Skąd się bierze matematyka?
W skrócie
Największe tajemnice kryją się często w rzeczach, które uznajemy za oczywiste. Większość ludzi w ogóle nie zastanawia się nad tym, że naukowcy różnych specjalności wykorzystują matematykę, by opisywać i objaśniać świat. Dlaczego jednak im się to udaje?
Okazuje się, że pojęcia matematyczne, rozwijane z powodów czysto abstrakcyjnych, pozwalają wyjaśniać zjawiska realne. Użyteczność matematyki, jak kiedyś napisał fizyk Eugene Wigner, „jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy”.
Cześć tej łamigłówki zawiera się w pytaniu, czy matematyka jest wynalazkiem, tzn. wytworem ludzkiego umysłu, czy też stanowi przedmiot odkrycia, który istnieje niezależnie od nas. Autor tego artykułu wskazuje, że jest i jednym, i drugim.
Większość z nas uważa istnienie matematyki i możliwość jej stosowania za kwestie oczywista: naukowcy mogą obmyślać wzory opisujące zjawiska w skali subatomowej, a inżynierowie potrafią wyznaczać trajektorie statków kosmicznych. Akceptujemy pogląd, zaprezentowany przez Galileusza, że matematyka jest jeżykiem nauk przyrodniczych; jej gramatyka pozwala wyjaśniać wyniki doświadczeń, a nawet przewidywać przebieg nowych zdarzeń. Jednak potęga matematyki jest istotnie zdumiewająca. Weźmy na przykład słynne równania szkockiego fizyka Jamesa Clerka Maxwella: te cztery linijki nie tylko streszczały wszystko to, co w latach sześćdziesiątych XIX wieku było wiadomo o elektromagnetyzmie, lecz także pozwalały przewidzieć istnienie fal radiowych na dwie dekady przed ich odkryciem przez niemieckiego fizyka Heinricha Hertza. Bardzo niewiele jeżyków jest tak skutecznych, zdolnych do wyrażenia zawartości całych tomów materiału równie zwięźle i precyzyjnie. Albert Einstein zastanawiał się: „Jak to możliwe, że matematyka, produkt ludzkiej myśli niezależny od doświadczeń, tak świetnie pasuje do rzeczywistych obiektów fizycznych?”.
Będąc aktywnym zawodowo astrofizykiem teoretykiem, codziennie spotykam się z „niepojęta skutecznością matematyki”, jak to ujął w 1960 roku laureat Nagrody Nobla fizyk Eugene Wigner. Gdy zastanawiam się, jakie sytuacje prowadza do gwiezdnych eksplozji supernowych typu Ia, albo gdy próbuje obliczyć, jaki los spotka Ziemie, gdy Słonce stanie się czerwonym karłem, korzystam z narzędzi matematycznych. To, jak wiernie matematyka potrafi uchwycić świat realny, fascynowało mnie przez całe zżycie zawodowe; około 10 lat temu postanowiłem przyjrzeć się tej sprawie dokładniej.
Sedno stanowi spór, który matematycy, fizycy, filozofowie i kognitywiści toczą od wieków: czy matematyka to zestaw wymyślonych narzędzi, jak uważał Einstein? A może matematyka naprawdę istnieje, w jakimś abstrakcyjnym królestwie, ludzie zaś tylko stopniowo odkrywają jej prawdy? Wielu słynnych matematyków – w tym David Hilbert, Georg Cantor i grupa osób znana jako Nicolas Bourbaki – podzielało pogląd Einsteina, wiązany zwykle ze szkoła filozoficzna nazywana formalizmem. Inni myśliciele, wśród nich Godfrey Harold Hardy, Roger Penrose i Kurt Gödel, byli zwolennikami przeciwnego kierunku – platonizmu.
