Sześciopak z kwadratów, czyli wariacje heksominowe
Łącząc całymi bokami sześć jednakowych kwadratów, można utworzyć 35 całkowicie różnych wielokątów (rys. 1). „Całkowicie różnych” oznacza: z dokładnością do odbić lustrzanych, czyli przy założeniu, że wielokąty są płaskimi płytkami, które można odwracać na drugą stronę. Gdyby ograniczyć się do jednostronności, liczbę 35 należałoby zwiększyć o odbicia lustrzane 25 płytek bez symetrii osiowej, a więc do 60. Byłby to już jednak zdecydowanie za duży zestaw „rozrywkowych” rekwizytów, zwłaszcza że zdaniem wielu amatorów układanek liczba 35 to także nadmiar. Warto więc uprzedzić, że równocześnie z wszystkich elementów, ani nawet z ich większości, nigdy nie będziemy korzystać; układanki z pełnego kompletu pozostawiamy komputerom.
Cały zbiór na rys. 1, a także każdy z jego 35 elementów, nosi w matematyce nazwę heksomino. Potocznie bywa też określany jako sześciopak z kwadratów – następny po popularnym 12-elementowym pięciopaku zwanym pentominem, a przed 108-elementowym niszowym siedmiopakiem, czyli heptominem. Wprawdzie heksomino jest od pentomina mniej znane, ale okazjonalnie mają z nim do czynienia już uczniowie czwartej klasy szkoły podstawowej. Okazję stanowi siatka sześcianu – zazwyczaj jest nią wielokąt 32 z rys. 1, choć na przykład na klasówkach mogą się pojawiać inne kształty, a wówczas trzeba wskazać te, które siatkami sześcianu są albo nie są. Niemanualne upewnienie się, że każdy z 11 wielokątów umieszczonych na rys. 1 na żółtym tle jest siatką sześcianu, stanowi ćwiczenie wyobraźni przestrzennej, choć może być także, o czym na lekcjach matematyki się nie mówi, zadaniem logicznym, polegającym na wybraniu ze zbioru heksomin siatek sześcianu. W tym celu wystarczy zauważyć, że sześcian tworzą trzy pary ścian, z których każde dwie – V i V’ – znajdują się vis-á-vis, zaś po rozpłaszczeniu bryły możliwe są tylko ich cztery położenia względem siebie (rys. 2). Aby stwierdzić, czy z danego heksomina uda się złożyć sześcian, nie trzeba więc wyobrażać sobie procesu zginania w 3D. Wystarczy sprawdzić w 2D, czy kwadraty heksomina uda się pogrupować w trzy odrębne, ekwiwalentne pary – każda powinna zajmować jedną z czterech pozycji z rys. 2. Na rys. 3 znajduje się pięć przykładów: (a) i (b) – dwa heksomina z trzema parami (V i V’, X i X’ oraz Y i Y’), a więc siatki; (c) i (e) – niebędące siatkami, bo w każdym z jednym kwadratem V są skorelowane dwa inne V’; (d) – również nie siatka, bo dwa kwadraty nie stanowią pary. Ponadto heksomino (e) zawiera dodatkowy eliminujący je szczegół – tzw. czwórstyk, czyli punkt zetknięcia rogów czterech kwadratów, którego w sześcianie brak.
