Od figur do mebli, czyli stopniowanie swobód

Ile stopni swobody ma skoczek szachowy? W ujęciu mechaniki klasycznej każda figura na szachownicy stanowi odpowiednik punktu na płaszczyźnie, więc dysponuje dwoma stopniami swobody. Jednak ograniczenie, wynikające ze specyficznego sposobu poruszania się skoczka, można potraktować jako tzw. wiązanie, a wówczas liczba stopni swobody zmaleje do jednego.

W łamigłówkach matematyczno-szachowych sprawa jest prostsza: stopień swobody lub po prostu swoboda (S) oznacza co innego – jest synonimem liczby różnych posunięć, jakie można wykonać figurą w określonej sytuacji; inaczej mówiąc, jest liczbą pustych pól, na które można daną figurę przemieścić jednym ruchem.

Na początku partii szachów wszystkie figury tworzą rząd zablokowany pionkami, więc dla większości z nich S=0. Tylko skoczki dysponują dwoma ruchami, a zatem na starcie S_S=2. W przeciwnej sytuacji, czyli przy pełnym luzie, po ulokowaniu figury solo na pustej szachownicy 8×8, stopień swobody prawie każdej jest zmienny: najmniejszy w rogu, a wzrasta w miarę przemieszczania się – najpierw ku środkowi boku, a następnie ku środkowi planszy. W rezultacie S skoczka S_S=2, 3, 4, 6 lub 8; króla S_K=3, 5 lub 8; gońca S_G=7, 9, 11 lub 13; hetmana S_H=21, 23, 25 albo 27. Taka sama jest wszędzie tylko swoboda solistki wieży – S_W=14.

S stanowi parametr, który bywa podstawą problemów, polegających na umieszczaniu na planszy n×n kilku figur tak, aby ich stopnie swobody miały określoną wartość. Problemy wynikają z faktu, że figury mogą się blokować, a tym samym wzajemnie ograniczać swoje stopnie swobody. Zadania są proste na małych planszach przy minimalnej liczbie figur – dwóch lub trzech. Na przykład nietrudno ulokować wieżę i gońca na szachownicy 4×4 tak, aby ich stopnie swobody były jednakowe. Jest jedno rozwiązanie unikalne, czyli z pominięciem obrotów i odbić lustrzanych – S_W=S_G=3 (rys. 1). Nieco trudniej uporać się z ustawieniem większej liczby figur na większej planszy, na przykład kompletu białych – król, hetman, dwie wieże, dwa skoczki i dwa gońce na polach różnego koloru – na typowej szachownicy 8×8. Przykładowe rozwiązanie na rys. 2 – każda figura ma osiem stopni swobody, czyli najwięcej przy założeniu, że wszystkie powinny mieć tyle samo.

Mimo że szukając ustawień zwanych kardynalnymi (komplet ośmiu figur z jednakową swobodą każdej na szachownicy 8×8), korzysta się głównie z metody prób i błędów, nie jest to zadanie aż tak trudne, jak mogłoby się wydawać. Nie tylko dlatego, że unikalnych ustawień, często różniących się bardzo nieznacznie, jest kilkaset (np. na rys. 2 wieżę z b4 można przesunąć na b3 bez zmiany swobód). Istotna jest także elementarna logika, o której wypada pamiętać w trakcie próbowania i błądzenia. Na przykład konieczne jest m.in.:

– radykalne blokowanie hetmana, aby jego S nie przekroczył 8;

– nieumieszczanie króla przy brzegu, gdy S powinien być większy od 5;

– lokowanie skoczka w centralnym kwadracie 4×4, jeśli S ma być większe niż 6.

W zdecydowanej większości ustawień kardynalnych stopień swobody równy jest 7 lub 8. Nieliczne ustawienia z mniejszym S są bardzo trudne do znalezienia bez komputerowego wsparcia. Jedno z nich stanowi w uproszczonej formie temat pierwszego zadania konkursowego.

