Kule śnieżne, czyli o liczbach równo puchnących

Niektóre rodzaje rozrywek matematycznych wiążą się z językiem, a konkretnie – z literami i słowami. Typowy przykład stanowią kryptarytmy, czyli zadania, w których cyfrom odpowiadają litery tworzące słowa, a te z kolei zmieniają się w trakcie rozwiązywania w liczby. Zadania polegają na rozszyfrowywaniu słownych, zwykle w miarę sensownych językowo działań, na przykład takich, jak dodawanie na rys. 1.

Jednakowym literom odpowiadają takie same cyfry, a różnym – różne. Ponadto tutaj wiadomo, że litery w niebieskich kratkach zastępują cyfry nieparzyste, a w pomarańczowych – parzyste. Zadanie jest niełatwe do rozwiązania „na piechotę”, czyli bez komputerowego wsparcia.

Bywa też odwrotnie – w matematyce rekreacyjnej pojawiają się odpowiedniki zabaw lingwistycznych, językowych lub po prostu słowno-literowych. Z reguły nie są to bardzo wierne odwzorowania, ale pokrewieństwo jest wyraźnie widoczne. Przykładem językowego pierwowzoru może być zdanie: „I TY TEŻ SWÓJ UMYSŁ TRENUJ KAŻDEGO TYGODNIA CHOCIAŻBY KWADRANSIK”. Istota zabawy jest lepiej widoczna po zapisaniu zdania w słupku:

I
TY
TEŻ
SWÓJ
UMYSŁ
TRENUJ
KAŻDEGO
TYGODNIA
CHOCIAŻBY
KWADRANSIK

Dla takich leksykalnych okazów przyjęło się określenie zdania „kule śnieżne” (ZKŚ), bo tworzące je wyrazy jakby toczą się po alfabecie i po każdym przetoczeniu „przylepia się” do nich jedna litera, a właściwie x „starych” liter zastępowanych jest przez x+1 „nowych”. Inaczej mówiąc: każdy kolejny wyraz jest o jedną literę dłuższy od poprzedniego.

Układanie podobnych osobliwości, zwanych także ropalikonami (od greckiego rhopalos – maczuga; ze względu na jej kształt), traktowano całkiem serio w czasach, gdy forma bywała ważniejsza niż treść (literatura barokowa, futuryzm, grupa OuLiPo). Wiele przykładów cytuje Julian Tuwim w książce „Pegaz dęba”, ale dawniej w kolejnych słowach częściej przybywało nie po literze, lecz po sylabie.

Zmatematyzowana definicja „kul śnieżnych” zbliża je do ich liczbowego odpowiednika: każdy n-ty wyraz składa się z n liter. Teraz wystarczy tylko zmienić słowo „liter” na „cyfr” i od razu trafiamy do świata ciągów liczbowych, a ściślej ciągów „kul śnieżnych” (CKŚ). Oczywiście, konkretnym literom nie odpowiadają tu, jak w kryptarytmach, konkretne cyfry. Istotne jest tylko to, że ciąg równo „puchnących” – cyfra po cyfrze – liczb podlega pewnej ogólnej zasadzie, z reguły określonej jakimś wzorem, wyznaczającym kolejne wyrazy.

Warto zwrócić uwagę na jeszcze dwie istotne różnice między ZKŚ a CKŚ. Po pierwsze: ZKŚ są zawsze układane, natomiast CKŚ można wprawdzie układać, ale większość z nich została już odkryta wcześniej i trafiła do encyklopedii ciągów liczbowych – należy zatem je raczej wyszukiwać. Po drugie: długość ZKŚ jest z natury ograniczona, bo nawet najdłuższe neologizmy, typowe na przykład dla języka niemieckiego, mają koniec; natomiast ciągi mogą być „z natury” skończone, ale najczęściej są nieskończone. W każdym razie od typowych CKŚ wymaga się, aby nigdzie nie pojawiały się w nich odstępstwa od normy, czyli aby żaden kolejny wyraz nie był równie długi, jak poprzedni, albo dłuższy od niego o więcej niż jedną cyfrę oraz by ciąg nie miał końca (ograniczone CKŚ to jakby inna kategoria).

