Bliskie spotkania passé, czyli o zdystansowaniu potęg

Ze zbioru liczb całkowitych dodatnich wykreślamy jedynkę oraz wszystkie liczby parzyste oprócz dwójki. To pierwszy etap (e=1). W drugim i każdym następnym e-tym etapie nietknięta pozostaje e-ta nieskreślona liczba, a wykreślane są wszystkie jej wielokrotności. Zatem dla e=2 pozostanie druga liczba nieskreślona, czyli trójka, dla e=3 – trzecia, czyli piątka, dla e=4 – siódemka itd. Niektóre liczby będą przekreślane wielokrotnie, ale nie ma to znaczenia.

Powyższy opis jest oczywiście instrukcją obsługi sita Eratostenesa, na którym pozostaje ciąg liczb pierwszych. W przykładowym sicie na rys. 1 surowcem są liczby od 1 do 139, a wykreślanie zastąpiono kolorami: ciemnoniebieskim – skreślenia liczb parzystych, jasnoniebieskim – nieparzystych wielokrotności 3, różowym – pozostałych wielokrotności; kolory ominęły wypisane pod sitem liczby pierwsze, odpowiadające kratkom, które pozostały białe.

Drugie sito (rys. 2) jest nieco bardziej zakręcone. Podobnie jak w poprzednim każdy kolejny e-ty etap polega na pozostawieniu nietkniętej e-tej nieskreślonej liczby x, a wykreśleniu jej wielokrotności – jednak tym razem nie wszystkich, lecz tylko tych, które nie są podzielne przez x² lub nie są dzielnikami x², ale z pominięciem wielokrotności xq, gdzie q jest kwadratem. Dla e=1 nietknięte pozostaje x=1 i cała reszta, czyli nic nie wykreślamy, bo przez x²=1 dzieli się każda liczba. Dla e=2 (x=2, x²=4) wykreślonymi liczbami w zakresie do 139 będą: 6, 10, 14, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 102, 106, 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134, 138. Nie ma wśród nich takich wielokrotności 2, które – zgodnie z podanymi warunkami – podzielne są przez x²=4 lub są postaci 2q, gdzie q = 9, 16, 25, 36, 49, 64. Dla e=3 (x=3, x²=9) wśród 29 wykreślonych liczb (6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60, 66, 69, 75, 78, 84, 87, 93, 102, 105, 111, 114, 120, 123, 129, 132, 138) pojawiają się już – jak w sicie Eratostenesa – takie, które są wykreślane powtórnie (wytłuszczone). Dla e=4 (x=4, x²=16) skreśla się 22 liczby (12, 20, 24, 28, 40, 44, 52, 60, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 104, 108, 116, 120, 124, 132, 136) i po raz pierwszy pomijana jest wśród wykreślanych taka, która stanowi dzielnik x², czyli 8. W przedostatnim 28 etapie (x=67) wykreślana jest liczba 134. Kolorystyka wykreśleń na rys. 2 odpowiada tej z rys. 1, ale ostatni etap jest inny – odpowiadają mu żółte kratki, oznaczające liczby z białych pól na rys. 1, a więc wykreśla się liczby pierwsze. Na sicie pozostaje „biały” ciąg liczb zapisany pod rys. 2. Nietrudno zauważyć, że wszystkie są potęgami i żadnej z przedziału [1, 139] nie brakuje.

Zastosowanie metody sita do wyznaczania potęg jest nietypowe, ale sens ma zadanie, polegające na konstrukcji takiego sita (niewykluczone, że zasada jego działania może być prostsza niż opisana wyżej), zaś skorzystanie ze sposobu podobnego do sita Eratostenesa świadczy o pokrewieństwie między potęgami a liczbami pierwszymi. Głównym przejawem tego pokrewieństwa jest… chaos.

Potęgi, podobnie jak liczby pierwsze, rozmieszczone są wśród liczb naturalnych w sposób dość nieuporządkowany. Różnica jest tylko ta, że chaotyczny ciąg wszystkich potęg składa się z uporządkowanych nieskończonych podciągów różnych konkretnych potęg – kwadratów, sześcianów itd., natomiast ciągu liczb pierwszych nie sposób podzielić na takie składowe „eleganckie” podciągi. Jak nie ma wzoru na kolejne liczby pierwsze (ściśle rzecz biorąc, takie wzory istnieją, ale są niepraktyczne, bo korzystanie z nich jest znacznie bardziej żmudne niż użycie sita Eratostenesa), tak nie znamy prostego wzoru, który pozwalałby wyznaczyć, powiedzmy, 2020. wyraz ciągu potęg p_n. Nawiasem mówiąc, p₂₀₂₀ = 3442951 = 151³, ale gdybyśmy tego nie wiedzieli, to rozstrzygnięcie, czy chodzi o potęgę, czy o liczbę pierwszą, byłoby w przypadku obu liczb problemem niemal równie trudnym obliczeniowo, choć dla liczby rzędu 10⁶ stopień trudności byłby znikomy – w przeciwieństwie np. do liczby rzędu 10⁶⁰.

