wbrew pozorom o odpowiedź nietrudno, bo nie wymaga to korzystania z komputera w celu bezbolesnego „dojechania” do liczb 4-cyfrowych. Wystarczy zauważyć, że kandydują tylko liczby parzyste, a co istotniejsze, dopisując do każdej 25, powinniśmy otrzymać kwadrat. Wynika to z obliczeń, dotyczących tej operacji: n×(n+1)+25=100n(n+1)+25=100n²+100n+25=(10n+5)². Kwadraty powstają w ten sposób tylko w przypadku dwu liczb z naszej osiemnastki: 1980 (198 025=445²) i 8190 (819 025=905²), czyli obie są liczbami prostokątnymi: 1980=44×45, 8190=90×91.

* * *

Na koniec jeszcze dwie niepowagi, które dotąd nie były uwzględnione. To 1908 i 8901. Obie należą do tzw. liczb Smitha, których jest niemało, choć pojawiają się mniej więcej trzykrotnie rzadziej niż liczby pierwsze. Ich specyficzną własnością jest to, że suma tworzących je cyfr i suma cyfr w ich rozkładzie na czynniki pierwsze – są równe:

1908=2×2×3×3×53 → 1+9+0+8=2+2+3+3+5+3=18

8901=3×3×23×43 → 8+9+0+1=3+3+2+3+4+3=18

Zadania

1. Generatorami addytywnymi 1809 są dwie liczby G – 1791 i 1800, ponieważ dodając do generatora sumę jego cyfr, otrzymamy w obu przypadkach 1809: 1791+18=1800+9=1809. Która z 17 pozostałych 4-cyfrowych liczb-anagramów 0189 ma także dwa generatory addytywne i jakie są to liczby?

2. 1089 i 2178 wyczerpują zbiór liczb 4-cyfrowych, których „wspaki” są ich wielokrotnościami. Odwrotna zależność nie jest jednak prawdziwa, czyli 9801 i 8712 nie stanowią całego zbioru liczb 4-cyfrowych podzielnych przez swoje „wspaki”. Proszę podać przynajmniej jedną inną 4-cyfrową liczbę (złożoną z różnych cyfr), należącą do tego drugiego większego zbioru.

3. Która z osiemnastu 4-cyfrowych liczb-anagramów 0189 może być zapisana jako suma kolejnych liczb na najwięcej sposobów? I pytanie dodatkowe: na ile?

4. Podczas wyprzedaży luksusowych towarów przez pewną firmę zdecydowano się na oryginalny sposób obniżki cen: każda nowa cena była poprzednią zapisaną wspak. Wszystkie ceny pozostały jednak 4-cyfrowymi całkowitymi liczbami złotych, a – co osobliwe – okazało się, że każda różnica między nową, okazyjną a poprzednią ceną była kwadratem liczby całkowitej. Na przykład towar, który dotąd kosztował 7216 złotych, teraz był oferowany za 6127 złotych, czyli jego cena zmalała o 1089=33² złotych. Obniżka ceny jednego z towarów była zaskakująco duża i teoretycznie w opisanej sytuacji największa możliwa. Jaka była ta największa różnica między dawną a nową ceną?

5. Dysponujemy czterema żetonami. Na każdym jest inna cyfra – 0, 1, 8 i 9. W kolejnych krokach bierzemy jeden, dwa, trzy lub cztery żetony i tworzymy z nich liczby dodatnie 1-, 2-, 3- i 4-cyfrowe, które zapisujemy. W ten sposób powstanie 48 różnych liczb. Dzielnikiem żadnej z nich nie będzie 24, ale każda liczba z przedziału od 2 do 23 pojawi się jako dzielnik przynajmniej jednej liczby, a nawet cały ten przedział „obsłuży” tylko sześć liczb znajdujących się w pierwszej kolumnie poniższej tabeli; w drugiej kolumnie podane są ich dzielniki z tego przedziału.

Które cztery liczby powinny znaleźć się na żetonach, aby tworzone w opisany sposób liczby dodatnie „obsłużyły” wszystkie dzielniki od 2 do największego możliwego? Wśród tych liczb musi być oczywiście zero ze względu na wielokrotności 10 w roli dzielników. Za poprawne uznane będą rozwiązania „obsługujące” o co najwyżej trzy dzielniki mniej od ich maksymalnej liczby.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lutego 2024 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 02/24. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką popularnonaukową. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru grudniowego

1. Podział tarczy trzema liniami na cztery części z sumami tworzącymi ciąg 6, 12, 18, 24 (rys. 1)

2. Podział tarczy dwiema liniami na trzy części z kwadratami większymi od 1 – 4, 16, 49 (rys. 2).

3. Przykładowe działanie z minimalną sumą liczb i znaków działania (w tym czterech różnych) równą 15: 1–234*5/6+7+89+10*11=12

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Michio Kaku Kwantowa dominacja, ufundowaną przez Wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Katarzyna Bułakowska z Warszawy, Mirosław Garnowski z Pasłęka, Martyna Kowalczyk z Chorzowa, Dariusz Pączkiewicz z Ustanowa.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.