Wyobraźmy sobie, że dysponujemy dużą liczbą płytek heksomina jednakowego kształtu, którymi mamy pokryć płaszczyznę. Skrótowo mówimy o pokrywaniu płaszczyzny figurą, zaś pokrycie powinno być szczelne i płytki nie mogą na siebie zachodzić. Dla prostokątnego heksomina zadanie jest trywialne. A gdyby miało jakiś „pokrętny” kształt – np. taki, jak 30 na rys. 1 – czy wówczas pokrycie byłoby możliwe? Z zadaniem dość łatwo uporać się praktycznie, próbując narysować odpowiedni układ płytek na kratkowanym papierze. Można też poradzić sobie teoretycznie. W tym celu należy sprawdzić, czy dany wielokąt spełnia określone warunki, na które składają się dwa alternatywne kryteria: kryterium translacyjne albo kryterium Conwaya. W obu przypadkach chodzi o podział boku wielokąta na sześć części oznaczonych kolejno po obwodzie literami A, B, C, D, E i F. Jeśli uda się dokonać podziału w taki sposób, aby części te tworzyły trzy pary A-D, B-E i C-F – przy czym obie części w każdej parze miały taki sam kształt, a jedna z nich była tylko przesunięta równolegle względem drugiej (bez obrotu) – to zostanie spełnione kryterium translacyjne, a pokrycie płaszczyzny będzie możliwe. Co istotne, wszystkie wielokąty będą tak samo skierowane, tzn. żaden nie będzie obrócony względem innego. Podział boku heksomina 30 (rys. 1), spełniający kryterium translacyjne, znajduje się na rys. 4, a obok – odpowiadający temu podziałowi schemat wypełniania płaszczyzny.
W kryterium Conwaya para A-D powinna spełniać takie same warunki, jak pary w kryterium translacyjnym, natomiast każda z pozostałych czterech części boku – B, C, E i F – musi mieć środek symetrii, czyli pokrywać samą siebie po obrocie o 180°. Wtedy także uda się pokryć płaszczyznę, ale każdy wielokąt będzie miał sąsiadów obróconych o 180°. Rys. 5 przedstawia podział boku heksomina 30 spełniający kryterium Conwaya (czarne kropki to środki symetrii czterech części) oraz odpowiadające temu podziałowi wypełnienie płaszczyzny. Oba kryteria wypada jeszcze uzupełnić wyjątkami: w kryterium translacyjnym podział może ograniczać się do czterech części, tworzących dwie pary; w kryterium Conwaya podział może być mniej niż sześcioczęściowy i obejmować: (1) tylko trzy z czterech części B, C, E, F albo (2) części A, D oraz po jednej części z par (B, C) i (E, F).
Czy płaszczyznę można pokryć heksominem 30 w jeszcze inny sposób? Jest to możliwe przy założeniu, że płytki są dwustronne. Wówczas z heksominami 30 będą sąsiadować ich odbicia lustrzane, jak na rys. 6. Nie jest jednak znane kryterium, które pozwoliłoby zawczasu, bez praktycznej układanki stwierdzić, czy uda się dokonać takiego pokrycia.
Korzystając z kryterium Conwaya, nietrudno wykazać, że możliwe jest pokrycie płaszczyzny heksominem o dowolnym kształcie bez korzystania z odbić lustrzanych. Natomiast 11 heksomin nie spełnia kryterium translacyjnego, czyli żadnym z nich nie można pokryć płaszczyzny bez konieczności obracania niektórych kopii o 180°.
Jeden z klasycznych rodzajów zadań dotyczących polimin (wielokątów złożonych z kwadratów), a więc także heksomina, polega na układaniu z jakiegoś zestawu płytek prostokąta oraz ewentualnie poprzedzającym je ustalaniu, czy jest to możliwe. Komplet 35 heksomin z rys. 1 to 210 kwadratów, co teoretycznie przekłada się na sześć prostokątów: 3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15. Pytanie, czy któryś z nich uda się ułożyć, pojawiło się po raz pierwszy na łamach jednego z brytyjskich periodyków szachowych w roku 1934. Na odpowiedź przeczącą nie trzeba było długo czekać. Za nieukładność odpowiada 11 heksomin niezrównoważonych szachownicowo (rys. 7). Oznacza to, że każde z nich – przedstawione jako fragment szachownicy – obejmuje cztery pola białe i dwa czarne lub odwrotnie. Pozostałe 24 heksomina są zrównoważone, czyli składają się z trzech kratek jednego koloru i trzech drugiego, zatem przy układaniu hipotetycznego szachownicowego prostokąta zajmą 144 pola. Na 11 pozostałych heksomin przypadnie 66 pól – 33 białe i 33 czarne, czyli liczby nieparzyste. Tymczasem dokładanie niezrównoważonych heksomin zawsze zwiększa liczbę czarnych i białych kratek o liczbę parzystą, więc 33 białe i 33 czarne nigdy się nie pojawią.
