Czy zakład na loterii może być dobry?

Załóżmy, że wybrałem konkretny moment z minionych dziewięciu lat. Ściślej – chodzi o całkowicie losowy wybór jakiegoś roku, miesiąca, dnia, godziny, minuty i sekundy między majem 2016 roku a dniem dzisiejszym. Czy ktoś potrafiłby odgadnąć mój wybór? Miałby szanse? Okazuje się, że prawdopodobieństwo wskazania wybranej sekundy z dziewięciu lat jest większe niż wygranej w Powerball.

W październiku 2023 roku loteria Powerball trafiła na pierwsze strony gazet, gdy pula nagród przebiła kolosalną kwotę 1,7 mld dolarów, drugą co do wielkości w historii tej gry. Każdy wie, że szanse na wygraną są nikłe. Czy jednak w sytuacji, gdy kumulacja osiąga rekordowe rozmiary, potencjalna ogromna wypłata może zrównoważyć rzadkość wygranych? Innymi słowy, czy zakład w loterii kiedykolwiek można uznać za dobry? Odpowiedź może zaskoczyć: po względem matematycznym nawet dobry zakład może okazać się złym wyborem.

Matematycy odróżniają czasem dobre zakłady od złych, korzystając z kryterium zwanego wartością oczekiwaną. Rozważmy przykład zakładu o wynik rzutu kostką. Za możliwość wyboru liczby od 1 do 6 płacimy dolara. Jeśli odgadniemy wynik rzutu, wygrywamy dolara, a gdy wybór okaże się niewłaściwy, tracimy dolara. Czy przyjmiemy taki zakład? Wydaje się niesprawiedliwy, bo choć możemy wygrać lub stracić dokładnie tyle samo, to znacznie bardziej prawdopodobne jest, że stracimy (pięć na sześć wyników rzutu kończy się przegraną). A co, jeśli przy 1 dolarze za zakład wygraną byłoby 100 dolarów? Teraz nagroda może wydać się wystarczająco duża, aby zrekompensować prawdopodobieństwo przegranej. Analiza probabilistyczna wyjaśnia, jaka wartość graniczna powinna skłonić nas do gry.

Zmiennymi są oczywiście koszt gry oraz wysokość i prawdopodobieństwo wygranej. Oczekiwana wartość zakładu staje się średnią ważoną, w której możliwe wyniki (wygranej i przegranej) ważone są zgodnie z prawdopodobieństwem wystąpienia każdego z nich:

Wartość oczekiwana zakładu = (prawdopodobieństwo wygranej) × (kwota wygranej) –+ (prawdopodobieństwo przegranej) ×× (kwota przegranej)

Rozwiązanie tego równania ujawnia, ile możemy spodziewać się wygrać (lub stracić, jeśli wynik będzie ujemny) w dłuższej perspektywie, przy wielokrotnym obstawianiu. Na przykład przy 1-dolarowym zakładzie o wynik rzutu kostką i 1-dolarowej wypłacie prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1⁄6, przegranej – 5/6, a stracić lub zyskać możemy dolara. Stąd:

Wartość oczekiwana = (1⁄6) × (1$) – (5/6) × (1$) = –0,667

Jeśli więc obstawialibyśmy ten zakład wiele razy, to w dłuższej perspektywie spodziewana byłaby strata średnio około 67 centów na zakład. Podobne obliczenia z wypłatą 100 dolarów dają oczekiwaną wartość prawie 16 dolarów, co wskazuje na wyraźnie dobry zakład. Ten wzór pozwala nam także obliczyć wypłatę, zapewniającą idealne zrównoważenie zakładu, czyli gdy oczekiwana wartość w dłuższej perspektywie wynosi zero. W przypadku rzutu kostką wypłata równowagi wynosi 5 dolarów, ponieważ pięć razy większe prawdopodobieństwo przegranej niż wygranej równoważone jest przez nagrodę pięciokrotnie większą niż cena zakładu.

Obliczmy perspektywiczną wartość oczekiwaną dla Powerball. Pula zaczyna się od około 20 mln dolarów, a los kosztuje tylko 2 dolary. Szansa na główną nagrodę wynosi 1 do 292 201 338. Wartość oczekiwana wynosi więc około –1,93 dolara. Zatem zyskalibyśmy więcej, wymieniając 2 dolary płacone za los na dziesięciocentówkę.

