Jak powstała teoria prawdopodobieństwa? Zaczęło się od niezgodności co do sposobu podziału puli w przerwanej grze losowej

Wyobraźmy sobie prostą grę losową. Dwie osoby wpłacają do puli po 50 dolarów i zaczynają rzucać monetą. Wyrzucenie orła to punkt dla rzucającego, wyrzucenie reszki – punkt dla przeciwnika. Kto pierwszy zdobędzie 10 punktów, zgarnia 100-dolarową pulę. Gra trwa, a gdy dochodzi do wyniku 8:6, wygrywający odbiera telefon z ważną informacją i musi natychmiast wyjść. Późniejsza kontynuacja gry nie jest możliwa, więc powstaje problem. Wychodzący nie zamierza odstąpić swoich 50 dolarów, bo wygrywa. Przegrywający też nie akceptuje pozbycia się gotówki, bo nie traci szansy na wygraną. Jak w takiej sytuacji sprawiedliwie podzielić pulę?

Ten „problem podziału nagrody”, zwany też „problemem punktów”, absorbował matematyków przez ponad 150 lat. Gdy pojawił się po raz pierwszy, nie było jeszcze teorii prawdopodobieństwa. W XVII wieku dwaj wybitni matematycy, Blaise Pascal i Pierre de Fermat, prowadzili na ten temat długą korespondencję. W rezultacie nie tylko ustalili właściwy sposób podziału puli, ale także stworzyli podstawy teorii prawdopodobieństwa. Ich rozwiązanie problemu stanowi klucz do oceny ryzyka i dokonywania właściwego wyboru w różnych sytuacjach – od zakupu akcji po ubezpieczenie domku letniskowego.

W roku 1494 włoski matematyk Luca Pacioli po raz pierwszy zajął się problemem punktów w podręczniku „Podsumowanie arytmetyki, geometrii, proporcji i proporcjonalności”. Zaproponował podział puli proporcjonalnie do liczby punktów zdobytych do momentu przerwania gry. W powyższym przykładzie ten, kto uzyskał 8 punktów (w 14 rzutach), powinien według Paciolego wziąć 8/14 puli, czyli około 57,14 dolara. Dla drugiego gracza pozostałoby więc 6/14. Wydaje się to sensowne, ale ponad 50 lat później Niccolò Fontana (znany też jako Tartaglia) zauważył, że jest to wątpliwa metoda w sytuacji ekstremalnej. Jeśli na przykład przerwa nastąpiłaby po jednym rzucie monetą, to zdobywca jednego punktu zgarnąłby całą pulę, mimo odległego rozstrzygnięcia gry. Byłoby to ewidentnie niesprawiedliwe, podczas gdy celem jest sprawiedliwy podział.

Tartaglia zaproponował alternatywną metodę. Pozostając przy podanym przykładzie: gdy gracz prowadzi dwoma punktami ma o 1/5 więcej z 10 punktów potrzebnych do wygranej; jest więc o 1/5 bliżej celu, a zatem – argumentował Tartaglia – powinien odzyskać całą swoją stawkę i wziąć 1/5 stawki przeciwnika, co w sumie daje 60 dolarów. Wydaje się to sprawiedliwsze, zwłaszcza w skrajnych przypadkach. Po przerwaniu gry po jednym rzucie, zwycięzca bierze tylko 1/10 stawki przeciwnika, a nie całą. W metodzie Paciolego nagroda dla prowadzącego zależy od jego przewagi w stosunku do liczby dotychczasowych rzutów, natomiast w metodzie Tartaglii – w stosunku do całej gry.

Tartaglia wątpił jednak w swoją innowację. Napisał: „Niezależnie od sposobu podziału, konflikt będzie nieunikniony”. Uważał, że nie istnieje idealne rozwiązanie matematyczne, a problem został wymyślony, by wywoływać spory. Wątpliwości okazały się uzasadnione, a przykładem może być sytuacja, gdy pierwszy gracz ma 199 punktów, a drugi 190, zaś celem jest 200 punktów. Tartaglia przyznałby pierwszemu tylko 9/200 stawki przeciwnika, czyli 2,25 dolara, mimo że drugi potrzebowałby 10 sprzyjających rzutów pod rząd, aby wygrać. Skromny zysk pierwszego nie odzwierciedla jego przytłaczającej szansy na wygraną na tym etapie.

Temat pozostawał w zawieszeniu do połowy XVII wieku, gdy pewien francuski hazardzista podsunął go Pascalowi. Matematyk od razu dostrzegł, że rozwiązanie nie wiąże się z wynikiem w momencie przerwania gry, lecz z tym, jaki wynik mógłby być w przyszłości, a następnie skonsultował się w tej sprawie ze swoim przyjacielem Fermatem. Ich korespondencja zaowocowała dwoma unikalnymi sposobami podejścia do problemu. Co zadziwiające, oba podejścia, mimo ich rozbieżności, prowadziły do tego samego rozwiązania. Ta zbieżność przypieczętowała zaufanie do wyników, a współcześnie matematycy zgadzają się, że jest to najbardziej sprawiedliwy sposób podziału puli.