Innym konkretnym rodzajem ustawień są ustawienia progresywne. Stopień swobody każdej figury jest w nich inny, ale wszystkie tworzą fragment ciągu liczb naturalnych od S_min do S_min+f-1, gdzie f jest liczbą figur. Standard stanowi f=5, czyli pięć różnych figur rozmieszczonych na planszy n×n, gdzie 3≤n≤8. Im większe n, tym większe trzeba przyjąć S_min, aby odpowiednie ustawienie było możliwe. Praktycznie ustawienia z S_min=0 uda się zrealizować tylko na planszy 3×3. Wszystkich unikalnych ustawień na takiej miniplanszy jest 30; dwa przykłady na rys. 3 znamienne są tym, że figury z zerową swobodą nie zajmują rogu. Na planszy 4×4 swoboda zaczyna się od S_min=1 (przykład na rys. 4).

* * *

Swego czasu dość wnikliwie analizowano rodzaj ustawień progresywnych z figurami jednego rodzaju – hetmanami. Zaczęło się od progresywnego rozmieszczenia na planszy 3×3 pięciu hetmanów (S=0, 1, 2, 3 i 4, rys. 5a). To maksymalna ich liczba, bo największe S nie może przekraczać liczby pozostawionych wolnych pól. Zadanie polegało na znalezieniu najliczniejszych hetmańskich ustawień progresywnych na większych planszach. Dla formatu 4×4 liczba hetmanów też może być największą możliwą, równą 8 (rys. 5b), ale dla większych plansz coraz bardziej odbiega in minus od teoretycznie maksymalnej. Na przykład przy 5×5 jest mniejsza o 2 (rys. 5c).

Łamigłówki szachowe ze stopniami swobody bywają też lżejszego kalibru. W jednej z nich chodzi o umieszczenie na szachownicy czterech figur tak, aby ich stopnie swobody tworzyły liczbę oznaczającą określony rok. Pierwsze takie zadanie pojawiło się w argentyńskim magazynie „El Acertijo”. Na planszy 6×6 lokowano hetmana, wieżę, gońca i skoczka, a ich stopnie swobody miały składać się na rok publikacji zadania, czyli 1996. Okazało się, że unikalnych rozwiązań jest 15; przykładowe na rys. 6.

Chyba każdy czterocyfrowy rok da się wyrazić w taki sposób, ale wszystko zależy od wielkości planszy. Do bieżącego idealnie pasuje najmniejsza zapewniająca luz, czyli 3×3 (rys. 7), choć ustawienie możliwe jest także przy formacie 6×6 (rys. 8).

* * *

Szachowy stopień swobody jest ściśle związany ze stopniem agresji. Agresja jest z reguły mniejsza niż swoboda, bo mocniej egoistyczna, czyli wyklucza atakowanie tego samego pola przez więcej niż jedną figurę, a równocześnie żadne pole nie może pozostać nieatakowane. Przykład zadania z takimi założeniami przedstawia rys. 9: każda czerwona cyfra oznacza liczbę atakowanych przez daną figurę pustych pól i każde puste pole atakuje jedna i tylko jedna figura. Taka sytuacja kojarzy się z dokonaniem przez figury czegoś w rodzaju rozbioru planszy, bo każda podporządkowuje sobie odrębną strefę wpływów określonej wielkości. Łamigłówka na rys. 9 jest bardzo prosta – polega na oznaczeniu każdego pola pierwszą literą nazwy atakującej je figury (K, H, W, S, G). Zadania tego rodzaju są zwykle łatwe, ale formalnie złożone (zestaw różnych figur) i zapewne między innymi dlatego pojawiają się sporadycznie. Natomiast od wielu lat popularne są ich odmiany z udziałem tylko jednego rodzaju figur – wież. Na rys. 10 z lewej jest przykład takiego zadania na diagramie 6×6, a z prawej jego rozwiązanie. Strefy wpływów wież oznaczone są wysuwanymi przez nie różowymi „mackami”.

