J23 i inne, czyli o liczbach jedynkowych

Liczby całkowite dodatnie złożone z jednakowych cyfr nie stanowią w matematyce odrębnej, specyficznej grupy, jak choćby liczby pierwsze, doskonałe lub Fibonacciego. Ciąg takich liczb, zwanych monocyfrowymi lub częściej z angielska repdigitami, zaczyna się kompletem cyfr od 1 do 9, po których następują komplety duetów (od 11 do 99), tercetów (od 111 do 999), kwartetów (od 1111 do 9999) itd.

Niektóre z nich są dobrze znane w kontekście niematematycznym, jak choćby 666 – biblijna apokaliptyczna liczba Bestii, 44 – liczba mickiewiczowska z „Dziadów”, 22 – w tytule głośnej powieści Josepha Hellera „Paragraf 22”, 777 – typ Boeinga, czy 999 – numer telefonu pogotowia ratunkowego. Natomiast w matematyce pojawiają się przy okazji omawiania innych zagadnień lub w zadaniach. Określone są wzorem: (xx…x)=x(10ⁿ-1)/9, gdzie 1≤x≤9, a n jest liczbą cyfr repdigitu. Ten wzór stanowi potwierdzenie ich oczywistej cechy – „źródłem” każdej jest liczba zwana jedynkową lub repunitem, czyli złożona z samych jedynek, a takie obiekty stanowią już w teorii liczb wyróżnioną grupę, której własności badane są od XVIII wieku. Właśnie one są głównymi bohaterkami tego tekstu, ale zaczniemy od repdigitów.

Jaka jest najmniejsza monocyfrowa wielokrotność 13, czyli jakie powinno być y, aby w równaniu 13y=(xx…x) liczba (xx…x) była minimalna? Szukając odpowiedzi, wystarczy zauważyć, że jeżeli to równanie jest spełnione dla jakiegoś x>1, to spełnia je także x=1, ponieważ 13 jest liczbą pierwszą. Stąd (xx…x) musi być liczbą jedynkową, a ostatnią cyfrą liczby y jest 7. Pozostaje sprawdzić, z ilu jedynek wystarczy skorzystać. Okazuje się, że z sześciu: 111111=13×8547.

Sprawdzanie trwałoby znacznie dłużej przy szukaniu monocyfrowych wielokrotności większych liczb pierwszych. Na przykład dla 97 liczba y (94-cyfrowa) pojawiłaby się dopiero przy 96 jedynkach. Najmniejsze wielokrotności liczb dwu- i więcejcyfrowych są jedynkowe nie tylko dla liczb pierwszych, ale także dla niektórych iloczynów liczb pierwszych, na przykład dla 39 (6 jedynek), 57 (18), 93 (15), 121 (22), 129 (21), 133 (21), … . Najmniejsze repdigity niejedynkowe, z tworzącym każdy mnożeniem, są następujące (indeks dolny oznacza liczbę cyfr w repdigicie, czyli np. 8₆=888888): 2₆=14×15873, 3₁₆=51×65 359 477 124 183, 4₃=12×37, 5₃=15×37, 6₃=18×37, 7₃=21×37, 8₆=56×15873, 9₃=27×37. Charakterystyczny jest powtarzający się w prawie wszystkich działaniach mnożnik 37 (15 873 to także wielokrotność 37), ale wyjaśnienie jego obecności to łatwa zagadka. Są też liczby, które dla żadnego y nie dają repdigitów. To oczywiście wszystkie zakończone zerem, a także wielokrotności 16 i 25.

Czy liczba monocyfrowa może być potęgą, pomijając jednocyfrowe (1, 4, 8, 9)? Innymi słowy, czy równanie (xx…x)=b^c ma rozwiązania?

Łatwo wykluczyć kwadraty, a więc także wszystkie parzyste potęgi. Wystarczy sprawdzić, które spośród 23 dwucyfrowych końcówek kwadratów składają się z pary jednakowych cyfr. Okazuje się, że taka końcówka jest tylko jedna – …44 (pomijamy …00), więc tylko liczby czwórkowe podejrzane są o kwadratowość. Gdyby jednak któraś z nich była kwadratem, to byłaby nim także czterokrotnie mniejsza liczba jedynkowa, a to niemożliwe.

Dowód, że żaden repdigit nie może być także potęgą nieparzystą, przez długi czas stanowił wyzwanie. Uporał się z nim dopiero w latach 70. fiński teoretyk liczb Kustaa Inkeri przy okazji studiowania ogólniejszego zagadnienia, dotyczącego różnych systemów liczbowych. Natomiast w roku 1999 francuscy matematycy Yann Bugeaud i Maurice Mignotte w inny sposób udowodnili, że potęgą nie może być żadna liczba jedynkowa.

