Matematycy po pół wieku rozwiązują problem sofy

Matematycy wreszcie okazali wsparcie tym wszystkim, którzy, zmagając się z masywną kanapą, próbują ją przepchnąć przez załamanie ciasnego korytarza. Inaczej mówiąc, badacze są bliscy uporania się z geometrycznym „problemem przesunięcia sofy”, polegającym na określeniu kształtu figury o największym polu, którą można obrócić w załamującym się pod kątem prostym wąskim korytarzu. Problem prawie 60 lat pozostawał nierozwiązany, ale w listopadzie 2024 roku Jineon Baek, postdok z Yonsei University w Seulu, opublikował online liczący 119 stron artykuł z rozwiązaniem. Nie zostało jeszcze gruntownie zrecenzowane, ale wstępne komentarze kompetentnych matematyków są optymistyczne.

Rozwiązanie to raczej nie będzie pomocne w trakcie przeprowadzki. Warto jednak zauważyć, że choć zaawansowana matematyka staje się coraz bardziej abstrakcyjna, matematycy wykazują szczególne upodobanie do nierozwiązanych problemów bliskich codzienności. Na popularnym forum MathOverflow publikowana jest nawet lista „mało znanych, od dawna nierozstrzygniętych problemów, które każdy może zrozumieć”. Problem z sofą zajmuje na niej drugie miejsce. Każde rozwiązanie poszerza jednak naszą wiedzę, a metody zastosowane w przypadku sofy mogą okazać się w przyszłości przydatne do radzenia sobie z kolejnymi zadaniami geometrycznymi.

Ściśle opisany po raz pierwszy przez kanadyjskiego matematyka Leo Mosera w 1966 roku problem dotyczy manewrowania sztywnym kształtem (brzegi sofy nie ustępują pod naciskiem) w celu przemieszczenia przez prostokątny załom korytarza. „Sofa” może mieć dowolny kształt, czyli nie musi przypominać prawdziwej kanapy. Zarówno przesuwana figura, jak i korytarz są dwuwymiarowe. Zakładamy też, że sofa jest zbyt ciężka, aby dało się ją podnieść – w grę wchodzi wyłącznie przesuwanie.

Historia problemu ujawnia intensywne próby znalezienia rozwiązania. A zatem: jaki największy kształt uda się przecisnąć przez korytarz? Jeśli każda odnoga korytarza ma jednostkową szerokość (konkretna jednostka nie jest istotna), przez załom możemy łatwo przesunąć kwadrat o jednostkowym boku. Wydłużenie kwadratu w prostokąt prowadzi do natychmiastowej porażki, ponieważ na obrót brakuje miejsca.

Jednak matematycy zauważyli, że powiększenie kanapy będzie możliwe po zakrzywieniu jej krawędzi. Przykładem jest półkole o średnicy dwóch jednostek. Gdy dociera do załomu, półkolisty brzeg ma wystarczająco dużo miejsca, aby, obracając się, pokonać róg.

Pole półkola równa się p/2, czyli około 1,571. To znacząca poprawa w porównaniu z kwadratem o jednostkowym polu. Choć kanapa o takim kształcie wyglądałaby jednak w salonie nieco dziwnie.

Rozwiązanie problemu przemieszczania sofy wymaga zoptymalizowania nie tylko jej kształtu, ale także drogi, którą ta figura pokonuje. Możliwe są dwa rodzaje ruchu: przesuwanie i obracanie. Kwadratowa kanapa jest tylko przesuwana, natomiast półkole najpierw jest przesuwane, następnie obracane wokół załomu, a w końcu przesuwane drugą odnogą. Jednak obiekty mogą się równocześnie i przesuwać, i obracać. Matematyk Dan Romik z University of California w Davis zauważył, że rozwiązanie zadania powinno optymalizować jednocześnie oba ruchy.

Brytyjski matematyk John Hammersley odkrył w 1968 roku, że rozciągnięcie półkola może dać większą sofę, jeśli wykroić z niej zaokrąglony kawałek, aby poradzić sobie z narożem. Co więcej, sofa Hammersleya, która przypomina kształtem słuchawkę stacjonarnego telefonu, pozwala na hybrydowy ruch posuwisto-obrotowy.

Zoptymalizowanie różnych zmiennych dało sofę o powierzchni p/2 + 2/p, czyli w przybliżeniu 2,2074, a więc dużo więcej w porównaniu z półkolem – to jakby zamienić dwuosobową małą sofkę na obszerną trzyosobową. Jednak na tym postęp zatrzymał się na 24 lata. Następna znacząca poprawa okazała się dotąd ostatnią. W 1992 roku Joseph L. Gerver z Rutgers University zaprezentował arcydzieło matematycznego meblarstwa, uznawane dziś za największą możliwą sofę.

Na pierwszy rzut oka sofa Gervera może wydać się kopią sofy Hammersleya, ale jest to bardziej skomplikowany obiekt. Gerver utworzył kształt będący połączeniem 18 odrębnych krzywych. Przyglądając mu się bliżej, można dostrzec różnice, zwłaszcza ścięte krawędzie u podstawy zaokrąglonego wycięcia.

Dzieło Gervera ma powierzchnię równą 2,2195 jednostki. Co zaskakujące, względnie prosta sofa Hammersleya jest mniejsza zaledwie o około 0,012. Mimo tak minimalnej różnicy Gerver uważał, że osiągnął maksimum, jednak nie potrafił tego dowieść. I nikomu się to nie udało przez kolejne 32 lata.

W obliczu braku dowodów kilku badaczy zwróciło się ku symulacjom komputerowym, które umożliwiły określenie nowych granicznych wartości powierzchni największej sofy możliwej do przesunięcia przez róg. Baek był jednym z nich, ale – co zaskakujące – jego ostateczne rozwiązanie w ogóle nie wiąże się z symulacjami komputerowymi.

Baek napisał rozprawę doktorską dotyczącą problemu przesunięcia sofy i zawarł w niej kilka nowych spostrzeżeń. W tym samym roku, w którym obronił pracę, połączył wszystkie swoje pomysły, tworząc imponujący dowód, że sofa Gervera jest największą, jaka może pokonać załom korytarza. Rozwiązanie długo nierozstrzygniętego problemu jest marzeniem każdego matematyka, a tym bardziej będącego na wczesnym etapie swojej kariery. Jeśli praca Baeka wytrzyma krytykę, zostanie zapewne zasypany propozycjami objęcia profesury, jeśli oczywiście nie zajmie się… meblarstwem.