Marek Penszko: Umysł prawdziwie giętki

Elżbieta Wieteska: – Zacznijmy może od tego, czym właściwie jest matematyka rekreacyjna.

Marek Penszko: – Z definicją może być kłopot. Pojęcie to funkcjonuje u nas od niedawna. Stanowi kalkę językową angielskiego recreational mathematics i brzmi jakby dostojniej niż tradycyjne określenie „rozrywki matematyczne”. Najprościej byłoby stwierdzić, że jeśli zajmujemy się jakimś zagadnieniem matematycznym dla przyjemności, dla relaksu, to mamy do czynienia z matematyką rekreacyjną. Ale takie subiektywne podejście trudno uznać za definicję. Sensowne wydaje się nawiązanie do sportu rekreacyjnego, którego charakterystyczną cechą jest przystępność. Zatem matematyka rekreacyjna obejmuje zagadnienia matematyczne, które z założenia są adresowane do szerokiego grona odbiorców jako forma rozrywki umysłowej, wymagającej poza umiejętnością wyciągania wniosków tylko podstawowej wiedzy matematycznej. Granica nie jest wyraźna, bo zależy od przeznaczenia konkretnego zadania czy problemu, który może trafić do zbioru łamigłówek – wówczas jest rozrywką – albo do podręcznika matematyki, a wtedy wymaga poważnego traktowania w ramach edukacji.

A jakie były początki twoich „rekreacji matematycznych”?
Właściwie były dwa. Pierwszy wiąże się z dwiema książkami, w których zaczytywałem się jako nastolatek. To Lilavati i Śladami Pitagorasa autorstwa Szczepana Jeleńskiego – wspaniałe zbiory rozrywek matematycznych, wydane po raz pierwszy przed blisko 100 laty, a po wojnie kilkakrotnie wznawiane. Nie tylko się w nich zaczytywałem, ale też, niestety, bazgrałem na marginesach rozwiązania.

Potem, będąc studentem Politechniki Warszawskiej, współpracowałem z kilkoma czasopismami, wymyślając różne rodzaje rozrywek umysłowych, głównie krzyżówki. Interesowałem się także „łamańcami” słowno-literowymi, zwłaszcza palindromami, a to doprowadziło do drugiego początku, czyli odkrycia Martina Gardnera, trafiłem bowiem na zamieszczony w „Scientific American” jego artykuł o tych „biegnących z powrotem” słowach, wyrażeniach i liczbach. Znalazłem go w poświęconej matematyce rekreacyjnej rubryce Mathematical Games, którą Gardner zainaugurował w 1956 roku. Dział ten mnie zafascynował, więc zacząłem śledzić go na bieżąco. Potwierdzam opinię, że Gardner pozostaje do dziś niedoścignionym mistrzem prezentowania matematyki rekreacyjnej. Powiedzieć, że pisał bardzo atrakcyjnie – to mało. Być może najlepiej byłoby określić jego teksty po prostu jako niezwykle wciągające. Czuło się, że powstawały z pasją, którą łatwo było się zarazić. Stanowiły matematyczną eseistykę najwyższej próby opartą na swego rodzaju „magicznej formule”. Następstwem tego był masowy odzew czytelników w postaci setek listów w reakcji na niemal każdy artykuł.

Można więc powiedzieć, że fascynacja Gardnerem doprowadziła cię do Umysłu giętkiego.
Tak, ale oczywiście nie bezpośrednio. Na początku lat 70. redagowałem rubryki rozrywek matematycznych w kilku pismach, m.in. w dzienniku „Sztandar Młodych”, a w roku 1974 przejąłem po Lechu Pijanowskim dział Gry logiczne w miesięczniku „Problemy”. Wkrótce też zaczęła się trwająca kilkanaście lat moja korespondencja z Gardnerem. Poczytuję sobie za zaszczyt, że jedno z moich zadań, które mu przesłałem, stało się podstawą jego artykułu z zakresu tzw. matematyki szachowej.