Fermat przeanalizował wszystkie możliwe kontynuacje gry po jej przerwaniu i zsumował liczby kontynuacji, prowadzących do wygranej każdej ze stron. Sprawiedliwy udział gracza w podziale puli powinien stanowić procent możliwych kontynuacji prowadzących do jego wygranej. Zastosujmy tę zasadę do naszej gry przerwanej przy stanie 8:6, gdy celem jest 10 punktów. Fermat zauważyłby, że gra musi się zakończyć po pięciu rzutach monetą. Gdyby na przykład pierwszy gracz zapunktował jednym rzutem, a drugi trzema, nastąpiłby remis 9:9 i kolejny rzut zakończyłby grę. Zatem przy stanie 8:6 Fermat wypisałby wszystkie możliwe kontynuacje pięciu rzutów i ich rezultaty, a następnie policzyłby, ile z nich doprowadziło do 10 punktów każdego z graczy.

Niektóre z możliwych scenariuszy prowadzą do wygranej w mniej niż pięciu rzutach, ale to nieistotne, bo można przyjąć, że po wcześniejszym zakończeniu gracze rzucają monetą jeszcze kilka razy, aby ułatwić rozliczenie. Okazuje się, że prowadzący wygrywa w 26 z 32 możliwych kontynuacji, więc należy mu się 26/32 = 81,25% puli, czyli 81,25 dolara.

To rozwiązanie, choć eleganckie, miało, zwłaszcza w czasach Fermata, jedną istotną wadę: co, jeśli liczba kontynuacji byłaby zbyt duża? Nawet gdy pozostaje tylko 20 rzutów, liczba możliwych kontynuacji przekracza milion. W tej sytuacji inne genialne rozwiązanie zaproponował Pascal, a przy okazji zastosował jako pierwszy rozumowanie, które doprowadziło później do fundamentalnej dla teorii prawdopodobieństwa koncepcji wartości oczekiwanej.

Metoda Pascala zaczyna się od oczywistego stwierdzenia: jeśli w momencie przerwania gry jest remis, pula dzielona jest równo między graczy. Gdyby zatem w naszym przykładzie koniec nastąpił przy wyniku 9:9, każdy z graczy otrzymałby 50 dolarów. Teraz robimy krok wstecz. Przy wyniku 9:8 na korzyść pierwszego gracza Pascal pyta o następstwa kolejnego rzutu monetą. Prowadzący ma 50% szans, że zapunktuje w tym rzucie, zdobędzie 10 punktów i zgarnie całą pulę. Prawdopodobieństwo, że rzut wygra drugi gracz i zremisuje 9:9, także wynosi 50%, a to oznaczałoby połowę puli dla każdego. A zatem średnia wygrana pierwszego gracza wynosi:

50% ze 100 $ + 50% z 50 $ = 75 $

Jeśli więc gra zostanie przerwana przy wyniku 9:8, prowadzący powinien wziąć 75 $. Ten sposób rozumowania można stosować rekurencyjnie, aby obliczyć podział puli w dowolnej sytuacji.

Kluczem jest więc określenie sprawiedliwej wygranej przez rozpatrzenie szans w dwóch sytuacjach – wypadnięcia w kolejnym rzucie orła lub reszki – a następnie obliczenia z tych dwóch prawdopodobieństw średniej. Następnie obliczamy średnią z tych dwóch możliwości. Zatem przy wyniku 9:7 pierwszy gracz powinien wziąć 87,50 $, bo jeszcze jeden orzeł dałby mu 100 $, a jeszcze jedna reszka przyniosłaby mu 75 $ (wtedy pojawiłby się nasz przykładowy wynik 9:8). Na analogicznej zasadzie przy wyniku 9:6 wygrywającemu należy się 93,75 $, a przy 8:7 – 68,75 $. Wreszcie przy wyniku 8:6 pierwszy gracz powinien wziąć:

50% z 93,75 $ + 50% z 68,75 $ = 81,25 $

Dokładnie takie samo rozwiązanie otrzymamy, stosując metodę Fermata. Podstawą obu metod jest bowiem zależność sprawiedliwego podziału od możliwych zdarzeń w przyszłości, a każde możliwe zdarzenie oceniane jest pod kątem prawdopodobieństwa jego wystąpienia. Dziś te rozwiązania nazywamy wartościami oczekiwanymi, czyli średnimi ważonymi wszystkich możliwych przyszłych wyników. Metodą Fermata wyniki liczone są wyczerpująco – rozpatrywany jest każdy możliwy ciąg na przykład pięciu kolejnych rzutów monetą. Pascal zaproponował sprytny sposób wsteczny: gdy pozostaje pięć rzutów monetą, sprawiedliwy podział oblicza się na podstawie sprawiedliwych podziałów w sytuacji, gdy do rozegrania są cztery rzuty, a z kolei ten oblicza się na podstawie trzech rzutów i tak dalej.

Koncepcja wartości oczekiwanej nie ograniczyła się do XVII-wiecznych gier towarzyskich. Stała się matematycznym silnikiem generującym niemal wszystkie współczesne sposoby oceny i ewaluacji ryzyka. Kiedy aktuariusz ustala składkę ubezpieczeniową, analityk z Wall Street ocenia portfel akcji lub hazardzista waży ryzyko zakładu – każdy z nich dokonuje analogicznych obliczeń: mnoży zysk z każdego możliwego scenariusza przez jego prawdopodobieństwo, a następnie oblicza sumę tych wyników, aby oszacować wartość decyzji. Mimo to niepewność jest nieunikniona. Nasz obecny poziom rozwoju technicznego w dużej mierze zawdzięczamy umiejętności rygorystycznego konfrontowania się z niepewnością. Przez setki lat uczeni podchodzili do zdarzeń losowych w sposób niesystematyczny, oparty na domysłach. Korespondencja Pascala z Fermatem ujęła te domysły w ścisłe ramy. Chociaż nadal nie potrafimy przewidzieć przyszłości, przynajmniej wiemy, jak ją oszacować.