To obliczenie dla uproszczenia pomija kilka subtelności. Po pierwsze, przyjmujemy opcję, w której wygrana jest wypłacana w 30 rosnących rocznych ratach, a nie jednorazowo (jeśli zażądamy jednorazowej wypłaty, otrzymamy tylko połowę wygranej). Po drugie, podatki spowodują, że nigdy nie zainkasujemy całości. Duża wygrana oznacza najwyższy przedział podatkowy, więc 37% zysku trafiłoby do Wujka Sama (nie obejmuje to podatków stanowych, które są różne zależnie od stanu). Powerball przyznaje również mniejsze nagrody za częściową zgodność wylosowanych liczb, ale braliśmy pod uwagę tylko pełną pulę. Jest jeszcze jedna ważna kwestia, o której będzie mowa później. Matematyczne uwzględnienie wszystkich tych szczegółów sprawi, że wartość oczekiwana będzie jeszcze mniejsza niż –1,93 dolara.

Jednak 20-milionowa pula jest niczym w porównaniu z wynoszącą 1,7 mld dolarów. Jeśli nikt nie trafi wszystkich liczb, kwota nagrody przechodzi na kolejne losowanie. A skoro pula rośnie przez kilka kolejnych tygodni, czyż nie nadchodzi moment, w którym ogromna nagroda przewyższa znikomą szansę na wygraną? Wprawdzie prawdopodobieństwo trafienia wszystkich sześciu liczb w Powerball nie zmienia się, ale cena losu nie wzrasta. Okazuje się, że zakłady przy ogromnych pulach nie tylko nadal są złe, czyli niekorzystne, ale paradoksalnie ich nieopłacalność często rośnie.

Uzyskanie dodatniej wartości oczekiwanej przy wielomiliardowej wypłacie pojawia się wtedy, gdy prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1 do 300 mln. Takie wartości pojawiają się w mediach przy okazji dużych kumulacji. Pomijany jest jednak kluczowy szczegół: szczęśliwe liczby może trafić wiele osób i podzielić się nagrodą. Należy to uwzględnić we wzorze na wartość oczekiwaną:

(prawdopodobieństwo posiadania jedynego zwycięskiego losu) × (pula) + (prawdopodobieństwo podzielenia puli z innym losem) × (połowa puli)… itd.

I tak należałoby kontynuować wzór, uwzględniając rosnącą liczbę zwycięzców i malejące części całości.

Ustaliliśmy, że wygrana na loterii jest bardzo mało prawdopodobna. Czy możliwość pojawienia się dwóch zwycięzców w jednym losowaniu nie wiąże się z dalszym zmniejszeniem szansy? Owszem, zwłaszcza gdy sprzedaje się setki milionów losów – wtedy ex aequo stają się bardziej prawdopodobne. Na przykład pierwsza ponadmiliardowa kumulacja (1,56 mld dolarów) wystąpiła w 2016 roku. Wywołała ogromny popyt – sprzedano ponad 635 mln losów (20 razy więcej niż średnio w Powerball w 2016).

Przy tak wielu losach prawdopodobieństwo trafienia szóstki przez więcej niż jednego gracza przekracza 60%! W 2016 roku główną wygraną podzieliły się trzy osoby. Gdy uwzględnimy całkowitą liczbę graczy, potrącenia podatkowe i nagrody za częściowe trafienia, to nawet ta gigantyczna pula nagród nie da dodatniej wartości oczekiwanej. Pominęliśmy podział puli w wyliczeniu przy 20-milionowej puli, bo mniejsze pule przyciągają mniej graczy, więc szanse na podział są mniejsze. Ponadto przy wartości oczekiwanej –1,93 dolara nie potrzebowaliśmy żadnego innego czynnika, aby wykazać, że jest to zły zakład.