Czy każdy problem matematyczny da się przedstawić w postaci dostosowanej do wymogów matematyki rekreacyjnej?
Są zagadnienia lekkie, łatwe i przyjemne niejako z natury, często goszczące w popularnych publikacjach matematycznych, jak choćby we wspomnianej Lilavati. Można tu wymienić proste gry, kwadraty magiczne, osobliwości liczbowe i sofizmaty, labirynty, wstęgę Möbiusa, proste parkietaże, polimino, tangram czy niektóre ciągi liczbowe. Są też takie tematy, w których pierwiastek zabawowy odgrywa istotną rolę, ale które wnikliwiej potraktowane proste nie są, więc aby zainteresować czytelnika, autor musi się bardzo postarać albo po prostu nie wchodzić na wyboisty teren.

Do szerzej znanych tego rodzaju wieloaspektowych łamigłówek należą kostka Rubika i sudoku. Obie mogą być i z reguły są zabawą, ale równocześnie pierwsza wiąże się ze skomplikowaną teorią grup, a druga z nie mniej zawiłymi technikami rozwiązywania, od których stronią autorzy zadań, aby nie odstraszać nabywców pisemek zadrukowanych diagramami 9×9. I wreszcie są tematy, obejmujące rozległe obszary matematyki wyższej, jak choćby analiza matematyczna, których do rozrywkowych zdecydowanie zaliczyć się nie da i w żaden sposób nie można ich takimi uczynić – chyba że uznamy je za relaksowe dla niektórych matematyków.

Skoro dział Mathematical Games cieszył się takim uznaniem i powodzeniem, to jak wytłumaczyć rezygnację Gardnera w 1981 roku z prowadzenia tego działu?
Gardner nie był matematykiem, ale wyrósł na guru matematyki rekreacyjnej w pewnym stopniu także dzięki temu, że pisał o sprawach względnie prostych. Większość jego artykułów z lat 50. i 60. dotyczyła „samograjów”, przystępnych dla maluczkich. Później o takie tematy było coraz trudniej i pojawił się inny Gardner – rozrywkowy raczej dla wybrańców. Różnica jest bardzo widoczna, jeśli porówna się pierwsze teksty z ostatnimi, z końca lat 70. Odzew czytelników wyraźnie osłabł, a autor nie czuł się już najlepiej w nowej roli i – jak mi pisał – coraz trudniej było mu znaleźć atrakcyjny temat. Stało się to jedną z przyczyn jego rezygnacji, ale oficjalnym powodem była praca nad książką dotyczącą zagadnień filozoficznych. Mimo to matematyczne teksty Gardnera ukazywały się nadal sporadycznie w różnych czasopismach, gdy mistrz trafiał na jakiś nowy, chwytliwy temat.

Dział poświęcony matematyce rekreacyjnej nie zniknął jednak z łamów „Scientific American”, a gdy w roku 1991 pojawiła się polska edycja, zaczął gościć także w „Świecie Nauki”.
Istotnie, kontynuatorów rubryki Gardnera, która w kolejnych latach nieco zmieniała charakter i tytuł, było czterech – Douglas Hofstadter, A. K. Dewdney, Ian Stewart i Dennis Shasha – wszyscy znakomici, ale inaczej; Gardnerowi nie dorównywali, co zresztą sami podkreślali. Koniec końców w roku 2004 rekreacyjna rubryka zniknęła z łamów pisma, a zatem także ze „Świata Nauki”. Wkrótce jednak w polskiej edycji pojawiła się jej kontynuacja – Umysł giętki. Prowadzenie tego działu zaproponowała mi ówczesna redaktor naczelna Joanna Zimakowska. To był dobry moment, bo „Problemy” z Grami logicznymi od dawna już nie istniały (miesięcznik zakończył żywot w połowie roku 1993), a w roku 2003 z mojego działu łamigłówkowego, czyli z Puzelandu, zrezygnowała po 13 latach „Wiedza i Życie” [wznowiła go w latach 2006–2011 i ponownie od roku 2020 – przyp. red.], zaś rok później rozstałem się po siedmioletniej współpracy z „Gazetą Wyborczą”.

