Śladem Fermata, czyli parada potęg

Wszystkim, którzy znają choćby pobieżnie wielkie twierdzenie Fermata, z pewnością jest też znana wiążąca się z nim anegdota „marginesowa”. Pierre de Fermat, XVII-wieczny francuski prawnik, lingwista i matematyk-amator, zaczytywał się w wydanym w 1621 roku tłumaczeniu na łacinę dzieła Diofantosa Arithmetica, a przy okazji zapisywał je, robiąc uwagi na marginesach. Gdy dotarł do trójek pitagorejskich, zaczął się zastanawiać nad „bliźniakami” równania x²+y²=z². Najpierw próbował znaleźć liczby spełniające równanie x³+y³=z³, a potem uogólnił wzór do postaci xⁿ+yⁿ=zⁿ. Ponieważ nie udawało mu się odszukać rozwiązania dla żadnego n>2, próbował dowieść, że jest to niemożliwe i jakoby tego dokonał, czego potwierdzeniem miała być uwaga zapisana łaciną na marginesie: […] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet, czyli odkryłem na to wspaniały dowód, ale margines jest nań za mały (warto dodać, że marginesy w dziele Diofantosa były wyjątkowo duże – niemal tak szerokie, jak kolumna tekstu; jakby stworzone do komentarzy).

Ponieważ matematykom przez kilka następnych stuleci dowodu nie udawało się znaleźć, prawdziwość stwierdzenia Fermata kwestionowano, sugerując błąd w dowodzie albo wręcz blef lub żart. Zadziwia też to, że rzekomo „wspaniałego” dowodu Fermat nie zapisał gdziekolwiek indziej albo chociaż nie wspomniał o nim w obfitej korespondencji, jaką prowadził z wieloma matematykami. Jest zatem bardzo prawdopodobne, że Fermat sam znalazł błąd w swoim dowodzie i dlatego później nie wracał do tego tematu – ale wcześniejszy marginesowy komentarz pozostał.

O wówczas domniemanym twierdzeniu, a w istocie do roku 1995, o hipotezie Fermata nie byłoby zapewne w następnych wiekach głośno, a Francuzi nie wznieśliby Fermatowi pomnika, gdyby nie dwie okoliczności wzmacniające. Pierwszą było wydanie w roku 1670 przez jednego z synów Fermata dzieła Diofantosa uzupełnionego apendyksem z 48 marginesowymi zapiskami ojca – w większości hipotezami, co pobudziło środowisko uczonych do ich udowadniania lub obalania. Udało się to w przypadku wszystkich oprócz jednej, dotyczącej właśnie nierozwiązywalności równania xⁿ+yⁿ=zⁿ dla n>2 – którą Fermat jakoby „wspaniale” udowodnił.

Jednak szerokie grono eksploratorów – nie tylko profesjonalistów – intelektualnie rozgrzała dopiero parę wieków później druga okoliczność. Niemiecki lekarz i matematyk Paul Wolfskehl w roku 1905 zapisał w testamencie 100 tys. złotych marek jako nagrodę dla odkrywcy tego stawiającego największy opór dowodu. Fundator zmarł rok później, a informację o nagrodzie ogłosiła oficjalnie Akademia Nauk w Getyndze w roku 1908. Od tej pory „naruszanie” dowodu wyraźnie przyspieszyło, choć wcześniej też wiele się działo.

W roku 1738 Euler wykazał, że rozwiązań nie ma dla n=3 i n=4. W XIX wieku uporano się z n=5, 7, 14 i 37, a w roku 1859 niemiecki matematyk Ernst Kummer udowodnił, że rozwiązań nie ma dla prawie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100 (bez rozstrzygnięcia dla n=37, 59 i 67). Szwajcar Dmitrij Mirimanoff (Rosjanin z pochodzenia) rozszerzył ten zakres w 1905 roku do n=257, a ponad 70 lat później amerykański informatyk Samuel Wagstaff ustalił, korzystając z komputera, że dla żadnego nŁ125000 rozwiązanie nie istnieje. Nie miało to, oczywiście, nic wspólnego z dowodem – stanowiło jednak inspirację do jego poszukiwań.

Do przełomu doszło w latach 80., gdy niektórzy matematycy (Gerd Faltings, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Ken Ribet, Heath-Brown) porzucili dotychczasowe próby korzystania z matematyki elementarnej, czyli względnie prostych zależności liczbowych, na rzecz działu zwanego geometrią algebraiczną. Krótko mówiąc, powiązano równanie xⁿ+yⁿ=zⁿ z krzywymi eliptycznymi o wzorze ogólnym y²=x³+Ax²+Bx+C. Finał nastąpił w roku 1995, gdy matematyk angielski Andrew Wiles udowodnił związaną z tymi krzywymi tzw. hipotezę Taniyamy-Shimury-Weila, co było równoznaczne z dowodem wielkiego twierdzenia Fermata. Nie ominęła go oczywiście nagroda Wolfskehla, która jednak po hiperinflacyjnych przejściach w Niemczech po I wojnie światowej stopniała – mimo upływu lat i związanego z tym oprocentowania – do 75 000 marek.