Rozrywkowym i dosłownie zakręconym aspektem rozmieszczenia liczb pierwszych jest spirala Ulama. W ciągu liczb naturalnych wpisanych wzdłuż linii spiralnej w kwadratowy układ pól – zgodnie ze schematem pokazanym na rys. 3 – zaczernione są pola z liczbami pierwszymi. Niewyjaśnioną do końca cechą rozmieszczenia tych oznaczeń, która zadecydowała o popularności spirali, są gęste zgrupowania liczb pierwszych na niektórych przekątnych (rys. 4). To, że zaczernione pola w ogóle leżą na przekątnych, wynika z parzystych różnic między liczbami pierwszymi (oprócz różnicy między 2 a 3). Natomiast w przypadku potęg, którym na rys. 4 odpowiadają czerwone i różowe pola, zagęszczenie czerwonych na dwóch przekątnych nie stanowi zagadki: są to kwadraty liczb – nieparzystych na dolnej przekątnej, parzystych na górnej – które zdecydowanie dominują liczebnością nad pozostałymi, różowymi potęgami.

Bodaj najciekawszym zagadnieniem dotyczącym ciągu potęg, które ma swój odpowiednik także w ciągu liczb pierwszych, są „bliskie spotkania”. Chodzi o małe różnice między kolejnymi wyrazami. Najmniejsza, równa jedności, występuje oczywiście wtedy, gdy dwa kolejne wyrazy ciągu są równocześnie kolejnymi liczbami naturalnymi. W ciągu liczb pierwszych jedynym takim najbliższym spotkaniem jest sąsiedztwo 2 i 3, bo 2 to jedyna i początkowa parzysta liczba pierwsza.

W ciągu potęg nie ma sytuacji tak specyficznej, jak wśród liczb pierwszych parzystość dwójki przy nieparzystości wszystkich pozostałych liczb, co ogranicza najbliższe spotkania do jednego. Wydaje się więc, że potęgi nie są tak niedotykalskie. Wprawdzie odstępy między kolejnymi wyrazami w ciągach konkretnych potęg także tworzą ciągi rosnące i to zwykle coraz bardziej „przyspieszające”, gdy wzrasta wykładnik potęgi. Na przykład dla kwadratów kolejne odstępy są liczbami nieparzystymi (3, 5, 7, 9, 11,…: a_n=2n+1) ; dla sześcianów – to liczby pierwsze sześcienne (7, 19, 37, 61, 91,…: a_n=3n²+3n+1); dla piątych potęg – tzw. liczby nexus (31, 211, 781, 2101, 4651, …: a_n=5n⁴+10n³+10n²+5n+1). Trudno jednak wykluczyć, że gdzieś na peryferiach osi liczbowej do kwadratu nie przytula się jakaś siódma potęga albo nie flirtują ze sobą potęgi trzynasta i sto pierwsza. Skoro dokładne „pokrywanie się” różnych potęg zdarza się często (na przykład 32³=8⁵), to dlaczego ich przyleganie miałoby być czymś wyjątkowym? Okazuje się jednak, że matematyczna intuicja bywa zwodnicza.

W roku 1844 belgijski matematyk Eugène Catalan zasugerował, że potęgi spotykają się – podobnie jak liczby pierwsze – tylko raz, a styczność ta także dotyczy dwójki i trójki, ale spotęgowanych – pierwszej podniesionej do sześcianu, drugiej do kwadratu, czyli 8 i 9. Inaczej mówiąc, zdaniem Catalana równanie x^a–y^b=1 dla czterech niewiadomych całkowitych większych od 1 ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=b=3, y=a=2. Ta sugestia przez blisko 160 lat pozostawała hipotezą. Dopiero w roku 2002 rumuński matematyk Preda Mihăilescu zmienił ją w twierdzenie o unikalnym dystansie intymnym między potęgami, który ma miejsce wyłącznie między ósemką a dziewiątką. Dowód jest trudny, oparty na algebraicznej teorii liczb. Pojawiają się w nim terminy takie, jak ciała cyklotomiczne, pary Wiefericha lub teoria Kummera, które niewiele mówią nawet matematykom, jeśli nie zajmują się oni teorią liczb. Tak specjalistyczna wiedza nie jest jednak konieczna, aby zrozumieć dowód, dotyczący pokrewnego, węższego twierdzenia, ograniczonego do kwadratów i sześcianów, zgodnie z którym równanie x²–y³=±1 ma tylko jedno rozwiązanie dla całkowitych x>0 i y>0. Dla przypadku x²–y³=1 dowód jest prosty, choć nie w pełni elementarny. Przeprowadził go Euler w 1738 roku. Zaczyna się od znanego przekształcenia:

y³= x²–1 → y³=(x+1)(x–1)