Umysł giętki zadebiutował w „Świecie Nauki” w maju 2005 roku artykułem dotyczącym nowej wersji klasycznego zadania o przeprawie przez rzekę dwumiejscową łódką trzech „pasażerów” – wilka, kozy i kapusty – pod nadzorem przewoźnika pilnującego, by nie doszło ani do konsumpcji kozy przez wilka, ani kapusty przez kozę. W nowej wersji było więcej pasażerów, nieco większa łódka i dodatkowe kłopoty. Temat był, jak u wczesnego Gardnera, teoretycznie dość prosty. W kolejnych tekstach starałem się utrzymywać ten poziom trudności, licząc na szersze grono czytelników, tym bardziej że, podobnie jak Gardner, nie jestem matematykiem. Czasem jednak zdarzało mi się sięgać po nowe dla mnie, dość trudne tematy, a wtedy zwykle mozolnie pokonywałem matematyczne zawiłości, by potem opisać je w możliwie prosty sposób.

A jakie były początki Łamibloga?
Wiosną 2005 roku świat zaczęło podbijać sudoku, które dla mnie nie było nowością. Od ośmiu lat zamieszczałem takie zadania w Puzelandzie pod nazwą „9 po 9”. W roku 2005 zwróciłem uwagę redakcji „Polityki” na zbliżającą się modę. W rezultacie na łamach tego tygodnika pojawił się wyprzedzający sudokową epidemię cykl zadań. Zapoczątkowało to moją współpracę z „Polityką”, co zaowocowało dwoma zbiorkami łamigłówek, Ligą Intelektu – cyklicznym konkursem zadań logicznych na łamach tygodnika, oraz właśnie Łamiblogiem. Wreszcie w roku 2010 z wydawnictwa wyjechał Omnibus – zbiór różnego rodzaju rozrywek umysłowych, zdecydowanie odbiegający od typowych zestawów krzyżówkowo-sudokowych. Okazał się strzałem w dziesiątkę, więc wydawca postanowił uczynić go cykliczną pozycją ukazującą się latem, a czasem także zimą. W tym roku pojawił się numer 19.

Czy matematyka rekreacyjna nadal się rozwija? Czy jest tak atrakcyjna jak kiedyś? W dobie komputerów, mediów społecznościowych, sztucznej inteligencji? A może to dla niej szansa?
Pojawiają się oczywiście nowe tematy, ale jednak znacznie rzadziej, niż było to dawniej, choćby w czasach Gardnera, który inspirował rzesze czytelników. Wydawanych jest dużo książek i innych publikacji dotyczących „lekkiej” matematyki, ale bardzo trudno trafić w nich na coś oryginalnego. Czasem odnoszę wrażenie, że pozostało tylko powielanie tematów, których zasób się wyczerpał. Wprawdzie ich atrakcyjność nie zmalała, ale grono zainteresowanych zdecydowanie się zmniejszyło. Po prostu tempo życia nie sprzyja skupianiu się nad jakimś ciekawym, ale niekoniecznie prostym zagadnieniem czy zadaniem.

Źródłem nowości jest głównie grono entuzjastów twórczości Gardnera, którzy spotykają się na organizowanym co dwa lata w Atlancie sympozjum zwanym w skrócie G4G (Gathering for Gardner), prezentując oryginalne pomysły i uzupełniając tematy, o których pisał mistrz. Żałuję, że nie mogłem być obecny na pierwszym z tych spotkań w 1993 roku, na które otrzymałem zaproszenie, ani na żadnym z kolejnych.

Inwazja komputerów spowodowała rozwój działu matematyki rekreacyjnej, który można by nazwać programowaniem rekreacyjnym. Krótko mówiąc, chodzi o zastąpienie rozwiązywania trudnej obliczeniowo łamigłówki rozwiązującym ją możliwie prostym algorytmem, czyli w praktyce programem. Spektakularnym przykładem tego trendu jest strona Projekt Euler (https://projecteuler.net/).