Na marginesie: wspomniane 60% występuje przy założeniu, że liczby na kuponach są wybierane losowo, co nie do końca jest prawdą. Mimo że prawdopodobieństwo dla wszystkich sekwencji sześciu liczb loterii jest takie samo, wiele osób przy obstawianiu wybiera takie, które coś dla nich znaczą, na przykład dni urodzin lub rocznic (to skutkuje wieloma liczbami poniżej 31). Zauważa się także preferowanie liczb nieparzystych oraz innych niż wielokrotności 10 – być może dlatego, że wydają się bardziej losowe. Takie tendencje zwiększają prawdopodobieństwo podziału puli w przypadku losowań z mniejszymi, „wyglądającymi na losowe” liczbami, ale zmniejszają je przy innych wynikach losowań. Choć więc nie można zwiększyć szansy wylosowania swoich liczb, można zmniejszyć prawdopodobieństwo podziału puli, wybierając duże liczby parzyste i wielokrotności 10.

Szaleństwo zakładów osłabło po 2016 roku. W rezultacie popyt w przypadku dwóch największych kumulacji w historii loterii w USA (listopad 2022 i październik 2023) był zbyt mały, aby wartość oczekiwana okazała się dodatnia – nawet bez uwzględniania podatków i podziału puli. Czasami jednak loterie oferują to, co nazywamy tu „dobrym zakładem”. Bywa tak w przypadku mniejszych loterii stanowych, gdzie szanse na dodatnią wartość oczekiwaną są większe, bo nie jest o nich głośno i sprzedają mniej losów.

Nie polecam jednak inwestowania swoich oszczędności w najbliższej kolekturze. Mimo przyznania, że wartość oczekiwana może czasami wydawać się atrakcyjna, skoryguję to i wyjaśnię, dlaczego nadal uważam, że zakłady loteryjne są złe.

Loterie z dodatnią wartością oczekiwaną są rzadkie. Jak pokazałem, większe pule nie muszą oznaczać większej wartości oczekiwanej. A co najważniejsze, nie jesteśmy w stanie ustalić w momencie kupna zakładu, czy ta wartość jest dodatnia, ponieważ liczby sprzedanych losów nie są publikowane przed losowaniem. Tak więc, chociaż loterie mogą oferować dobre zakłady, przewidzenie, kiedy są one dobre, samo w sobie jest hazardem. Ponadto nawet jeśli można zidentyfikować dobry zakład, wartość oczekiwana może nie być najlepszym tego wskaźnikiem. Wartość oczekiwana jest bowiem przydatna w przypadku problemów średniej wielkości, takich jak rzut kostką ze 100-dolarową wygraną, ale może nie uwzględniać wszystkich istotnych elementów w tak ekstremalnych grach, jak loterie. Wówczas potencjalnie dobry zakład może okazać się złym wyborem.

Po pierwsze, dlatego że wartość oczekiwana wiąże się z wielokrotnym powtarzaniem zdarzeń losowych. Nie sposób wygrać 16 dolarów, obstawiając jeden 100-dolarowy rzut kostką. Można stracić 1 dolara albo wygrać 100. 16 dolarów to spodziewana średnia wygrana z wielu gier. Tymczasem wygrane na loterii są tak rzadkie, że w rzeczywistości tej długoterminowej średniej nigdy nie uda się osiągnąć. Po drugie, pieniądze tracą na wartości w miarę ich gromadzenia. Drugie wygrane 50 mln dolarów nie przynosi tyle radości, ile pierwsze 50 mln. Przy liczeniu wartości oczekiwanej każdy dolar traktowany jest tak samo. Podobnie wartość oczekiwana ignoruje awersję do ryzyka. Niechęć do tracenia pieniędzy jest większa niż chęć ich wygrywania. Zatem chociaż wartość oczekiwana jest idealną oceną w sensie matematycznym, nie uwzględnia aspektów psychologicznych związanych z podejmowaniem decyzji.

Teraz powróćmy do losu na loterię, który kosztuje 2 dolary. Jego nabycie nie jest inwestycją; umożliwia tylko parodniowe łudzenie się i fantazjowanie. Gremialnie dokonujemy takich lekkomyślnych wydatków, mimo że szansa zdobycia dzięki nim fortuny jest na ogół zerowa. Ale tak wydawane pieniądze nie są tracone. Z większości przychodów z loterii finansowane są usługi publiczne, na przykład edukacja. Przeprowadzono też badania, z których wynika, że nadzieje towarzyszące grze dają radość niezależnie od efektów. A zatem, chociaż nie mogę polecić loterii, bazując na matematyce, to radosne chwile w życiu warte są więcej niż matematyka. Tak przynajmniej niektórzy uważają.