Spektakularnym przykładem CKŚ jest ciąg o wzorze na wyraz ogólny a_n = 10ⁿ (n = 0, 1, 2, …), czyli złożony z kolejnych potęg dziesiątki: 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, … . Możliwe są także jego inne opisowe definicje, np.:

(a) a₁=1 zaś każdy kolejny wyraz jest dziesięciokrotnie większy od poprzedniego;

(b) a₁=1 zaś każdy n-ty wyraz jest najmniejszą n-cyfrową wielokrotnością poprzedniego;

(c) każdy n-ty wyraz jest najmniejszą dodatnią liczbą n-cyfrową;

(d) suma cyfr każdego wyrazu równa jest 1.

Ten geometryczny CKŚ o prostym wzorze, ściśle związany z układem dziesiętnym, można uznać za protoplastę dwu rodzin CKŚ. Pierwsza obejmuje ciągi wynikające z definicji (a): geometryczne (a_n = q · a_n-1 = q^n-1 · a₁) i geometryczno-arytmetyczne (a_n = q · a_n-1 + r). Druga rodzina wiąże się z definicjami opisowymi (b) i (c) – obejmuje ciągi, z których każdy jest podciągiem złożonym z najmniejszych lub największych n-cyfrowych wyrazów wyjętych z jakiegoś ciągu. Ogólniej mówiąc: do drugiej rodziny należą ciągi, w których definicji liczba n cyfr każdego n-tego wyrazu jest nakazana wprost, a nie wynika z zależności matematycznych. Tutaj do tytułu głowy rodziny kandydują dwa podciągi: najmniejszych n-cyfrowych liczb pierwszych (2, 11, 101, 1009, 10 007, 100 003, 1 000 003, 10 000 019, 100 000 007, 1 000 000 007, …) oraz najmniejszych n-cyfrowych kwadratów (1, 16, 100, 1024, 10 000, 100 489, 1 000 000, 10 004 569, 100 000 000, 1 000 014 129, …).

Aby ciąg geometryczny o wzorze ogólnym a_n = q · a_n-1 był CKŚ, jego iloraz q powinien przyjmować odpowiednią wartość spełniającą nierówność 1<q<100. Jakiekolwiek by jednak było, 1≤a₁≤9, CKŚ nigdy nie powstanie, jeśli q będzie inne niż 10 – zawsze wcześniej czy później zostanie złamana podstawowa zasada – pojawią się dwa kolejne wyrazy o takiej samej liczbie cyfr lub o liczbach cyfr różniących się o dwa. Inaczej mówiąc jakiś n-ty wyraz będzie (n–1)- lub (n+1)-cyfrowy.

Nietrudno się domyślić, że bez błędu najdalej uda się dotrzeć przy a₁ = q = 9; zakłócenie (tyle samo cyfr w dwu kolejnych liczbach) pojawi się wówczas dopiero w 22 wyrazie: 9, 81, 729, 6561, 59 049, 531 441, (…), 1 350 851 717 672 992 089, 12 157 665 459 056 928 801, 109 418 989 131 512 359 209 (9²¹; 21 cyfr), 984 770 902 183 611 232 881 (9²²; też 21 cyfr), … .

Warunek q=10 nie zawsze musi być podany wprost; czasem bywa sprytnie ukryty, jak choćby w ciągu CKŚ zdefiniowanym rekurencyjnie w następujący sposób: a₁=8, a każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i sumy jego cyfr.

Także przy CKŚ geometryczno-arytmetycznych niezbędne jest, aby q=10. Przykładem może być ciąg o wzorze a_n = 10 · a_n-1 + n: 1, 12, 123, 1234, 12 345, 123 456, 1 234 567, 12 345 678, 123 456 789, 1 234 567 900, 12 345 679 011, … . Z tym ciągiem kojarzy się trywialny sposób tworzenia CKŚ, polegający na dopisywaniu do kolejnych wyrazów po jednej cyfrze – oczywiście nie dowolnej, tylko zgodnie z jakąś regułą. Najbardziej znany przykład tego rodzaju (bardzo podobny do podanego wyżej), zaproponowany przez amerykańskiego informatyka i popularyzatora nauki Clifforda Pickovera, występuje zwykle jako tzw. boski trójkąt, którego górny fragment znajduje się na rys. 2.