Debata o naturze matematyki trwa do dziś i wydaje się daleka od rozstrzygnięcia. Uważam, że zadając proste pytanie: czy matematykę wymyślamy, czy też ją odkrywamy, z góry wykluczamy bardziej zawiłe odpowiedzi – na przykład taką, że zarówno wymyślanie, jak i odkrywanie odgrywają kluczową rolę. Twierdzę, że właśnie dzięki ich współistnieniu matematyka sprawdza się tak dobrze. I choć eliminacja dychotomii między wynalazkiem a odkryciem nie wyjaśnia w pełni niepojętej skuteczności matematyki, to problem jest tak głęboki, że nawet mały krok w stronę jego rozwiązania stanowi jakiś postęp.
Wynalazek i odkrycie
Matematyka objawia swoją niepojętą skuteczność na dwa różne sposoby; o jednym z nich myślę jako o aktywnym, o drugim – jako o biernym. Uczeni czasem tworzą nowe metody specjalnie po to, żeby ujmować ilościowo konkretne zjawiska. Na przykład Isaac Newton stworzył rachunek różniczkowy, żeby opisywać zjawiska ruchu i ciągłych zmian, rozbijając je na serie chwilowych, infinitezymalnych obrazów, analizowanych klatka po klatce. Oczywiście, takie aktywne wynalazki są skuteczne; powstają wtedy przecież narzędzia, zaprojektowane specjalnie na zamówienie. Zaskakująca jest jednak ich niewiarygodna dokładność w pewnych sytuacjach. Weźmy chociażby elektrodynamikę kwantową, teorię matematyczną zbudowaną po to, żeby opisać wzajemne oddziaływanie światła i materii. Naukowcy używają jej, aby wyznaczyć moment magnetyczny elektronu; otóż, wartość przewidziana teoretycznie zgadza się z najnowszymi pomiarami doświadczalnymi – wynik zmierzony w 2008 roku wynosi w odpowiednich jednostkach1 1,00115965218073 – z dokładnością do kilku trylionowych!
Matematyka opiera się na naszej percepcji i obrazach mentalnych, które potrafimy sobie wyczarować.
Jeszcze bardziej zdumiewający być może fakt, że matematycy tworzą czasem całe dziedziny badań, nie kierując się w ogóle potencjalnymi zastosowaniami, a mimo to po upływie dziesięcioleci, a nawet wieków, fizycy odkrywają, że właśnie te gałęzie matematyki pozwalają nadać sens różnym obserwacjom. Przykładów takiej pasywnej skuteczności jest cała masa. Francuski matematyk Évariste Galois w początkach XIX wieku stworzył teorię grup wyłącznie w celu zbadania problemu istnienia wzorów na rozwiązania równań wielomianowych. W XX wieku fizycy stwierdzili, że właśnie teoria grup, dość abstrakcyjna wszak dziedzina matematyki, dostarcza najbardziej owocnych metod katalogowania cząstek elementarnych. W latach sześćdziesiątych Murray Gell-Man i Yuval Ne’eman niezależnie wykazali, że pewna szczególna grupa, nazywana SU(3), odzwierciedla zachowanie subatomowych cząstek, zwanych hadronami. Odkrycie tego związku pozwoliło ostatecznie sformułować współczesną teorię wyjaśniającą, jakie siły wiążą jądro atomowe w całość2.
Innego pięknego przykładu biernej skuteczności matematyki dostarczają badania węzłów. Węzły matematyczne są podobne do zwykłych węzłów na sznurku, tylko mają złączone końce. W latach sześćdziesiątych XIX wieku lord Kelvin miał nadzieję, że atomy uda się opisać jako zawęźlone rurki eteru. Był to model błędny, nieznajdujący odbicia w rzeczywistości; mimo to matematycy przez wiele lat analizowali węzły wyłącznie jako ezoteryczne obiekty czystej matematyki. Zdumiewające, że dziś teoria węzłów dostarcza ważnych intuicji i narzędzi w teorii strun i w geometrii kwantowej, które obecnie są najdalej zaawansowanymi próbami budowy teorii, pozwalającej pogodzić mechanikę kwantową i ogólną teorię względności. Podobnie, narzędzia teorii liczb są współcześnie szeroko stosowane w kryptografii, choć angielski matematyk Hardy twierdził, że „nikt nie odkrył jeszcze żadnego wojennego celu, któremu miałaby służyć teoria liczb”3. A w 1854 roku Bernhard Riemann opisał szereg geometrii nieeuklidesowych – dziwnych przestrzeni, w których linie równoległe mogą się zbliżać lub oddalać. Ponad pół wieku później Einstein wykorzystał takie geometrie, budując ogólną teorię względności.
