Dziel i dedukuj, czyli o grze z monogramem
Każdemu, kto interesuje się grami umysłowymi albo lubi rozwiązywać zadania logiczne, zapewne znana jest osoba Lecha Pijanowskiego, autora kilku książek wydanych przed blisko półwieczem, ale wznawianych i wciąż popularnych. Prym wśród nich wiodą Podróże w krainie gier, Przewodnik gier i Rozkosze łamania głowy. Jak w matematyce rekreacyjnej ikoną pozostaje Szczepan Jeleński, autor dwu blisko wiekowych evergreenów – Lilavati i Śladami Pitagorasa, tak w krainie gier i łamigłówek na miano ikony zasługuje Lech Pijanowski. Okres jego największej aktywności, która przyniosła mu rozgłos, obejmuje niespełna pięć lat – 1969–1973 (zmarł w styczniu 1974 roku w wieku 45 lat), gdy poza wydanymi w tym czasie książkami redagował dwie rubryki: poświęconą grom w miesięczniku popularnonaukowym Problemy oraz łamigłówkową na łamach Życia i Nowoczesności (dodatek do dziennika Życie Warszawy), a ponadto prezentował gry umysłowe w telewizyjnym programie dla dzieci i młodzieży Ekran z bratkiem.
Lech Pijanowski był przede wszystkim znakomitym popularyzatorem, natomiast nowe zadania układał sporadycznie. Raczej korzystał z bogatej spuścizny innych autorów, czasem modyfikując konkretne łamigłówki lub nadając im swoistą formę (tu kłaniają się uwikłani w logikę panowie Abacki, Babacki, Cabacki i paru kolejnych). Podobnie jeśli chodzi o gry – Pijanowski kolekcjonował je (ze szczególnym upodobaniem dawne karty) i opisywał, ale ich nie projektował. Tę regułę potwierdza jedyny wyjątek, który sprawił, że jego nazwisko stało się znane miłośnikom gier na całym świecie.
Mało znanym faktem jest, że rubryka zatytułowana „Rozkosze Łamania Głowy”, redagowana przez Lecha Pijanowskiego, ukazywała się także wcześniej, w latach 1966–1969, na łamach Trybuny Robotniczej – śląskiej gazety regionalnej. Różniła się istotnie od wspomnianej wyżej późniejszej rubryki o tej samej nazwie, bowiem były w niej opisywane niemal wyłącznie gry. Odcinek z 29 kwietnia 1967 roku zaczynał się tak:
„Po raz pierwszy w tej rubryczce odważam się – i to z wielką tremą i obietnicą, że więcej nie będę – przedstawić zasady gry, którą… sam wymyśliłem. Nazwałem ją LAP (historykom gier z pewnością zupełnie zbędna okaże się informacja, że to po prostu mój pełny monogram) i jest ona geometrycznym wariantem znanej dość szeroko dwuosobowej gry w wojnę morską. Historii gra ta nie ma oczywiście żadnej; praktyki – trochę…”
W tym czasie Lech Pijanowski korespondował z czołowym amerykańskim znawcą, projektantem i kolekcjonerem gier Sidem Sacksonem, któremu przesłał gazetowy wycinek z opisem LAP-u. Tak zaczęła się „kariera” tej „papierowo-ołówkowej” gry, trafiła ona bowiem do wydanej w 1969 roku kultowej książki Sacksona Gamut of Games, będącej zbiorem bardzo starannych i szczegółowych opisów 38 nowych lub mało znanych atrakcyjnych gier z użyciem prostych rekwizytów. Ta ponadczasowa publikacja doczekała się licznych wznowień oraz tłumaczeń (ostatnio przed trzema laty na japoński). Za jej pośrednictwem LAP trafił też na łamy wielu czasopism jako oryginalna i pomysłowa gra dedukcyjna. Interesujące okazały się jej aspekty strategiczne i matematyczne oraz związana z nimi… niespodzianka. Choćby z tych powodów gra o monogramowej nazwie zasługuje na reaktywację.
W gruncie rzeczy LAP jest, podobnie jak „gra w okręty”, łamigłówką przygotowywaną przez jednego z partnerów dla drugiego. Mówimy o grze, ponieważ każdy przygotowuje swoją łamigłówkę i obaj równocześnie rozwiązują przygotowaną przez partnera, a wygrywa ten, kto pierwszy upora się z rozwiązaniem „wrogiego” zadania. Jest to więc gra bez interakcji, zatem wystarczy opisać, na czym polega przygotowanie i rozwiązywanie łamigłówki.
