Droga biedronki, czyli matematycy zaprojektowali nowy rodzaj paradoksalnego kształtu

Obiekt niemożliwy to taki, który wygląda realistycznie na rysunku, ale w rzeczywistości istnieć nie może. Holenderski malarz i grafik M. C. Escher (1898–1972) znany jest m.in. z przedstawień schodów i wodospadów nieistniejących w trzech wymiarach. Wiele swoich prac Escher wzorował na konstrukcjach brytyjskich matematyków Rogera i Lionela Penrose’a, na przykład na trójkącie i schodach Penrose’a, przedstawionych w latach 50.

Matematycy Robert Ghrist z University of Pennsylvania i Zoe Cooperband z U.S. Naval Research Laboratory stworzyli matematyczny system klasyfikacji paradoksów wizualnych. Wyjaśniają, że obiekty niemożliwe są spójne lokalnie, ale niespójne globalnie. Na przykład biedronka po okrążeniu schodów Penrose’a będzie miała wrażenie, że pokonała wznoszący się ciąg stopni, mimo że znajdzie się na tej samej wysokości, od której zaczęła. „Istota paradoksu polega na tym, że chodzimy po pętli, a mamy wrażenie, że droga się zmienia. Brak jest korelacji między tym, gdzie jesteśmy, a tym gdzie wydaje nam się, że jesteśmy” – wyjaśnia Ghrist.

Ghrist i Cooperband wykorzystali swój model do zaprojektowania niemożliwego obiektu, który w nowy sposób „łamie” rzeczywistość. Początkiem konstrukcji jest wariant schodów Penrose’a, który tworzy niebieską ścieżkę na rysunku. Chodzący po niej w kółko owad będzie miał wrażenie wędrówki w poziomie, ale jeśli skorzysta z drabiny łączącej przeciwległe fragmenty, odbierze to jako wejście wyżej. Obie trasy są spójne lokalnie, ale nie globalnie.

Matematycy przekształcili ścieżkę tworzącą prostokąt w linię łamaną i umieścili ją na walcu tak, aby lewy koniec łączył się z prawym. Idący nią od punktu startowego w prawo owad, dotarłby dokładnie tam, skąd wyruszył.

Dalej uczeni założyli, że ścieżka wije się jak wstęga Möbiusa (obiekt z paska papieru, którego końce sklejono po skręceniu jednego końca o 180°). Owad idący w prawo od punktu startowego, odkryłby po zrobieniu pętli, że to, co kiedyś było prawą stroną, się zmieniło.

Ta ścieżka stanowi podstawę nowego, niemożliwego obiektu (drabiny Kleina), który jest ciągłym, wielopoziomowym układem schodów opartym na kształcie butelki Kleina, opisanej przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina w 1882 roku.

W niemożliwej drabinie Kleina orientacja owada zmienia się wtedy, gdy przekracza on pionową krawędź, jak w przypadku wstęgi Möbiusa. Biedronka może obejść poziomą pętlę od punktu startowego, idąc do góry po drabinie, po ścieżce, w górę po kolejnej drabinie i przekraczając pionową krawędź. Kończy pętlę odwrócona do góry nogami w stosunku do pozycji początkowej (a).

Gdy biedronka obchodzi pionową pętlę i przekracza poziomą krawędź, jej orientacja pozostaje taka sama – jak na walcu. Aby obejść taką pętlę, owad zaczyna ponownie w tym samym miejscu co poprzednio, przechodzi po jednej drabinie, a następnie skręca w lewo, aby przekroczyć poziomą krawędź, i kończy pętlę bez odwrócenia pozycji (b).

Poniższa siatka przedstawia „rozwiniętą” przestrzeń percepcyjną biedronki; odwrócenia są wkomponowane w kafelkowanie poprzez odbicia. Biedronka znajdująca się w środkowej części nie jest odwrócona. Jeśli porusza się poziomo do lewej lub prawej części, „odbija się” i zostaje odwrócona – odwrócone zostaje znaczenie słów „w górę”. Czarne kostki oznaczają „ten sam” punkt początkowy o nieznanej bezwzględnej wysokości i orientacji.

Rozważamy drogę biedronki, która w tej przestrzeni obchodzi zarówno pętlę poziomą, jak i pionową. Kierunek obchodzenia pętli jest istotny.

Nowy obiekt niemożliwy jest pierwszym, w którym kierunek chodzenia po pętli prowadzi do różnych efektów końcowych – taka cecha zwana jest nieabelową. „W matematyce często mamy do czynienia z nieabelowością, ale nigdy wcześniej nie zaobserwowano jej w paradoksach wizualnych” – podsumowuje Ghrist.