Łatwo się zorientować, jaka jest zasada jego konstrukcji, a „boskość” polega zapewne na kilku nierozwiązanych problemach programistycznych. Główny polega na wskazaniu w tym ciągu liczb pierwszych. Dotąd ustalono, że pierwsza liczba pierwsza jest 171-cyfrowa, czyli składa się z 17 cykli od jednego do zera (taki cykl jest trzecią liczbą od dołu na rys. 2) i kończy jedynką, zaś największa znana liczy 567 cyfr, czyli ostatnią jest siódemka.

Z liczbami pierwszymi wiąże się też grupa innych, ale nietypowych CKŚ, polegających na dołączaniu jednocyfrowych końcówek. Każdy zaczyna się od jednocyfrowej liczby pierwszej (2, 3, 5 lub 7), której w kolejnych krokach przybywa z prawej strony po jednej cyfrze, ale zawsze takiej, by każda następna liczba pozostawała liczbą pierwszą. Takie ciągi są nietypowe, bo ograniczone odstępem między liczbami pierwszymi – kończą się na wyrazie a_n, jeśli między 10a_n a 10a_n+9 nie ma żadnej liczby pierwszej. Ciekawe, że wszystkie najdłuższe są 8-wyrazowe – ich ostatnie wyrazy (choć pierwsze jako rodzaj liczb) to: 29 399 999, 37 337 999, 59 393 339 oraz 73 939 133. Ciągi stają się nieskończone, czyli w pełni CKŚ, jeżeli cyfra może być włączana do poprzedniej w dowolnym miejscu – na początku, na końcu lub gdziekolwiek w środku – a dodatkowo wymaga się, aby każda nowa liczba pierwsza była najmniejszą możliwą. Wówczas np. początek ciągu startującego od siódemki wygląda tak: 7, 17, 107, 1087, 10 487, 104 087, 1 024 087, 10 024 087, 100 024 087, 100 0124 087, … . Potraktowane w taki sam sposób kwadraty ani tym bardziej sześciany nie owocują, niestety, CKŚ.

Czy istnieją CKŚ nie objęte żadną z dwu podanych rodzin? Wydaje się, że nie, ale dowodu brak, więc poszukiwania trwają.

Zadania

1. Dla jakiej największej wartości k ciąg o wzorze a_n = 10a_n–1 + n^k oraz a₁=1 jest CKŚ?

2. Oto ciąg, którego początek może sugerować, że jest on CKŚ:

4, 30, 504, 1320, 43 680, 116 280, 6 375 600, 17 100 720, …

Niestety, dziewiąty wyraz jest sprzeczny z zasadą CKŚ, czyli „przeskakuje” skład 9-cyfrowy. Jaką liczbą 10-cyfrową jest ten dziewiąty wyraz?

3. Proszę podać wzór na sumę n wyrazów ciągu, którego każdy n-ty wyraz składa się z n piątek (5, 55, 555, 5555, …).

4. Pod słowami UMYSŁ i GIĘTKI ukrywają się drugi i trzeci wyraz ciągu o wzorze a_n=a_n–1 · (2n–1)² (dziesięciu różnym literom odpowiada dziesięć różnych cyfr). Oba te wyrazy zaczynają się cyframi parzystymi. Jaką 4-cyfrową liczbą zaczyna się ten ciąg?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 03/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Andrzeja G. Kruszewicza i Katarzyny Burda Sekrety życia seksualnego zwierząt ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru styczniowego

1. Rozwiązanie na rys. 3 (dwie cyfry w każdym rzędzie są składnikami sum lub czynnikami iloczynów podanych przed danym rzędem lub nad nim).

2. Rozwiązanie na rys. 4 (dystanse między kolejnymi liczbami są coraz dłuższe).

3. Przykładowe rozwiązanie na rys. 5; liczba na skoczku równa jest liczbie atakowanych przezeń pól („trójkowy” skoczek może zajmować dowolne z czterech pól).

4. Rozwiązanie na rys. 6 (suma co najmniej dwu liczb, znajdujących się w każdym wierszu, kolumnie i na dowolnej linii utworzonej z przekątnych kratek – jest taka sama, równa 21).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Henry’ego Mance’a Jak kochać zwierzęta w świecie człowieka, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS otrzymują: Radek Bedyński i Janusz Wojtal z Warszawy, Michał Różycki z Krakowa, Krzysztof Szeruga i Kamila Żelazna z Wrocławia.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”