Finał nie zakończył jednak kontynuowania prób znalezienia elementarnego, czysto algebraicznego dowodu twierdzenia Fermata, podejmowanych głównie przez amatorów. Zachętę stanowi elementarny charakter pokrewnego, pojawiającego się także w matematyce rekreacyjnej, tematu trójek pitagorejskich. Za rekreacyjne można też uznać niektóre zależności bliskie twierdzeniu Fermata.

* * *

Do mocno rozrywkowej próby „obalenia” twierdzenia doszło w roku 1998. Obalał Homer – głowa rodziny Simpsonów w kultowej amerykańskiej kreskówce. W drugim odcinku 10. serii, zatytułowanym „The Wizard of Evergreen Terrace” (polski tytuł „Czarodziej ze Springfield Park”) Homer pisze na tablicy równość: 3987¹² + 4365¹²= 4472¹². Nie wspomina przy tym nic o twierdzeniu Fermata ani czy równość jest prawdziwa. Wygłasza tylko enigmatyczny komentarz: „jeśli to rozgryziesz, otrzymasz masę bozonu Higgsa” (była to też swego rodzaju przepowiednia, bo pojęcie „bozon Higgsa” pojawiło się formalnie dopiero 14 lat później, choć wcześniej istniały „bozony” i związane z nimi „pole Higgsa”). Równość Homera można sprawdzić na prostym kalkulatorze z potęgowaniem, przekształcając ją do postaci (3987¹²+4365¹²)/4472¹²=1 lub 3987¹²+4365¹²–4472¹²=0.

Na kalkulatorze Google’a wynik pierwszej równości zaskakuje, bo istotnie równa się 1. Dopiero druga równość ujawnia gigantyczną różnicę (34-cyfrowa liczba), która stanowi jednak znikomy ułamek 44-cyfrowej sumy z równości Homera, więc kalkulator nie ujawnia tej różnicy w przypadku dzielenia. Musiałby być znacznie dokładniejszy, aby pokazać, że iloraz wynosi 1,00000000001894… Reasumując: równość Homera, aby była poprawna, powinna mieć postać: 3987¹²+4365¹²=4472¹²+R.

Można ją zaliczyć – z przymrużeniem oka – do rekreacyjnego tematu równości „bliskich Fermatowi” (chodzi o potoczne określenie twierdzenia, a nie osoby), bo choć bezwzględna wartość R jest rzędu 10³³, to do 4472¹² ma się jak ziarnko piasku do głazu narzutowego średniej wielkości. Natomiast bezwzględna bliskość zaczyna się od różnicy R=1, na którą trafił już Fermat, szukając przykładów potwierdzających jego hipotezę. Chodzi o równość 9³+10³=12³+1. Odkryciem Fermata jest też równość z R=–1 dla najmniejszego z³: 6³+8³=9³–1. Wprawdzie równania x³+y³=z³±1 mają nieskończenie wiele rozwiązań, ale trudno się dziwić, że Fermat nie znalazł ich więcej (dla x, y, z większych od 10), skoro w obu przypadkach już w następnych pojawiają się liczby trzycyfrowe: 64³+94³=103³+1 oraz 71³+138³=144³–1. W związku z nieskończoną liczbą rozwiązań na uwagę zasługuje podciąg równości z R=-1, którego początkowy fragment przedstawiony jest w poniższej tabeli.

Wartości z w tym podciągu są kwadratami tworzącymi ciąg o wzorze z_n=9n⁴. Korzystając z tego wzoru, można wyznaczać dowolnie duże z spełniające równanie x³+y³=z³–1. Trudne będzie tylko szukanie odpowiednich wartości x i y.

Znacznie prostsza sytuacja jest w przypadku równania x³+y³=z³–2. Tu dostępne są wzory dla wszystkich wartości x, y i z:

x=6n², y=6n³–1, z=6n³+1

Zatem na przykład dla n=7 prawdziwa jest równość, której do Fermata brakuje 2:

294³+2057³=2059³–2

Dla odmiany nie są znane równości o 2 przewyższające Fermata (x³+y³=z³+2) ani ustępujące mu o 3, 4 lub 5 (x³+y³=z³–3(4, 5)). Za to przykład z przewyższeniem równym 3 łatwo znaleźć: 4³+4³=5³+3. Trudniej o inny przykład, bo 5³ jest prawdopodobnie jedynym sześcianem o 3 mniejszym od sumy dwóch sześcianów.