Punktem, a właściwie polem wyjścia jest kwadratowy diagram obejmujący 64 kratki (8×8) z szachowymi oznaczeniami wierszy (1-8) i kolumn (a-h). Diagram ten należy podzielić wzdłuż boków kratek na cztery spójne sektory dowolnego kształtu, ale jednakowej wielkości, czyli każdy sektor powinien obejmować 16 kratek, a następnie oznaczyć sektory cyframi rzymskimi od I do IV (przykład na rys. 1). Ten podział stanowi sedno gry, bowiem jego odtworzenie jest zadaniem rozwiązującego, czyli przeciwnika. W tym celu w kolejnych ruchach rozwiązujący „strzela”, podając współrzędne czterech pól tworzących kwadrat 2×2, na przykład ab-78 ( „strzał” jest w istocie pytaniem o to, do których sektorów należą wskazane pola), a przeciwnik informuje o przynależności pól do sektorów, nie ujawniając jednak przyporządkowywania poszczególnych pól konkretnym sektorom. Zatem po strzale ab-78 rozwiązujący łamigłówkę z rys. 1 otrzyma informację: trafione trzy pola sektora I i jedno sektora II albo krótko – I-3, II-1. Inny przykład: strzał – bc-56, odpowiedź – I-1, II-1, III-1, IV-1.
Dedukowanie może wyglądać tak:
Z odpowiedzi na strzał ab-78 wnioskujemy, że skoro sektory są obszarami spójnymi, to narożne pole a8 nie może należeć do sektora II, bo byłoby otoczone sektorem I, czyli odcięte od reszty diagramu; zatem a8 jest częścią sektora I, zaś w sektorze II znajduje się jedno z pól a7, b7 lub b8. Gdy drugi strzał skierujemy na kwadrat bc-78, a trzeci na ab-67, to w obu przypadkach odpowiedzi będą takie same: I-2, II-2. Stąd efekt trzech początkowych strzałów: pięć możliwych granic między sektorami w lewym górnym rogu (rys. 2). Układy pierwszy i drugi trzeba jednak odrzucić, bo wówczas sektor II otaczałby sektor I, a to niemożliwe, skoro oba liczą tyle samo kratek. Pominąć należy także podziały trzeci i czwarty, ponieważ wtedy wykluczona jest spójność każdego z dwu sektorów. Pozostaje zatem jako właściwy tylko piąty podział. Jeśli teraz uwzględnimy odpowiedź na strzał bc-56 (I-1, II-1, III-1, IV-1 – oznacza to umieszczenie w kwadracie bc-56 granic w postaci krzyża rozdzielającego cztery pola) i zapytamy o kwadrat cd-56 (odpowiedź – III-3, IV-1), to z obu odpowiedzi uda się wywnioskować dalszy podział na sektory, który w sumie po pięciu strzałach obejmie ponad jedną czwartą diagramu (rys. 3). Można więc szacować, że z wszystkich możliwych 49 strzałów około 20 wystarczy, aby rozszyfrować całość. To jednak wariant optymalny, który z punktu widzenia strategii gry nie jest korzystny, bo liczba strzałów powinna być minimalna. I tu pojawia się losowość, która dodaje grze uroku, bowiem wybieranie ostrzeliwanych miejsc, które ma wpływ na efektywność i szybkość rozwiązywania, jest w mniejszym lub większym stopniu przypadkowe. Czy teoretycznie możliwe jest ujawnienie całego podziału w kilku strzałach? W ilu najmniej? I czy zawsze jest możliwe? O tych problemach, związanych ze sposobem podziału, za chwilę. A tymczasem krótko o liczbie różnych podziałów, czyli jakby o liczbie pozycji wyjściowych w grze.
Gdyby zamiast 8×8 pole łamigłówki miało wymiary 2×2, to zabawa oczywiście nie miałaby sensu, bo podział jest tylko jeden. Już jednak przy formacie 4×4 gra nie byłaby trywialna. Całkowicie różne podziały takiego kwadratu na cztery 4-kratkowe sektory są 22 (rys. 4), a jeśli uwzględnić obroty i odbicia lustrzane – mnożąc liczby podziałów w drugim, trzecim i czwartym wierszu na rys. 4 odpowiednio przez 2, 4 i 8 – to liczba ta wzrośnie do 117. W następnym większym diagramie, czyli 6×6, po podziale na cztery sektory każdy z nich składałby się z 9 kratek, zaś liczba podziałów wyniosłaby blisko 210 tys. W przypadku LAP-u dotąd nikt nie policzył, ile jest podziałów. Wiemy natomiast (komputery uporały się z tym przy okazji analizowania odmiany sudoku zwanej nieregularną), że gdyby diagram 8×8 dzielić nie na cztery sektory 16-kratkowe, a na osiem 8-kratkowych, to różnych podziałów byłoby prawie 190 mld. Można przypuszczać, że dla LAP-u liczba ta jest mniej więcej dwukrotnie mniejsza, czyli i tak astronomiczna.