Agresywność albo moc każdej wieży, czyli towarzysząca jej liczba, równa się oczywiście liczbie pól zawłaszczanych mackami przez wieżę. Wiąże się z tym schematyczna i prosta podstawowa metoda rozwiązywania – opanowanie pola przez wieżę następuje z dwóch powodów: albo dlatego, że tylko jedna wieża jest w stanie sięgnąć go macką, albo ze względu na konieczność wykorzystania pełnej mocy danej wieży. Oczywiście nie każdy układ wież umożliwia bezpośrednie korzystanie z tych dwu sposobów.

Praktycznie w zadaniach inspirowanych ruchem wieży figury te nie występują. W kratkach są tylko cyfry, a nazwa zadania jest całkiem nie wieżowa (macki, cztery wiatry, kiełki, sieć promieni, a początkowo – tuż po debiucie na początku lat 90. w Japonii – uorurojikku, czyli ścianki logiczne). Aspekty matematyczne i niektóre odmiany takich łamigłówek były w tej rubryce omawiane przed pięciu laty.

* * *

W większości odmian macek szachowa wersja stopnia swobody pełni drugorzędną rolę albo jest zmodyfikowana. Najciekawsza modyfikacja występuje w rodzaju łamigłówki powstałym, podobnie jak macki, w Japonii i noszącym mało oryginalną nazwę wyspa. Stopień swobody wieży jest w tym przypadku określany nieco inaczej – równa się liczbie pól, do których tą figurą można dotrzeć nie, jak poprzednio, w jednym ruchu, ale w dowolnej liczbie ruchów. Wyjaśnieniem tej sytuacji jest przedstawione na rys. 11a rozwiązanie przykładowej konkretnej łamigłówki.

Część pól jest zaciemniona, a jasne tworzą spójny wielokąt, czyli tytułową wyspę, na której stoją wieże. Ciemne pola blokują zasięg ruchów wież, ale blokadami są względem siebie także same wieże. Każdą można przemieścić na tyle pustych jasnych pól między blokadami, jaka obok niej jest liczba. Na przykład wieże a4 i b1 mają w zasięgu te same 4 pola (a1, a2, a3, b2), wieżą e2 można dotrzeć do 3 pól (d2, e1, e3), a wieżą e6 – do 2 (d5, e5). W zadaniu (rys. 11b) ujawnione są wszystkie wieże, a celem jest zaciemnienie takich pól, aby stopień swobody każdej odpowiadał towarzyszącej jej liczbie – czyli takie, jak na rys. 11a. Należy przy tym pamiętać, że jasne pola powinny tworzyć jedną wyspę.

Wyspy z natury nie są zadaniami prostymi.

Rozwiązywanie polega na szukaniu pól, które można potraktować jednoznacznie. Na przykład na rys. 11b przynajmniej dwa z trzech pól a5, a6, b5 muszą zostać zacienione, aby wieża b6 nie przekroczyła jednostkowego zasięgu. W związku z tym wieża a4 musi sięgać przynajmniej trzech pól pod nią. Jasne pozostanie więc na pewno pole a3, a jako drugie pole a2 lub b3. Jeśli przyjmiemy, że jasne będzie b3, to wypełni się zasięg wieży b4 i trzeba będzie zacienić otoczenie (rys. 11c), a w efekcie przekroczony zostanie zasięg wieży b6 ze względu na konieczność pozostawienia jasnymi pól a5 i a6, aby dopełnić zasięg wieży a4. Zatem jasne musi pozostać pole a2 itd. Jak z tego widać wyspowe logiczne wnioskowanie bywa mocno zakręcone.

* * *

Zbliżony do szachowego stopień swobody występuje jeszcze w dwóch interesujących rodzajach zadań – także z japońskim rodowodem. Figury szachowe są w nich zastąpione figurami geometrycznymi. Zasady pierwszej, o autorskiej nazwie parking, też najlepiej wyjaśnić na rozwiązaniu przykładu.