Znane są też inne dowody, ale wszystkie wiążą się z parzystością. Na przykład: w dowolnym wielokącie szachownicowym ułożonym z 35 heksomin różnica między liczbą białych i czarnych pól może być równa 2 (6×4+5×2–6×2–5×4), 6, 10, 14, 18 lub 22 (11×4–11×2). Tymczasem w prostokącie złożonym z parzystej liczby kratek ta różnica zawsze jest równa zero. A więc sprzeczność.
Czy w taki sam sposób można dowieść, że nie sposób utworzyć prostokąta (3×22 lub 6×11) z 11 różnych siatek sześcianu? Cztery z nich są niezrównoważone (z żółtym tłem na rys. 7) i powinny zająć 12 pól białych oraz 12 czarnych, co jest możliwe – na dwóch heksominach będą dwie kratki białe i cztery czarne, na dwóch pozostałych – dwie czarne i cztery białe. Zatem dowód nie działa, ale mimo to konkurs na ułożenia takiego prostokąta byłby nie fair, bo żadne rozwiązanie na pewno by nie wpłynęło. Źródłem pewności są układy w rogach domniemanego prostokąta. Do rogu pasuje tylko pięć siatek (rys. 8), jednak dalsze wypełnianie układów A-D wymagałoby użycia heksomina zajmującego trzy pola z kropkami, a pasująca w takie miejsce siatka sześcianu jest tylko jedna – 12 na rys. 1, która zresztą występuje w układzie A. W rezultacie są tylko dwie możliwości zapełnienia rogu – jedna z czterech od B do D oraz E, a przecież rogi są cztery.
Prosty „rogowy” dowód nierzadko bywa skuteczny, gdy chodzi o układanie, a właściwie o nieukładność prostokąta z jednakowych heksomin. Tak jest wówczas, gdy heksominem w ogóle nie można wypełnić rogu (np. 32 lub 33), albo można, ale niemożliwa jest kontynuacja (np. dla 24 lub 25). Kiedy indziej rogowy dowód okazuje się zawodny, np. dla L-heksomina (14); w tym przypadku dowiedzenie nieukładności jest dość zawiłe – wymaga analizowania wielu układów z różnymi położeniami wielokąta L.
Wśród wielokątów na rys. 1 łatwo wskazać te, których prostokątna układność jest pewna. Poza dwoma przypadkami trywialnymi (1 i 9), są to wszystkie te, które powstają w wyniku podziału na dwie figury przystające prostokątów 2×6 i 3×4 (2, 4, 7, 15 i 17). Nietrudno też odkryć, że prostokąt tworzą cztery heksomina 8 (rys. 9a). Natomiast twardszym orzechem było ustalenie, że na prostokąt składa się 18 heksomin numer (nomen omen) 18 (rys. 9b). Dla prawie wszystkich pozostałych udowodniono ich prostokątną nieukładność. Prawie, bo jeden wielokąt oparł się dowodom i długo opierał się układności. Chodzi o heksomino 3. Dopiero w roku 1985 angielski programista Thomas William Marlow ustalił, że potrzebne są aż 92 takie wielokąty, aby powstał prostokąt (rys. 10). Układy na rys. 9 i 10 mają środek symetrii, tzn. po obrocie o 180° się nie zmieniają.
W roku 1960 heksomino po raz pierwszy pojawiło się w sprzedaży jako układanka Multipuzzle złożona z 42 plastikowych płytek (komplet plus kopie siedmiu płytek) wydana przez angielską firmę Spear & Sons Ltd. Wiązało się to m.in. z dotyczącymi heksomina publikacjami, w tym niełatwymi zadaniami, zamieszczanymi wówczas w czasopismach matematycznych i szachowych. Instrukcja zawierała jednak całkiem przystępne propozycje zabawy – serię 48 łamigłówek, polegających na wypełnianiu 10 wybranymi płytkami prostokąta 6×10. Później w sklepach z zabawkami gościły i goszczą nadal inne heksominowe układanki, obejmujące zestaw kilkunastu wybranych płytek. Reguły bywają dość oryginalne – polegają np. na umieszczeniu wybranych płytek w pudełku tak, aby żadne dwie nie stykały się bokami. Inną ciekawą formą układanki jest tzw. tetraplikacja, czyli układanie z czterech heksomin jednego o czterokrotnie większej powierzchni, ale o takim samym kształcie jak jeden ze „składników” (przykład na rys. 11). Natomiast najwytrwalsi fanatycy sześciopaku próbują od dziesięcioleci budować z pełnego kompletu różne figury, zwykle symetryczne i abstrakcyjne, a czasem także realistyczne. Dziś z reguły korzystają ze wsparcia komputerowego, a efekty bywają przynajmniej godne uwagi, jeśli nie podziwu (rys. 12).