W przeciwieństwie do pokrewnej „gry w okręty”, oznaczanie na diagramie efektów strzałów w LAP jest nieco kłopotliwe, bo wnioski z jednej informacji często są niejednoznaczne, więc trudno od razu po strzale rozdzielić jakieś pola, a tym bardziej przyporządkować je do konkretnych sektorów. Zwykle dopiero co najmniej dwa pozwalają na dokładniejsze ustalenia. Mimo to od lat 70. LAP cieszył się w paru krajach sporym zainteresowaniem. Spektakularnym przykładem było włączenie go do repertuaru amerykańskiego klubu gry korespondencyjnej NOST. W klubowym periodyku NOST-algia zamieszczano nawet rozważania teoretyczne. Wynikało z nich m.in., że strzelanie w kwadraty przy brzegu diagramu, zwłaszcza nakładające się lub sąsiednie, jest wprawdzie efektywne, ale, wbrew pozorom, niezbyt korzystne, bo wydłuża drogę do rozwiązania. Za lepszy uznano większy rozrzut strzałów połączony z „silnym” wnioskowaniem. Wówczas średnio 10–12 strzałów wystarcza do rozgryzienia całości. Ogólnie wyodrębniono dwa aspekty gry: taktyczny, polegający na wyciąganiu wniosków z informacji, oraz znacznie trudniejszy do realizacji – strategiczny, czyli kierowanie strzałów we właściwe, najlepsze miejsca.
Aktywni gracze odkryli też drobny mankament, który zapewne uszedł uwadze Lecha Pijanowskiego i Sida Sacksona. Okazało się, że istnieje podział niemożliwy do jednoznacznego ustalenia nawet mimo kompletu informacji uzyskanych po oddaniu wszystkich, czyli 49 strzałów. Co ciekawe, znajduje się on – bez komentarza – w Przewodniku gier Lecha Pijanowskiego (rys. 5).Po pierwsze warto zauważyć, że ciąg siedmiu odpowiedzi na strzały w każdym dwuwierszu tego podziału jest taki sam – (I-3, II-1), (I-2, II-2), (I-1, II-3), (II-2 ,III-2), (III-3, IV-1), (III-2, IV-2), (III-1, IV-3). Po drugie, dwuznaczność widoczna jest już po efektach kilku strzałów w kwadraty 2×2 przy lewym górnym rogu (rys. 6), a w rezultacie okazuje się, że układ „grzebieni” w każdej połowie diagramu może być dwojaki, co w sumie daje 4 różne rozwiązania całości. Prawdopodobnie taka „zębatka”, łącząca brzegi diagramu, jest jedynym podziałem, który prowadzi do niejednoznaczności, należy go więc unikać w grze.
Przed kilku laty na jednym z forów internetowych poświęconych grom próbowano znaleźć podział możliwy do rozszyfrowania w minimalnej liczbie strzałów. Odtworzenie znalezionego wówczas podziału proponuję potraktować jako trening przed zadaniami konkursowymi. Strzały, a więc i udzielone na nie odpowiedzi są cztery:
ab-67 – I-4
bc-78 – I-1, II-2, III-1
ef-45 – I-1, II-1, III-2
gh-12 – I-4.
Zadania
1. W dziecięcej odmianie LAP-u pole gry stanowi diagram 4×4, który dzielony jest tylko na dwie części 8-kratkowe. Ile w tej odmianie jest możliwych różnych podziałów diagramu? Za różne uznajemy także takie pary podziałów, z których jeden powstaje z drugiego w wyniku obrotu lub odbicia lustrzanego.
2. Diagram 8×8 podzielono na 16 4-kratkowych części (tetromin), po czym granice między częściami usunięto (rys. 7). Należy odtworzyć podział, korzystając z umieszczonych w diagramie liczb. Każda znajduje się w innym tetrominie i oznacza, ile w tym tetrominie jest „słabych” kratek. Słaba kratka to taka, która wiąże się z tetrominem tylko jednym bokiem. Gwoli jasności na rys. 7 u dołu jest komplet tetromin z oznaczonymi na niebiesko słabymi kratkami. W rozwiązaniu wystarczy podać, ile tetromin ma kształt litery L, uwzględniając także litery obrócone oraz odbite w lustrze.
3. Diagram 8×8 podzielono na osiem 8-kratkowych części, po czym granice między częściami usunięto (rys. 8). Należy odtworzyć podział, korzystając z liczb. Każda znajduje się w innej części i oznacza, z iloma częściami dana część styka się bokiem przynajmniej jednej należącej do niej kratki (nie uwzględniamy stykania się rogami). W rozwiązaniu wystarczy podać, ile z ośmiu części jest ośmiokątami.
4. W kończącym artykuł zadaniu treningowym należało, podobnie jak w grze, odtworzyć podział na podstawie podanych po strzałach informacji. Tym razem jest odwrotnie, czyli podział znamy (rys. 9), a zadanie polega na znalezieniu trzech i tylko trzech takich strzałów, aby wnioskując z udzielonych na nie odpowiedzi, można było zrekonstruować cały podział.
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 10/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Lepsza połowa. O genetycznej wyższości kobiet Sharona Moalema ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.
Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl
***
Rozwiązania zadań z numeru sierpniowego
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Andrzeja Fedorowicza 100 rzeczy, których nie wiesz o swoim ciele, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Małgorzata Bagińska z Białej Podlaskiej, Waldemar Karpiński z Nowego Miasta Lubawskiego, Martyna Kowalczyk z Chorzowa, Marta Polak z Wrocławia, Danuta Zając z Kępy.