Diagram udaje kwadratowy parking, na którym stoją auta. Wielkość parkingu może być różna; w przykładzie ma on wymiary 5×5 (rys. 12a). Auta są prostokątami dwóch rodzajów – mniejszymi, zajmującymi dwa pola (1×2) i większymi, pokrywającymi trzy pola (1×3). Na autach są cyfry, ale niekoniecznie na każdym. Cyfra oznacza liczbę stopni swobody auta, czyli liczbę wolnych pól, na które można nim wjechać (wskazane czerwonymi strzałkami) – oczywiście jadąc tylko do przodu lub do tyłu. Tak wygląda rozwiązanie, a zadanie różni się od niego brakiem aut (rys. 12b). Ich zaparkowanie jest celem główkowania – takim, jak na rys. 12a, czyli spełniającym podane wyżej warunki oraz dodatkowy: puste pola powinny tworzyć jeden spójny wielokąt, na podobieństwo wyspy w zadaniu opisanym wcześniej. Trzeba też pamiętać, że auta mogą się pojawić także na polach bez cyfry. Parking, podobnie jak wyspa, jest z reguły dość trudną łamigłówką. Można się o tym przekonać, rozwiązując zadanie (kokursowe) na rys. 13.

W drugim rodzaju zadań „figurowych” parking zastąpiony jest magazynem mebli, o wielkości 3 kratek, ale o dwóch różnych kształtach – jedne są proste, drugie narożnikowe. W rozwiązaniu przykładu (rys. 14a) na każdym meblu znajduje się jedna cyfra równa jego stopniowi swobody. Jednak stopień swobody w przypadku mebli ma nieco inne znaczenie – równy jest liczbie głównych kierunków (z czterech możliwych), w których można dany mebel przesunąć. W zadaniu (rys. 14b) mebli brak, a chodzi oczywiście o rozmieszczenie ich pełnego asortymentu we właściwy sposób, czyli w przykładzie tak, jak na rys. 14a. Meble należą do bardzo twardych łamigłówkowych orzechów, czego potwierdzeniem będzie zapewne trzecie zadanie konkursowe.

Zadania

1. Na szachownicy 8×8 (rys. 15) stoi komplet 8 niewidocznych figur: król, hetman, dwie wieże, dwa skoczki i dwa gońce zajmujące pola różnego koloru. Każda figura atakuje dokładnie 5 pustych pól. Wszystkie atakowane pola oznaczone są czerwonym punktem. Należy „uwidocznić” cały komplet, a jako odpowiedź podać pozycje konkretnych figur, korzystając ze współrzędnych umieszczonych przy brzegach diagramu.

2. Celem jest znalezienie rozmieszczenia aut na parkingu z rys. 13. W rozwiązaniu wystarczy podać liczby parkujących mniejszych (2-polowych) i większych (3-polowych) aut.

3. Celem jest rozmieszczenie na diagramie (rys. 16) dwóch rodzajów 3-polowych mebli – zgodnie z instrukcją opisaną w artykule. Jako rozwiązanie wystarczy podać ogólną liczbę mebli prostych oraz ogólną liczbę narożników.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia 2025 r. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 08/25. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Chrisa Haughtona Historia informacji ufundowaną przez Wydawnictwo Naukowe PWN. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie: www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru czerwcowego

1. Pokropka 6×6 (36 kropek) z czterema ujawnionymi cyframi (a3-1, c1-2, c3-1, d5-1; rys. 17) jest przykładem mającej jedno rozwiązanie przy minimalnej liczbie cyfr na starcie, z których żadna nie jest trójką.

2. Pętla załamuje się 12 razy w koralikach przy brzegu diagramu. Pełne rozwiązanie na rys. 18.

3. Liczba załamań cyklu – 18. Pełne rozwiązanie na rys. 19.

4. Cykl załamuje się 38 razy. Pełne rozwiązanie na rys. 20.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Kelly i Zacha Weinersmithów Miasto na Marsie, ufundowaną przez Wydawnictwo Insignis, otrzymują: Paweł Gocłowski z Warszawy, Maciej Horodecki z Torunia, Mateusz Kostanek z Krakowa, Mariusz Trzyna z Hyżnego oraz Kamil Zaborowski z Suwałk.