Zadania
1. Tuzin różnych heksomin tworzy dwa diagramy sudoku 6×6 (rys. 13). W puste kratki każdego diagramu należy wpisać cyfry od 1 do 6 tak, aby w każdym wierszu, w każdej kolumnie oraz w każdym heksominie występowało sześć różnych cyfr. Ponadto w polach położonych w tym samym miejscu w obu diagramach powinny występować różne cyfry. W rozwiązaniu wystarczy podać, jaka cyfra powinna znaleźć się w różowym polu, aby zadanie miało dokładnie jedno rozwiązanie.
2. Grupa czterech z sześciu kolorowych heksomin (rys. 14) ma własność 4T (poczwórna tetraplikacja). Jakie są kolory dwóch heksomin, które do tej czwórki nie należą.
Własność 4T polega na tym, że z czterech heksomin można złożyć każdy wielokąt, który ma taki sam kształt jak każde z tych heksomin, ale powierzchnię czterokrotnie większą – jak w przykładzie na rys. 11 (przykład dotyczy cechy 1T, bo możliwe jest ułożenie tylko jednego wielokąta – w kształcie jednego z czterech kamieni). Niesymetryczne heksomina można odwracać na drugą stronę (odbicia lustrzane).
3. Heksomino będące najpospolitszą siatką sześcianu spełnia kryterium Conwaya i nietrudno wypełnić nim płaszczyznę (rys. 15). W którym miejscu tego heksomina – od a do f – należy „doczepić” jeszcze jeden kwadrat, aby wypełnienie płaszczyzny utworzoną w ten sposób figurą złożoną z siedmiu kwadratów (heptominem) nie było możliwe?
4. Wielokąt na rys. 16 należy wypełnić 11 otaczającymi go siatkami sześcianu, a praktycznie podzielić go na te figury. Jest to jedyny znany, wypełniający płaszczyznę, wielokąt złożony z 11 różnych siatek sześcianu. Heksomina można obracać, ale odbicia lustrzane wykluczamy. W rozwiązaniu wystarczy podać numery heksomin, zajmujących pola oznaczone poszczególnymi literami (każda litera znajduje się w kratce należącej do innego heksomina).
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 01/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Mózg, władca czasu Deana Buonomano ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.
Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.
Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl
***
Rozwiązania zadań z numeru listopadowego
1. Największa liczba, będąca na pewno dzielnikiem kilkucyfrowej liczby A, która w wyniku odpowiedniego przestawienia cyfr maleje trzykrotnie, to 27 (odpowiedzi „A” także były uznawane za poprawne).
2. Najmniejszą liczbą naturalną, która zwiększa się półtorakrotnie po przeniesieniu jej pierwszej cyfry na koniec, jest 16-cyfrowa liczba 1 176 470 588 235 294.
3. Dwie przykładowe liczby, których wartość wzrasta trzykrotnie po przestawieniu przedostatniej cyfry na początek, to 1035 i 27 585.
4. Dwa przykłady trzycyfrowych liczb równocześnie hiperkolistych i retrokolistych: 170 (170x63=10 710) i 214 (214x58=12 412).
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań książkę Edwarda R. Scheinermana Przewodnik miłośnika matematyki. Arcydzieła dla każdego, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Wojciech Błachut z Gliwic, Piotr Dziel z Gniezna, Tomasz Migdałek z Poznania, Wojciech Ożdżeński z Warszawy, Mariusz Trzyna z Hyżnego.