Liczbami jedynkowymi jako pierwszy bliżej zainteresował się szwajcarski astronom i matematyk Johann III Bernoulli (uczonych o takim imieniu i nazwisku było trzech, stąd po imieniu podawana jest „po królewsku” liczba rzymska). Efektem była opracowana w 1771 roku pierwsza wersja listy z rys. 1, zawierającej rozkłady 30 repunitów na czynniki pierwsze (symbole J_x oznaczają liczby złożone z x jedynek, czyli np. J₇=1111111). Były na niej błędy, a pierwszości wielu dużych czynników autor nie był pewien. Mimo to ustalił, że 7-cyfrowa liczba 5882353 jest pierwszą, co w epoce gęsiego pióra i liczydeł należy uznać za nie lada wyczyn. Warto przypomnieć, że największą znaną wówczas oficjalnie liczbą pierwszą była od blisko 200 lat 6-cyfrowa siódma liczba Mersenne’a – 2¹⁹–1=524 287. Dopiero w 1772 r. Euler odkrył ósmą – 10-cyfrową (2³¹–1=2 147 483 647).

Lista Bernoulliego stanowiła podsumowanie publikacji poświęconej szukaniu dzielników dużych liczb jedynkowych, w której jednak takie liczby wprost się nie pojawiały. Zamiast nich była mowa o sumach n początkowych wyrazów ciągu 1, 10¹, 10², 10³, … , 10^t. Publikacja ta była też bezpośrednio związana z innym artykułem Bernoulliego – o dziesiętnych ułamkach okresowych, a ściślej o sposobie ustalania długości okresu właśnie w oparciu o wspomnianą listę rozkładu repunitów.

Ułatwienie w tworzeniu przez Bernoulliego listy stanowił prosty do zauważenia fakt, że aJ_x=J_ax (a=2, 3, 4 …), czyli każdy repunit a razy dłuższy od innego jest od niego a razy większy. Zatem w rozkładzie repunitu złożonego z ax jedynek powtórzą się czynniki pierwsze z rozkładu J_x. Stąd w rozkładzie wszystkich repunitów J_3x powtarzają się czynniki z rozkładu J₃ – 3 i 37, zaś w rozkładzie J₁₂ są wszystkie czynniki z rozkładów J₂, J₃, J₄ i J₆ (3, 7, 11, 13, 37, 101); pozostaje jako ostatni nowy czynnik – 9901. Przy okazji warto zauważyć, że ilorazy z dzielenia J₁₂ przez kolejne czynniki są przykładem pojawiających się w trakcie działań na liczbach jedynkowych urokliwych układów „symetrycznych” liczb (rys. 2).

Jeśli liczba jedynek tworzących repunit jest liczbą pierwszą większą od trzech (J_x=J_p, p>3), można skorzystać z innego ułatwienia jego rozkładu na czynniki pierwsze. To zależność wyrażona wzorem, określającym wartość każdego dzielnika takiego repunitu: 2kp+1 (k=1, 2, 3,…). Jednak przy długich liczbach jedynkowych to ułatwienie nie na wiele się przydaje. Na przykład, łowy na możliwie mały dzielnik kolejnej liczby jedynkowej w tabeli Bernoulliego na rys. 1, czyli J₃₁, mogą obejmować tylko liczby pierwsze wyrażone wzorem 62k+1, ale przed upolowaniem właściwej pudłuje się przy tuzinie mniejszych o takim wzorze – od 311 (k=5) do 2729 (k=44). Trofeum pojawia się dopiero przy k=45 – jest to dzielnik 2791. Niestety, wynik dzielenia J₃₁ przez 2791 okazuje się 27-cyfrową liczbą półpierwszą, której rozkład na dwa czynniki pierwsze bez wsparcia komputerowego jest już praktycznie niemożliwy.

A skoro była mowa o łowach, to wypada wspomnieć o tych największych prowadzonych w lesie repunitów, których celem są liczby pierwsze. W tabeli Bernoulliego znajdują się trzy – wyróżnione kolorem (rys. 1) – J₂, J₁₉ i kojarzący się z serialowym agentem J₂₃. Przez ponad 200 lat znany był tylko ten tercet. Dopiero w latach 80. rozpoczęło się komputerowe polowanie, a w roku 2021 padł jedenasty „jedynak”, więc dawny tercet powiększył się o oktet: J₃₁₇, J₁₀₃₁, J₄₉₀₈₁, J₈₆₄₅₃, J₁₀₉₂₉₇, J₂₇₀₃₄₃, J_5794777, J_8177207 (ostatni to rządek zapisanych drobnym maczkiem jedynek o długości ponad 8 km). Warto zauważyć, że x, czyli liczba jedynek w każdym z tych repunitów także jest liczbą pierwszą, ale dotycząca repunitów odwrotna zależność – jeśli x jest liczbą pierwszą, to jest nią także J_x – oczywiście nie występuje.