Widać tu pewną prawidłowość: ludzie wymyślają pojęcia matematyczne, wydobywając pewne elementy – kształty, linie, zbiory, grupy itd. – z otaczającego świata, a następnie nadając im abstrakcyjny sens. Później odkrywają różne związki między tymi pojęciami. Ponieważ taki proces wynajdowania i odkrywania jest w całości, w przeciwieństwie do odkryć, o których mówią platoniści, dziełem człowieka, więc koniec końców matematyka opiera się na naszej percepcji i obrazach mentalnych, które potrafimy sobie wyczarować. Mamy na przykład wrodzony talent4 do natychmiastowego rozpoznawania liczby przedmiotów; to niewątpliwie on doprowadził do powstania pojęcia liczby. Bardzo dobrze rozpoznajemy też krawędzie poszczególnych rzeczy i odróżniamy linie proste od krzywych, także różne kształty, takie jak koła i elipsy. Najprawdopodobniej dzięki tym zdolnościom człowieka rozwinęły się arytmetyka i geometria. Podobnie, wielokrotne ludzkie doświadczenia z pojęciami przyczyny i skutku co najmniej częściowo przyczyniły się do powstania logiki, a wraz z nią pomysłu, że z pewnych stwierdzeń może wynikać prawdziwość innych.
Dobór i ewolucja
Michael Atiyah, jeden z największych matematyków XX wieku, przedstawił elegancki eksperyment myślowy wskazujący, jak bardzo zmysły wpływają na to, które pojęcia matematyczne ogarniamy – nawet gdy chodzi o rzeczy tak podstawowe, jak liczby. Niemiecki matematyk Leopold Kronecker jest autorem słynnego powiedzenia: „Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, cała reszta jest dziełem ludzkim”5. Wyobraźmy sobie jednak, że inteligencja na Ziemi nie jest domeną ludzi, tylko osobliwej, samotnej meduzy, żyjącej gdzieś w głębinach Oceanu Spokojnego. Wszystko, czego owa meduza doświadcza, ma charakter ciągły, począwszy od przepływu wody po zmiany jej temperatury i ciśnienia. Czy w takim otoczeniu, gdzie nie istnieją wyraźne pojedyncze przedmioty i nic nie ma charakteru dyskretnego, powstałoby w ogóle pojęcie liczby? Czy liczby mogłyby istnieć, gdyby nie było nic do liczenia? Jak owa meduza, wybieramy narzędzia matematyczne, które można zastosować w naszym świecie. Ten fakt bez wątpienia przyczynił się do obserwowanej dziś skuteczności matematyki.
Tylko najlepsze modele matematyczne przetrwają próbę czasu. Modele słabe, do których należy podjęta przez Kartezjusza próba opisu ruchu planet za pomocą wirów materii kosmicznej, przepadają we wczesnej fazie. Natomiast te, które odniosły sukces, są później rozwijane i ulepszane w miarę napływu nowych informacji. Na przykład, bardzo dokładne pomiary precesji orbity Merkurego wymagały uzupełnienia mechaniki newtonowskiej o ogólną teorię względności Einsteina. Wszystkie ugruntowane pojęcia i fakty matematyczne są bardzo trwałe: wzór na pole powierzchni sfery jest dziś równie poprawny, jak wtedy gdy (około 250 roku p.n.e.) udowodnił go Archimedes. Dlatego właśnie naukowcy w każdej epoce, szukając najwłaściwszych metod dla swoich celów, mogą sprawdzić olbrzymi arsenał formalnych narzędzi matematycznych.
