125-letni problem matematyczny doczekał się przełomu
Kiedy najwybitniejszy żyjący matematyk przedstawia wizję badań na kolejne stulecie, skupia na sobie uwagę całego matematycznego świata. Dokładnie tak się stało w roku 1900 na odbywającym w Paryżu na Sorbonne Université Kongresie Matematyków. David Hilbert przedstawił wówczas 10 nierozwiązanych problemów jako ambitne tematy do podjęcia w XX wieku. Później rozszerzył tę listę do 23 problemów, a ich wpływ na rozwój matematyki w minionych 125 latach jest nie do przecenienia.
Szósty problem Hilberta był jednym z najważniejszych. Postulował „aksjomatyzację” fizyki, czyli określenie absolutnego minimum relacji matematycznych leżących u podstaw wszystkich fizycznych teorii. Właściwie nie jest jasne, czy fizycy matematyczni kiedykolwiek będą w stanie sprostać temu wyzwaniu. Hilbert wspomniał jednak o kilku specyficznych podproblemach, a naukowcy później doprecyzowali jego wizję i poczynili konkretne kroki zmierzające ku rozwiązaniu.
W marcu tego roku matematycy Yu Deng z University of Chicago oraz Zaher Hani i Xiao Ma z University of Michigan, opublikowali na serwerze preprintów arXiv.org artykuł dotyczący rozwiązania jednego z podproblemów. Jeśli ich praca przetrwa krytykę, będzie znaczącym krokiem ku matematyzacji fizyki i może otworzyć drogę do przełomów w różnych jej działach.
W artykule naukowcy wykazują, że odkryli sposób połączenia trzech teorii fizycznych wyjaśniających prawa mechaniki płynów. Teorie te mają zastosowanie w wielu dziedzinach – od projektowania samolotów po prognozowanie pogody – ale dotąd były oparte na założeniach niepopartych ścisłym dowodem. Odkrycie nie zmienia samych teorii, ale uzasadnia je matematycznie i wzmacnia pewność, że opisujące je równania są poprawne.
Każda teoria różni się stopniem wglądu w przepływ cieczy lub gazu. Na poziomie mikroskopowym płyn tworzą cząstki – minikule bilardowe odbijające się i zderzające – których trajektorie są dobrze opisane przez prawa ruchu Newtona.
Gdy jednak oddalimy się, aby rozważać zbiorowe zachowanie ogromnej liczby cząstek na tzw. poziomie mezoskopowym, wówczas modelowanie ruchu każdej z nich z osobna staje się niepraktyczne. W roku 1872 austriacki fizyk teoretyczny Ludwig Boltzmann zajął się tym problemem, opracowując równanie nazwane później jego imieniem. Zamiast śledzić zachowanie każdej cząstki, równanie Boltzmana uwzględnia prawdopodobne zachowanie typowej. Ta perspektywa statystyczna niweluje szczegóły na rzecz trendów wyższego rzędu. Równanie to pozwala fizykom obliczać zmiany takich wielkości, jak pęd i przewodnictwo cieplne w płynie, bez mozolnego rozważania wszystkich mikroskopijnych zderzeń.
Oddalając się jeszcze bardziej, znajdziemy się w świecie makroskopowym. Tutaj postrzegamy płyn nie jako zbiór dyskretnych cząstek, lecz jako pojedynczą, ciągłą substancję. Na tym poziomie funkcjonują równania Eulera i Naviera-Stokesa, które dokładnie opisują ruch płynów i relacje między ich właściwościami fizycznymi, bez odwoływania się do cząstek.
Wszystkie trzy poziomy opisują to samo podstawowe zjawisko – ruch płynu. Zasadniczo każda teoria powinna bazować na teorii znajdującej się niżej w hierarchii: makroskopowe równania Eulera i Naviera-Stokesa powinny logicznie wynikać z mezoskopowego równania Boltzmanna, które z kolei powinno logicznie wynikać z mikroskopowych praw ruchu Newtona. Ta relacja jest rodzajem aksjomatyzacji, którą postulował Hilbert w szóstym problemie, odwołując się w szczególności do prac Boltzmanna nad gazami. Oczekujemy, że kompletne teorie fizyczne będą zgodne z regułami matematycznymi, które wyjaśniają zjawisko od poziomu mikroskopowego do makroskopowego. Jeśli naukowcy nie zdołają wypełnić tej luki, może to sugerować złe pojmowanie istniejących teorii.
Ujednolicenie trzech ujęć dynamiki płynów było trudnym wyzwaniem, ale być może Deng, Hani i Ma właśnie tego dokonali. Ich osiągnięcie bazuje na dekadach wcześniejszych odkryć. Wszystkie one były jednak uzupełnione jakimś zastrzeżeniem. Na przykład dotyczyły tylko krótkich okresów, występowały wyłącznie w próżni lub w innych specyficznych warunkach.
Nowy dowód składa się z trzech kroków: wyprowadzenia teorii makroskopowej z mezoskopowej, wyprowadzenia teorii mezoskopowej z mikroskopowej, a następnie połączenia ich w jedno wyprowadzenie praw makroskopowych z praw mikroskopowych.
Pierwszego kroku dokonywano już wcześniej, w czym miał też udział Hilbert. Wyprowadzenie praw mezoskopowych z mikroskopowych było jednak znacznie trudniejsze matematycznie. Należy pamiętać, że środowisko mezoskopowe dotyczy zbiorowego zachowania ogromnej liczby cząstek. Deng, Hani i Ma analizowali równania Newtona w sytuacji, gdy liczba zderzających się i odbijających cząstek rośnie do nieskończoności, a ich rozmiar maleje do zera. Udowodnili, że gdy obejmie się równaniami Newtona te skrajności, to statystyczne zachowanie układu – lub prawdopodobne zachowanie typowej cząstki płynu – będzie odpowiadać równaniu Boltzmanna. Ten krok umożliwia przejście od matematyki mezoskopowej do mikroskopowej w ekstremalnej sytuacji.
Główną przeszkodą na tym etapie był czas modelowania równań. Matematycy wiedzieli, jak wyprowadzić równanie Boltzmanna z praw Newtona w skrajnie krótkich skalach czasowych. Jednak to nie spełnia tzw. programu Hilberta, ponieważ ruch rzeczywistych płynów może trwać dowolnie długo. Dłuższe skale czasowe wiążą się ze zwiększoną złożonością: dochodzi do większej liczby zderzeń, a cały proces zachowania się cząstek może mieć wpływ na ich bieżące zachowanie. Autorzy pokonali tę przeszkodę, starannie analizując wpływ historii cząsteczki na jej teraźniejszość i wykorzystując nowe techniki matematyczne w celu wykazania, że wpływ skumulowanych efektów wcześniejszych zderzeń pozostaje niewielki.
Połączenie ich przełomowego odkrycia w długiej skali czasowej z wcześniejszymi pracami nad wyprowadzeniem równań Eulera i Naviera-Stokesa z równania Boltzmanna prowadzi do unifikacji trzech teorii dynamiki płynów. Odkrycie to uzasadnia przyjmowanie różnych perspektyw dotyczących dynamiki płynów na podstawie tego, co jest najbardziej przydatne w danym kontekście, ponieważ matematycznie zbiegają się one w jednej ostatecznej teorii opisującej tę samą rzeczywistość. Jeśli dowód jest poprawny, otwiera to nowe możliwości przed programem Hilberta. Możemy mieć tylko nadzieję, że dzięki takiemu świeżemu podejściu wyzwania postawione przez Hilberta w dziedzinie fizyki będą coraz częściej podejmowane.