Czy w dziedzinie matematyki rekreacyjnej panuje duża konkurencja? Czy dużo osób zajmuje się wymyślaniem zadań, łamigłówek? Czy nadal przoduje Japonia?
O konkurencji trudno mówić, bo zajmowanie się matematyką rekreacyjną nie oferuje żadnych istotnych profitów. To hobby nie tylko dla czytelników, ale też dla autorów. Jestem więc właściwie hobbystą, który z pisania o rozrywkowych aspektach matematyki ma – co prawda nie tylko, ale jednak przede wszystkim – satysfakcję. Profesjonalnych wymyślaczy i popularyzatorów łamigłówek jest na świecie mniej więcej pół setki. Większość z nich redaguje działy rozrywek umysłowych w prasie lub jest autorami zbiorków zadań. Nieprofesjonalistów, którzy głównie rozwiązują, ale czasem coś układają i prezentują na przykład na swojej stronie internetowej, jest oczywiście znacznie więcej, podobnie jak autorów lekkich publikacji matematycznych, które można uznać za rekreacyjne. Raz na kilkadziesiąt lat zdarza się, że niektórzy profesjonaliści robią na łamigłówkach dużą kasę, jak w przypadku twórcy magicznej kostki Ernö Rubika czy „odkrywcy” sudoku Wayne’a Goulda i niektórych jego epigonów.

Japonia wciąż dominuje w łamigłówkowym światku, a główną siłę napędową stanowi tokijska firma Nikoli – wydawca czasopism i książek zadrukowanych różnymi rodzajami zadań.

Czy istnieją jakieś czasopisma, portale poświęcone matematyce rekreacyjnej – przy czym nie chodzi mi o proste zbiory łamigłówek. I jak rzecz ma się w Polsce?
Stron internetowych w różnych językach, poświęconych szeroko pojętej matematyce rekreacyjnej, jest dużo. Dominują anglojęzyczne, a wśród nich wiodącym jest założony przez Alexandra Bogomolnego (1948–2018) portal Cut-the-Knot http://cut-the-knot.org/. Znacznie gorzej wygląda sprawa ze specjalistycznymi czasopismami, których wydawanie w większości przypadków okazuje się nieopłacalne, więc ich żywot bywa krótki. Na uwagę zasługują przede wszystkim dwa pionierskie periodyki amerykańskie: „Recreational Mathematics Magazine” (1961–1964) i znacznie bardziej odporny na komercję niemal półwiekowy „Journal of Recreational Mathematics” (1968–2014). W Polsce w dużym stopniu ich odpowiednikiem był „Magazyn Miłośników Matematyki” (2002–2010). Wiele czasopism popularnonaukowych, dotyczących nauk ścisłych, poświęca część swoich łamów matematyce rekreacyjnej. U nas to przede wszystkim miesięcznik „Delta”.

Czy profesjonalni matematycy interesują się matematyką rekreacyjną?
Oczywiście nie wszyscy, ale niektórzy matematycy czynią to z zapałem. Wszyscy, którzy redagowali opuszczoną przez Gardnera rubrykę w „Scientific American”, byli wszak matematykami. Można by wymienić jeszcze wiele znanych nazwisk, poczynając od Leonharda Eulera, a kończąc na kilkunastu współczesnych, wśród których znalazłby się na przykład pionier informatyki Donald Knuth, autor sążnistego dzieła Selected Papers on Fun & Games. Zdecydowanie najbardziej płodnym w tej dziedzinie jest brytyjski matematyk Ian Stewart, autor kilkunastu książek, dotyczących matematyki rekreacyjnej, wydanych także w Polsce.

Czy matematyka rekreacyjna znalazła kiedyś zastosowanie w praktyce?
Jeśli chodzi o praktyczne zastosowanie matematyki rekreacyjnej, to tak na gorąco przychodzi mi na myśl jeden zabawny przykład. W roku 1973 angielski matematyk Roger Penrose odkrył dwie figury, którymi można pokryć płaszczyznę tak, aby utworzona mozaika była nieokresowa. Chodzi o to, że jeśli wybrać dwa dowolne, ale identyczne fragmenty A i B takiej dowolnie dużej mozaiki, a potem mozaikę skopiować i nałożyć kopię na oryginał tak, aby fragment A na kopii pokrył fragment B na oryginale, to nigdzie indziej części mozaiki się nie pokryją. Odkrycie Penrose’a było szeroko komentowane ze względu właśnie na jego rekreacyjny aspekt, a pod koniec lat 90. ta niezwykła mozaika pojawiła się jako wytłoczenie na… papierze toaletowym. Powód był prosty: wytłoczenie pozwala zmniejszyć długość papieru w rolce przy zachowaniu jej średnicy, zaś nieokresowy wzór niweluje nierówności, czyli polepsza estetykę – wszystko to przekłada się na zysk.