Badacze jednak nie tylko są wybredni, wybierając swoje narzędzia; wykazują także skłonność do sięgania po problemy podatne na matematyczną obróbkę. Ale istnieje bardzo wiele zjawisk, których przebiegu nie można dokładnie przewidzieć matematycznie. Niekiedy ma to zupełnie zasadniczy charakter. Na przykład w ekonomii wiele czynników nie poddaje się łatwo analizie ilościowej. Wartość przewidywań każdej teorii zależy od niezmienności zakładanych przez nią relacji między różnymi czynnikami. Naszej analizie nie poddają się do końca także takie układy, w których pojawia się chaos i nawet najmniejsza zmiana warunków początkowych może prowadzić do zupełnie innych wyników końcowych, co skutecznie uniemożliwa długoterminowe przewidywania. Aby radzić sobie i w takich sytuacjach, matematycy rozwinęli rachunek prawdopodobieństwa i statystykę. Jednak sama matematyka, jak wykazał Gödel, też podlega ograniczeniom.
Symetria natury
Staranny dobór problemów i metod ich rozwiązywania tylko częściowo wyjaśnia sukcesy matematyki w opisywaniu praw przyrody. Po pierwsze, takie prawa muszą w ogóle istnieć! Tak się jednak szczęśliwie dla matematyków i fizyków składa, że Wszechświat wydaje się rządzony uniwersalnymi prawami: atom odległy o 12 mld lat świetlnych zachowuje się tak samo, jak podobny atom na Ziemi; światło w zamierzchłej przeszłości i dziś ma te same cechy; ruch współczesnych galaktyk kontroluje ta sama siła grawitacji, która ukształtowała początkowe struktury Wszechświata. Aby opisać podobnego rodzaju odporność na zmiany, matematycy i fizycy rozwinęli pojęcie symetrii.
Wydaje się, że prawa fizyki wykazują symetrię względem przestrzeni i czasu: nie zależą od tego, gdzie, pod jakim kątem i kiedy je badamy. Są także identyczne dla każdego obserwatora, bez względu na to, czy pozostaje on w spoczynku, czy porusza się ruchem jednostajnym lub przyśpieszonym. Dlatego właśnie te same prawa pozwalają wyjaśniać wyniki naszych doświadczeń, niezależnie od tego, czy prowadzimy je w Chinach, w Alabamie, czy w galaktyce Andromedy, ani od tego, czy robimy to właśnie dziś, czy ktoś inny zrobi to za miliard lat. Gdyby we Wszechświecie nie było symetrii, to każdy zamiar rozszyfrowania wspaniałego planu natury – każdy model matematyczny budowany na podstawie obserwacji – byłby skazany na porażkę, gdyż doświadczenia trzeba byłoby powtarzać ciągle, w każdym punkcie przestrzeni i czasu.
Jeszcze subtelniejsze symetrie, tzw. symetrie cechowania, rządzą prawami opisującymi świat w skali subatomowej. Na przykład, z uwagi na brak wyrazistości obowiązujący w skali kwantowej, ta sama cząstka może być ujemnie naładowanym elektronem albo elektrycznie obojętnym neutrinem, albo jednocześnie mieszanką obu. Ten stan trwa dopóty, dopóki nie dokonamy pomiaru ładunku elektrycznego pozwalającego rozróżnić obie cząstki. Okazuje się, że prawa przyrody zachowują swoją formę, gdy zamieniamy elektron na neutrino lub na mieszankę obu cząstek. Podobna zasada obowiązuje podczas wymiany innych rodzajów cząstek elementarnych. Gdyby nie taka symetria cechowania, bardzo trudno byłoby sformułować teorię wyjaśniającą podstawowe mechanizmy działania Wszechświata. Niedaleko też zaszlibyśmy bez zasady lokalności orzekającej, że bezpośredni wpływ na stan obiektów w naszym Wszechświecie ma tylko ich najbliższe otoczenie, a nie dowolnie odległe zjawiska. Dzięki lokalności zjawisk model matematyczny Wszechświata można próbować budować tak jak puzzle, zaczynając od najbardziej podstawowych oddziaływań cząstek elementarnych i dokładając stopniowo kolejne części wiedzy.