* * *

Zmagając się z trzema sześcianami, Fermat zauważył, że uzupełnienie sumy jeszcze jednym sześcianem „zmiękcza” problem, czyli dość łatwo znaleźć rozwiązanie równania x³+y³+z³=w³, na przykład 3³+4³+5³=6³. Możliwe są nawet dwa rozwiązania dla tej samej sumy, na przykład 2³+12³+16³=9³+12³+15³=18³. Euler odkrył podobne zależności dla wyższych potęg i postawił śmiałą hipotezę: potrzeba co najmniej n n-tych potęg, aby ich suma była n-tą potęgą. Hipoteza przetrwała blisko 200 lat. Obalona została w roku 1966 za pomocą czterech piątych potęg:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵

a później ostatecznie pognębiona – i to na dwa sposoby – trzema czwartymi potęgami:

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴

Hipoteza Eulera, choć nietrafiona, dała początek nieformalnemu działowi teorii liczb, który można by nazwać matematyką potęg. Za pioniera tego działu uchodzi także angielski matematyk Edward Waring, który w 1770 roku wysunął hipotezę, że każdą liczbę da się zapisać w postaci sumy co najwyżej s k-tych potęg. Dowód dla kwadratów podał w tym samym roku Joseph Lagrange, a dowód dla całej hipotezy – David Hilbert w roku 1909. Wartości wykładników 1ŁkŁ10 i odpowiadające im liczby potęg s podane są w poniższej tabeli.

Duże wartości s dla niewielkich k mogą zaskakiwać, ale trzeba pamiętać, że twierdzenie dotyczy wszystkich liczb, a więc także astronomicznych. Co ciekawe, niektóre wartości s są wymagane przy bardzo niewielu liczbach, na przykład przy prawie wszystkich wystarczy skorzystać z co najwyżej ośmiu sześcianów, a z dziewięciu tylko przy dwóch liczbach – 23 i 239:

23=1³×7+2³×2

239=1³×3+3³×4+4³×2

* * *

W roku 1967 matematycy amerykańscy, którzy wykazali błędność hipotezy Eulera – Leon Lander, Thomas Parkin i John Selfridge – zaproponowali pokrewną hipotezę. Zaczęli od przypisania każdej równości sumy k-tych potęg trzyliterowego symbolu – (k.m.n), gdzie k jest wykładnikiem potęg, m – liczbą potęg po lewej stronie znaku równości, n – liczbą potęg po prawej stronie; przyjęto 1ŁmŁn. Zatem symbolem równości obalającej hipotezę Eulera (144⁵=27⁵+84⁵+110⁵+133⁵) jest (5.1.4). Nowa hipoteza wyraża się krótkim wzorem: m+nłk.

Odtąd rozpoczęło się polowanie na ekstremalne równości dla poszczególnych wykładników k, czyli spełniające zależność najbliższą m+n=k, nie wykluczając możliwości znalezienia sprzecznej z hipotezą, a więc takiej, dla której m+n<k. Szybko okazało się, że szanse na sprzeczność są nikłe, bo wraz ze wzrostem k różnica między k a m+n powoli rośnie. Z dotychczasowych poszukiwań wynika, że m+n=k tylko dla k=4, 5, 6, i 8. Przykłady o symbolu (4.1.3) i (5.1.4) były już podane. Oto kilka innych dla m+n=k:

59⁴+158⁴=133⁴+134⁴ (4.2.2)

220⁵+14132⁵=5027⁵+6237⁵+14068⁵ (5.2.3)

3⁶+19⁶+22⁶=10⁶+15⁶+23⁶ (6.3.3.; nie są znane równości o innym symbolu z k=6)

81⁸+539⁸+966⁸=158⁸+310⁸+481⁸+725⁸+954⁸ (8.3.5)

861⁸+1953⁸+2012⁸+3113⁸=1128⁸+2557⁸+2767⁸+2823⁸ (8.4.4; nie są znane równości o innym symbolu z k=8 niż 8.3.5 i 8.4.4)

Niespodzianki trudno jednak całkowicie wykluczyć, bo polowanie trwa, a hipotezy w twierdzenie nikt dotąd nie zmienił.

Zadania

1. Które cztery różne liczby całkowite (a, b, c, d) spełniają dwie równości: a^b=c^d i b^a=d^c?

2. Dysponujemy osobliwym kalkulatorem, na którym można wykonywać tylko mnożenie lub dzielenie dwóch liczb. Potęgując za jego pomocą trzeba więc kombinować. Chcąc np. podnieść A do 15 potęgi trzeba pokonać 5 etapów: A×A=A²®A²×A²=A⁴®A⁴×A⁴=A⁸®A⁸×A⁸=A¹⁶®A¹⁶:A=A¹⁵.
Ilu etapów wymaga podniesienie A do potęgi 1000?

3. Erdös i Selfridge udowodnili w 1975 roku hipotezę, że iloczyn P dowolnie wielu kolejnych liczb naturalnych większych od zera nigdy nie jest potęgą. Proszę znaleźć najmniejszą wartość takiego iloczynu P>2 najmniej różniącą się od potęgi.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca 2024 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 06/24. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką popuarnonaukową. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru kwietniowego

1. P₃=199, P₄=1459.

2. 22. 2³+2³=(2+2)²=S(22²)=S(484)=16.

3. 1000=6¹+3²+9³+4⁴.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Czarne dziury. Klucz do zrozumienia Wszechświata Briana Coxa, Jeffa Forshawa ufundowaną przez wydawnictwo Sensus, otrzymują: Marcin Cholewa z Żor, Adrian Gracz ze Skawy, Mateusz Harla i Przemysław Kurlej z Krakowa, Janusz Wojtal z Warszawy.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.