Trójki pierwotne, czyli powrót Pitagorasa

Podobno Pitagoras wpadł na pomysł twierdzenia, które przyniosło mu powszechną i wieczną sławę, gdy wpatrywał się w pałacową posadzkę, czekając na audiencję u tyrana Samos Polikratesa. Nie wiemy, jak owa posadzka wyglądała, ale historycy architektury sugerują, że tworzyły ją małe i duże kwadraty rozmieszczone tak, jak na rys. 1a. Niebieskie linie na tym rysunku, przechodzące przez środki zielonych kwadratów i dzielące posadzkę na większe kwadraty, są elementem wirtualnym – domniemanym dziełem wyobraźni uczonego Greka. Nie ma wątpliwości, że powierzchnia każdego kwadratu z niebieskim brzegiem jest sumą powierzchni dwóch pozostałych – dużego zielonego i małego szarego. Jeśli niebieską siatkę przesuniemy tak, że jej węzły pokryją się z węzłami posadzki, to między liniami pojawią się jednakowe trójkąty prostokątne. Jeden z nich jest oznaczony na żółto na rys. 1b, a jego boki są bokami trzech różnych kwadratów. Zatem cała ta konstrukcja stanowi elegancki dowód słynnego twierdzenia, którego geneza być może taka właśnie była. Pewności nie ma, bo Pitagoras nie zapisywał swoich odkryć. Pewne jest tylko to, że pierwotna wersja twierdzenia nie miała formy algebraicznej – a²+b²=c². Przypominała raczej układankę, polegającą na takim rozcięciu dwóch kwadratów, by z wszystkich części dało się złożyć jeden większy kwadrat – albo odwrotnie. O tym, że sformułowanie twierdzenia w ogóle miało miejsce, świadczy ogólnikowa i nieprecyzyjna wzmianka w Żywocie Pitagorasa autorstwa greckiego filozofa z III wieku Porfiriusza: „Wiarygodni świadkowie opowiadają, że złożył w ofierze wołu z ciasta pszennego, kiedy to odkrył, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równa jest przyprostokątnym”.

Istnieją dowody, że niektóre konkretne liczby, stanowiące przykłady twierdzenia Pitagorasa, a więc zapewne i samo twierdzenie, znane były w Babilonii, Indiach i Egipcie na długo przed odkryciem greckiego matematyka. Dopiero jednak Euklides w Elementach, dziele powstałym w IV wieku p.n.e., zajął się bliżej stroną algebraiczną twierdzenia, czyli spełniającymi równanie a²+b²=c² tercetami liczb naturalnych [a, b, c], zwanymi dziś trójkami pitagorejskimi.

To, że imię Pitagorasa znane jest każdemu i kojarzy się z rzeczonym twierdzeniem, stanowi przede wszystkim zasługę Proklosa Ateńczyka, filozofa z V wieku, który komentując dzieła Euklidesa, przypisał pitagorejczykom, czyli uczniom i wyznawcom Pitagorasa – a w domyśle samemu ich Mistrzowi – poniższy sprytny „układankowy” dowód, że rozwiązań równania a²+b²=c² jest nieskończenie wiele.

Z n² kamyków formujemy kwadrat, a przy jego dwu sąsiednich bokach dodajemy otoczkę z 2n+1 kamyków, tworząc tym samym kwadrat o boku n+1 (rys. 2). Na rysunku n=3, więc 2n+1=7, jeśli jednak 2n+1 będzie kwadratem (2n+1=m²), to liczby kamyków tworzących kwadraty będą spełniać równanie m²+n²=(n+1)². Po podstawieniu n=(m²–1)/2 i przekształceniach otrzymamy wzór m²+[(m²–1)/2]²=[(m²+1)/2]², w którym dla każdego nieparzystego m>1 pojawiają się jako podstawy potęg liczby a, b, c tworzące trójkę pitagorejską, czyli a=m, b=(m²–1)/2, c=(m²+1)/2. Później pitagorejczycy wyprowadzili inny wzór dotyczący kwadratu z otoczką – ogólniejszy w tym sensie, że prawdziwy dla każdego dodatniego m. W tym nowym wzorze a=2m+1, b=2m²+2m, c=2m²+2m+1. Wąska otoczka powoduje, że oba wzory owocują tylko takimi trójkami, w których różnica między c i b równa jest 1. Dopiero Euklides podał w pełni ogólny wzór, a właściwie trzy wzory na wszystkie trójki pitagorejskie, które po drobnych modyfikacjach przetrwały do dziś: a=k(p²–q²), b=2kpq, c=k(p²+q²). Dowodów, że dla każdej trójki pitagorejskiej istnieją liczby naturalne dodatnie k, p, q (p>q), spełniające wzory Euklidesa, jest kilka. Oto jeden z nich – mało znany, a równocześnie krótki i przejrzysty. Zaczyna się serią przekształceń:

Następne jest podstawienie, prowadzące do układu równań:

Odejmując i dodając te równania stronami, otrzymamy:

A stąd końcowe wzory:

a=k(p²–q²), b=2kpq, c=k(p²+q²) dla dowolnego k.