Najbardziej zaawansowane współczesne próby matematycznej unifikacji wszystkich rodzajów oddziaływań fizycznych wymagają postulowania jeszcze jednej symetrii: tzw. supersymetrii. W supersymetrycznym Wszechświecie każda znana cząstka powinna mieć hipotetyczną partnerkę. Na razie takich partnerek nie znamy; jeśli uda się je odkryć (np. w Wielkim Zderzaczu Hadronów w CERN pod Genewą), będzie to kolejny triumf skuteczności matematyki.
Zacząłem od dwóch podstawowych, powiązanych pytań: czy matematyka jest wymyślana, czy odkrywana? I czemu zawdzięcza swoją zdolność do wyjaśniania i przewidywania zjawisk? Sądzę, że znamy odpowiedź na pierwsze pytanie. Matematyka jest skomplikowanym połączeniem odkryć i wynalazków. Pojęcia na ogół są wymyślane i to ludzie wybierają, które związki między nimi będą badać, nawet jeśli przyjmiemy, że wszystkie poprawne powiązania między pojęciami istnieją, zanim jeszcze zostaną odkryte. Drugie pytanie jest dużo bardziej złożone. Bez wątpienia dobór zagadnień, którymi zajęliśmy się, korzystając z matematyki, miał znaczący wpływ na to, jak oceniamy jej skuteczność. Matematyka jednak w ogóle nie działałaby, gdyby nie było uniwersalnych praw, które można odkrywać. Czytelnik mógłby więc zadać pytanie: dlaczego w ogóle istnieją uniwersalne prawa przyrody? Lub równoważne: dlaczego w naszym Wszechświecie panują pewne symetrie i zasada lokalności zjawisk? Naprawdę nie wiem, jak brzmi odpowiedź; mogę tylko zauważyć, że być może w świecie pozbawionym tych własności nigdy nie pojawiłaby się różnorodność ani życie, więc i nas by tu nie było i nie moglibyśmy zadać tego pytania.
1 Chodzi o stosunek momentu magnetycznego elektronu do tzw. magnetonu Bohra.
2 Dodatnio naładowane protony odpychają się; pole elektrostatyczne usiłuje więc rozerwać jądro atomowe na części. Na bardzo małych odległościach, rzędu rozmiarów jądra atomowego, odpychanie elektrostatyczne jest jednak równoważone przez tzw. oddziaływania silne między nukleonami (protonami i neutronami).
3 G.H. Hardy, Apologia matematyka, przełożył Marek Fedyszak, wyd. Prószyński i S-ka, Warszawa 1997, rozdział 28. Hardy kończy zdanie, z którego pochodzi przytoczony fragment, słowami: „wydaje się mało prawdopodobne, by komuś się to udało”. Z innych partii tekstu jasno jednak wynika, że sprawę przyszłych zastosowań matematyki traktuje jako otwartą. (Mario Livio błędnie wiąże kryptograficzne zastosowania teorii liczb z odkryciami samego Hardy’ego.)
4 Angielska nazwa tej zdolności – subitizing, ukuta przez E.L. Kaufmana od łacińskiego przymiotnika subitus, wydaje się nie mieć przyjętego odpowiednika polskiego.
5 „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” (Berlin, 1886) – zdanie wypowiedziane podczas referatu na konferencji przedstawicieli różnych nauk przyrodniczych.
***
Artykuł ukazał się w „Świecie Nauki” we wrześniu 2011 r.