Każda liczba pierwsza p – oprócz 2 i 5 – jest dzielnikiem jakiegoś repunitu. Ogólnie, ale konkretnie: liczba p jest zawsze dzielnikiem J_p-1. Potwierdza to lista na rys. 1, a uzasadnieniem jest małe twierdzenie Fermata: jeśli liczba pierwsza p nie jest dzielnikiem liczby a, wówczas a^p–1–1 dzieli się przez p. Zgodnie z tym twierdzeniem liczba 10^p–1–1=9×J_p–1 jest podzielna przez p>5. Zatem większy od 5 czynnik pierwszy p liczby 10^p–1–1 jest także czynnikiem pierwszym J_p–1, a długość okresu ułamka 1/p równa jest p–1. Inaczej mówiąc, długość okresu ułamka 1/p (p>5) równa jest liczbie jedynek w najmniejszym repunicie podzielnym przez p.

W praktyce określenie długości okresu dowolnego ułamka dziesiętnego odpowiadającego ułamkowi zwykłemu m/n sprowadza się do rozkładu n na czynniki pierwsze, ale z pominięciem 2, 3 i 5 (np. n=2024=[2³×]11×23), a następnie znalezieniu w tabeli na rys. 1 najmniejszego repunitu, w którego rozkładzie są te czynniki pierwsze (11 i 23). Jest nim poprzednik Hansa Klossa – J₂₂, a więc okres ułamka m/2024 liczy 22 cyfry. Kto ma wątpliwości, może sprawdzić, przyjmując dowolne m, bo wartość licznika nie wpływa na długość okresu.

Wśród repunitów J_x, w których x jest liczbą pierwszą, jedynym podzielnym przez x jest J₃ (ale nie jedynym, jeśli x jest liczbą złożoną, np. J₉ dzieli się przez 9). W pozostałych przypadkach dana liczba pierwsza p>5 jest zawsze dzielnikiem J_p–1. W tabeli na rys. 1 łatwo też zauważyć inną „pierwszą” cechę: w rozkładzie repunitu J_x nie występuje ani jeden taki sam czynnik jak w rozkładzie J_x–1, ani w rozkładzie J_x+1. Inaczej mówiąc, każde dwa sąsiednie repunity są względnie pierwsze. Gdyby było inaczej, to różnica między dwoma kolejnymi repunitami byłaby podzielna przez liczbę pierwszą większą od 5, a to niemożliwe, bo jest równa 10ⁿ.

Na zakończenie jeszcze jeden liczbowy „obrazek” z repunitami (rys. 3), pochodzący z poświęconej matematyce rekreacyjnej kultowej książki Szczepana Jeleńskiego „Lilavati”, wydanej po raz pierwszy w 1926 roku, a więc w czasach, gdy repdigitami i repunitami nikt się bliżej nie interesował.

Zadania

1. 11 jest jedynym repunitem, którego kwadrat (121) można zapisać jako sumę dwóch repdigitów – i to na cztery sposoby: 22+99, 33+88, 44+77, 55+66. Kwadraty których dwu innych liczb dwucyfrowych także można zapisać w postaci sumy dwóch repdigitów?

2. Ile wynosi reszta z dzielenia repunitu J₂₀₂₃ przez 43?

3. Repunit J₄, czyli 1111 należy zapisać jako działanie zawierające tylko jeden rodzaj cyfry użytej jak najmniej razy. Wolno korzystać z sześciu rodzajów działań (cztery podstawowe, potęga i pierwiastek kwadratowy) oraz nawiasów, ale liczby w działaniu mogą być co najwyżej 3-cyfrowe. Przykład (daleki od ideału) z jedenastoma trójkami:

(3³+333)×3+3³+3+3/3=1111.

4. W zapisie mnożenia (rys. 4) większość cyfr zastąpiono pustymi kratkami; ujawnione są tylko wszystkie jedynki. Należy rozszyfrować działanie.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 09/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Factfulness. Dlaczego świat jest lepszy niż myślimy Hansa Roslinga ufundowaną przez wydawnictwo Media Rodzina. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru lipcowego

1. Działania w wierszach (od góry): 8-7+5=6, 4:2×6=12, 3–1×9=18; działania w kolumnach (od lewej): 8–4+3=7, 7×2:1=14, 5×6–9=21

2. Dwa rozwiązania na rys. 5. W zadaniu zabrakło warunku: hetman nie może przechodzić dwukrotnie tą samą trasą (ale może przez to samo pole). Bez tego warunku wszystkich rozwiązań jest siedem. Wystarczyło znaleźć jedno.

3. Rozwiązanie na rys. 6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Sztuczna Inteligencja 2041. 10 wizji przyszłości Kai-Fu Lee i Chena Quifana, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS, otrzymują: Robert Galiński z Holeszowa, Ewa Puciata i Janusz Wojtal z Warszawy, Waldemar Walczak z Krakowa, Rafał Zorychta z Janowic.

***

Odpowiedź na zagadkę ze strony 74

Łatwo ustalić, że „Umysłem giętkim” zajmuję się od okrągłych… 200 lat, jeśli długość tego okresu podamy w systemie trójkowym i oczywiście z przymrużeniem oka. mp

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”