Różnica między liczbami (x+1) a (x–1) wynosi 2. Ponieważ największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb należy szukać wśród różnicy między tymi liczbami, więc w tym przypadku NWD może być równy tylko 1 lub 2. Jeśli NWD=1, to (x+1) i (x–1) są względnie pierwsze (nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1), więc każdy dzielnik liczby y będzie dzielnikiem tylko jednej z liczb (x+1) lub (x–1). Inaczej mówiąc, gdy y=uv, to y³=u³×v³, czyli x+1=u³ i x–1=v³. Teraz wystarczy zauważyć sprzeczność ze stwierdzeniem (x+1)–(x–1)=2, bowiem różnica między sześcianami liczb naturalnych dodatnich nie może wynosić 2. Taka różnica wystąpi tylko dla u=1, v=–1, czyli dla x=0, y=–1, ale to rozwiązanie nie spełnia warunku x>0, y>0.

Dla NWD=2 dowód jest nieco trudniejszy, choć metoda podobna. W tym przypadku (x+1), (x–1) oraz y są liczbami parzystymi, czyli:

(1) x+1=2α, x–1=2β, y=2δ

przy czym z (1) wynika

(2) α i β są względnie pierwsze oraz α=β+1.

Zatem

y³=8δ³=(x+1)(x–1)=4αβ → 2δ³=αβ

Jeśli δ=uv, to ze względu na (2) każdy dzielnik liczby δ będzie dzielnikiem tylko jednej liczby – α lub β, czyli

(3) α=2u³ i β=v³ oraz

(4) 2u³=v³+1, przy czym x=2β+1=2v³+1, y=2uv

lub

(5) α=u³ i β=2v³ oraz

(6) u³=2v³+1, przy czym x=2β+1=4v³+1, y=2uv oraz

Podstawiając

(7) w (4) u=A i v=–B, w (6) u=B i v=–A

każdorazowo otrzymujemy równanie

2A³+B³=1

Euler dowiódł (dowód pomijamy, ponieważ jest długi i nieelementarny, oparty na tzw. metodzie nieskończonego schodzenia Fermata), że równanie to ma dokładnie dwa rozwiązania, które można uznać za trywialne, bo bardzo łatwo je znaleźć: A=0, B=1 oraz A=1, B=–1.

Wracając w (7) do zmiennych u i v otrzymujemy cztery pary [u,v]:

([0,–1], [1,1], [1,0], [–1,–1],

które na podstawie (4) i (6) prowadzą do rozwiązań [x, y]:

[–1,0], [3,2], [1,0], [–3,2].

Założenia spełnia tylko jedna para – [3,2].

Wypadałoby jeszcze udowodnić, że równanie x²–y³=–1 nie ma rozwiązań wśród liczb naturalnych dodatnich, a ściślej, że ma tylko jedno trywialne rozwiązanie (x=0, y=1). Jednak pominiemy ten dowód, bo jest w pełni nieelementarny, choć jego ogólny schemat jest niemal identyczny jak poprzednio, czyli zaczyna się od przekształcenia

y³= x²+1 → y³=(x+i)(x–i)

Litera i w równaniu oznacza tzw. jednostkę urojoną, czyli i²=–1, zaś ciąg dalszy dowodu wymaga znajomości „obsługi” liczb zespolonych.

Po omówieniu stykających się potęg należałoby zapytać o potęgi bliźniacze, czyli takie, między którymi różnica wynosi 2. Ich odpowiedników wśród liczb pierwszych jest pod dostatkiem, choć wciąż nie wiadomo, czy nieskończenie wiele. Niestety, potęgi są pod tym względem skrajnym przeciwieństwem, czyli parę bliźniaczych potęg znamy, tak jak „przytulanek”, także tylko jedną: 25 i 27, choć – ściśle rzecz biorąc – sprawa nie jest przesądzona, bo nie ma dowodu, potwierdzającego tę unikalność. W ogóle liczba znanych konkretnych dystansów między potęgami, poza najmniejszym unikalnym pewniakiem, którego dotyczy twierdzenie Mihăilescu, określona jest na podstawie przeszukanego przez komputery zakresu liczb do 10¹⁸. To przeszukanie wydaje się potwierdzać tzw. hipotezę Pillai: każda liczba jest różnicą między potęgami skończoną liczbę razy. Na przykład 3 jest różnicą dwukrotnie: 2²–1 i 2⁷–5³; podobnie 5: 3²–2² i 2⁵–3³; 4 – trzykrotnie: 2³–2², 6²–2⁵ i 5³–11². Z kolei 6, 14, 34, 42, 50, 58, 62, 66 i prawdopodobnie nieskończenie wiele większych nie jest różnicami ani razu. Zaskakującą i zagadkową prawidłowością jest to, że wśród tych nieróżnic nie ma liczb nieparzystych i wielokrotności 4. Niektórzy matematycy sugerują, że korzystając z metody zastosowanej w dowodzie Mihăilescu, udałoby się tę zagadkę wyjaśnić, ale dotąd nikt się tego nie podjął.