Czy nigdy nie żałowałeś, że nie wybrałeś studiów matematycznych?
Czasem zdarzało mi się żałować, gdy miałem kłopot ze zrozumieniem jakiegoś zagadnienia. Ale generalnie mat’ematyka „poważna” i rekreacyjna to różne światy, mimo że w wielu obszarach się przenikają. Przypomina mi się w związku z tym przypadek mojej znajomej, która w szkole średniej pasjonowała się matematyką rekreacyjną i zdała na wydział matematyki UJ. Po kilku miesiącach studiowania przerażona zatelefonowała do mamy, żaląc się: „Mamo, co to za matematyka, tu nie ma żadnych liczb!”.

Wiem, że prócz matematyki masz inne pasje – góry, sport, rower. Czy one przeszkadzają, czy pomagają w uprawianiu matematyki, pozwalając utrzymać tak „giętki” umysł?
Sport to chyba za dużo powiedziane. Lubię chodzić po górach i jeździć na rowerze. Mieszkam w Szczawnicy, więc okolica sprzyja tym zajęciom. Jestem też fanem ping-ponga, który trenowałem przed laty i z zapałem grywam w niego nadal. Ruch, zwłaszcza na łonie natury, oczywiście korzystnie wpływa na główkowanie, nie tylko matematyczne.

Wiele osób nie lubi matematyki, uważa ją za trudną, nudną (a nawet niepotrzebną) – sam termin „matematyka rekreacyjna”, to, jak podejrzewam, dla niektórych oksymoron. Czy nie sądzisz (ja na przykład tak myślę), że rozwiązywanie zadań trzeba po prostu ćwiczyć, podobnie jak biegi, skoki czy pływanie, aby najmniejsze nawet początkowe sukcesy dawały zapał?
Oczywiście masz rację. Ćwiczenie czyni mistrza, a ćwiczy się tym chętniej, im jest to przyjemniejsze. W ludzkiej naturze leży potrzeba rozwiązywania zagadek, choć nie u wszystkich jest ona równie silna. Matematyka rekreacyjna stymuluje tę potrzebę, proponując rozważanie nie zawsze prostych zagadnień w lekkiej, ciekawej formie albo kusząc osobliwościami z bogatego matematycznego panopticum. Zaś podążanie ścieżkami logicznego myślenia, a zwłaszcza pokonywanie przeszkód, na które się trafia podczas tej wędrówki, daje wielką satysfakcję. Kto raz doświadczy tej przyjemności, ten będzie jej później szukał także w obszarach nauki nieuchodzących za rekreacyjne albo rekreacyjnych inaczej. Reasumując, warto powtórzyć za Blaise’em Pascalem: „Matematyka jest nauką na tyle ważną, że nie należy tracić żadnej okazji, aby uczynić ją nieco zajmującą”.

***

Zagadka
Okrągła rocznica

Na początku padła liczba 18, która w związku z pełnoletniością jest jakby przełomowa, ale nie jest okrągła. Można ją jednak „zaokrąglić”. Otóż 18 jest w pewnym systemie innym niż dziesiętny liczbą zakończoną dwoma zerami. O który system liczbowy chodzi? To łamigłówka, która mieści się w zakresie matematyki rekreacyjnej, choć jest odrobinę nietypowa, bo wykracza poza system dziesiętny, a także wymaga nie tyle łamania głowy, ile znajomości sposobu konwersji z systemu dziesiętnego na inne oraz w niewielkim stopniu skorzystania z niezbyt mile widzianej, choć oczywiście poprawnej i skutecznej metody prób i błędów.

Odpowiedź znajdziecie tutaj. mp