Natomiast wielu podejmowało się rozwiązywania równania x²–y³=±c dla konkretnych wartości c i oczywiście dla x, y, c całkowitych dodatnich (dla każdego c równanie ma skończoną liczbę rozwiązań ≥0, co w roku 1922 udowodnił angielski matematyk Louis Mordell). Zadanie bywa niełatwe, bo wartości x i y mogą być bardzo duże mimo małego c. Na przykład dla c=24 dwa skromne rozwiązania to (5, 1) i (32, 10), ale trzecie jest już całkiem pokaźne (736844, 8158), a co najistotniejsze, podanie iluś rozwiązań nie wystarcza – należy jeszcze dowieść, że to wszystkie.

Fermat był pierwszym, który podjął się zmagań z pozornie prostym równaniem z potęgami bliźniaczymi: x²–y³=±2. Mało tego – zaproponował nawet dwóm angielskim matematykom pojedynek live, polegający na dowiedzeniu, że równanie to nie ma innych rozwiązań naturalnych poza (5, 3). Nic dziwnego, że Anglicy John Wallis i Kenelm Digby przegrali, skoro mieli ograniczony czas na „trening”, a Fermat przygotował się do starcia na długo przed złożeniem propozycji. To było zdecydowanie nie fair.

Zadania

1. Różnica piątych potęg dwu liczb pierwszych także jest liczbą pierwszą? Jakie to liczby?

2. Jaki kwartet różnych dwucyfrowych liczb naturalnych ma następujące dwie własności:

– trzy z tych czterech liczb są potęgami;

– pięć z sześciu różnic par tych liczb jest potęgami?

3. W kryptarytmie potęgowym AB^C=DE^F=x podstawami potęg są dwucyfrowe liczby AB i CD, a litery A, B, C, D, E, F zastępują sześć różnych kolejnych cyfr – od 1 do 6. Jaką liczbą jest x?

4. 26 jest jedyną liczbą w ciągu liczb naturalnych „wciśniętą” między dwie potęgi. Ma ona także kilka innych ciekawych własności, w tym potęgową: jest jedną z pięciu liczb >1, z których każda równa jest sumie cyfr swoich sześcianów: 26³=17576=(1+7+5+7+6)³; pozostałe to 8, 17, 18 i 27. Mniej przypadkowa jest jej cecha związana z partycjami: 26 można zapisać jako sumę czterech liczb na trzy sposoby tak, że we wszystkich tych zapisach żadna z dwunastu liczb się nie powtórzy:

26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12.

Jeśli jako k_n oznaczymy największą liczbę czwórek liczb naturalnych, gdzie suma każdej czwórki liczb równa się n oraz wszystkie 4k_n liczby są różne (jak w powyższym przykładzie), to jaką dwucyfrową liczbą będzie n przy założeniu, że suma cyfr liczby n będzie równa k_n?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 listopada br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 11/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Davida Attenborough Podróże na drugi kraniec świata. Dalsze przygody młodego przyrodnika ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru wrześniowego

1. Są 2 sposoby podziału prostokąta 7×4 z usuniętym narożnym polem na 7 części, z których tylko dwie będą prostokątami 2×3, a pozostałe L-triminami, nigdzie nietworzącymi prostokąta 2×3 (rys. 5).

2. Na szachownicy 8×8 można położyć najmniej 11 trimin tak, aby umieszczenie na pozostałych wolnych polach jeszcze jednego L-trimina nie było możliwe.

3. Podział kwadratu 7×7 z usuniętym oznaczonym polem na 10 części (6 prostokątów 2×3 i 4 L-trimina) pokazany jest na rys. 6. Żółte linie przecinają 8 części.

4. Na 8 sposobów można usunąć parę sąsiednich pól (domin 1×2) z ciemnej części prostokąta 7×5 (rys. 7) tak, aby pozostałych 33 pól nie udało się pokryć jedenastoma L-triminami. Jest więc 8 rozwiązań: (ab-2), (bc-2), (cd-2), (bc-3), (b-1,2), (b-2,3), (d-1,2), (d-2,3).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Tima Jamesa Fundamentalnie. Tak fizyka kwantowa i fizyka cząstek elementarnych wyjaśnia wszystko (oprócz grawitacji), ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Łukasz Jach z Czeladzi, Adam Mazurkiewicz z Fabianek, Paweł Piekarski ze Szczecina, Michał Różycki z Krakowa, Piotr Szymczuk z Warszawy.