Jeśli liczby a, b, c mają wspólny dzielnik d, czyli a=du, b=dv, c=dw, to oczywiście trójka [u, v, w] także jest pitagorejska. I odwrotnie: mnożąc każdą z liczb tworzących trójkę przez taką samą liczbę naturalną, otrzymamy inną trójkę pitagorejską. Na efektywność wzorów Euklidesa nie ma więc wpływu występujący w każdym z nich czynnik k ani jakikolwiek wspólny dzielnik liczb a, b, c. Można zatem przyjąć, że k=1, a liczby a, b i c są względnie pierwsze (ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1). Wówczas wzory Euklidesa zostaną skrócone do a=p²–q², b=2pq, c=p²+q². Warto zauważyć, że skoro a, b i c są względnie pierwsze, to również p i q muszą być względnie pierwsze i nie mogą być równocześnie parzyste ani nieparzyste. Trójki generowane przez wzory Euklidesa, w których liczby a, b i c są względnie pierwsze, zwane są pierwotnymi, a każda z nich jest protoplastką nieskończenie licznej rodziny trójek wtórnych – wystarczy a, b i c pomnożyć przez dowolną taką samą liczbę. Na przykład unikalna, bo złożona z dziewięciu różnych cyfr trójka wtórna [546, 728, 910] powstanie z najmniejszej i najbardziej znanej trójki pierwotnej [3, 4, 5], po pomnożeniu każdej jej liczby przez 182. Wątpiący w jej pitagorejskość mogą skorzystać z kalkulatora, aby sprawdzić, że 546²+728²=298 116+529 984=828 100=910². Trójka ta powstaje także, jeśli we wzorach Euklidesa podstawić liczby niewymierne – p=2√182, q=√182.

Trójek pierwotnych, w których największa liczba, czyli c, nie przekracza 100, jest 16. Wszystkie znajdują się w poniższej tabeli uszeregowane według rosnącej liczby c. Ogólnie liczba trójek pierwotnych, w których c<10ⁿ, dla n dążącego do nieskończoności, zmierza do 10ⁿ/2P=0,15915…×10ⁿ.

W tabeli widoczne są niektóre cechy charakterystyczne pierwotnych trójek, wynikające z wzorów Euklidesa i warunków dotyczących p i q: tylko b jest liczbą parzystą, zaś c nieparzystą postaci 4n+1; brak jest liczb należących do ciągu dwukrotności liczb nieparzystych (6, 10, 14, 18, …); różnica między a i b oraz między c i b może być równa 1 (par z taką różnicą jest nieskończenie wiele); liczby mogą być kwadratami, ale – co udowodnił Fermat – w danej trójce kwadratem może być tylko jedna.

Najmniejsza trójka – [3, 4, 5] – ma wyraźny wpływ na wszystkie pozostałe. Wpływ polega m.in. na tym, że w każdej trójce występuje liczba podzielna przez 3 (a lub b), liczba podzielna przez 4 (także a lub b) i liczba podzielna przez 5 (a, b lub c). Te trzy podzielności mogą być rozdzielone między trzy liczby, jak w trójce [33, 56, 65], między dwie – na przykład [5, 12, 13] – lub mogą skupiać się w jednej liczbie – na przykład [11, 60, 61]. Stąd wniosek: iloczyn liczb tworzących każdą trójkę jest wielokrotnością 60. Czy takie iloczyny mogą być jednakowe dla różnych trójek? Nie wiadomo. Dotąd żadnej pary trójek pierwotnych z identycznym iloczynem nie udało się znaleźć, ale też żaden teoretyk liczb nie udowodnił, że takowych nie ma.

Natomiast bardzo dużo jest duetów trójek pierwotnych z równymi iloczynami a×b – ta równość odpowiada parom trójkątów pitagorejskich o jednakowym polu. Para o równych najmniejszych polach (210; a×b=420) znajduje się na rys. 3a, zaś na rys. 3b jest tercet trójkątów pitagorejskich, których pola także są równe i najmniejsze (13 123 110). Takich bliźniaczych tercetów trójek pierwotnych znamy tylko sześć; kwartetów prawdopodobnie nie ma, a ściślej komputery nie znalazły żadnego w zakresie liczb do 10¹⁷.

Inny przejaw dominacji trójki [3, 4, 5] nad pozostałymi stanowi jej „patriarchalny charakter”. Jest ona korzeniem drzewa genealogicznego trójek pierwotnych, którego strukturę ustalił w roku 1934 szwedzki matematyk Bo Berggren. Właściwie drzewo trójek [a, b, c] stanowi „szczep” drzewa par [p, q] (rys. 4). W tym drzewie każda para [p, q] rodzi trzy nowe pary: [2p-q, p], [2p+q, p], [2q+p, q]. Z kolei te pary generują, zgodnie ze wzorem Euklidesa, drzewo trójek pierwotnych (rys. 5). Dowód, że powstaje drzewo „szlachetne”, czyli z właściwym i kompletnym zbiorem trójek, jest dość prosty, ale zbyt obszerny, aby go tu przedstawiać.

W różnych trójkach pierwotnych liczby mogą się powtarzać. W tabeli dwukrotnie występują trójki z b=12 oraz c=65 i 85. Brak jest powtórki a, bo pojawia się ona dopiero przy b i c>100, dla p=8 i q=7 (a=15, b=112, c=113). Ogólny wzór na liczbę powtórzeń jest prosty – L=2^k-1, ale nieco zawiłe jest objaśnienie symbolu k, zwłaszcza że trzeba uwzględnić wyjątki. Aby znaleźć wartość k, należy rozłożyć a, b lub c na czynniki pierwsze. Dla liczby a lub b k równe jest liczbie różnych czynników. Wyjątkiem są liczby b niepodzielne przez 4, dla których L=0. Natomiast w rozkładzie liczby c do k wliczane są tylko różne czynniki pierwsze postaci 4n+1, przy czym jeśli oprócz nich występują czynniki postaci 4n–1, to powyższy wzór nie ma zastosowania – wtedy również L=0.

Na przykład, jeśli przyjmiemy a=315=3²×5×7, to liczba ta pojawi się jako a w 2^3–1=4 trójkach pierwotnych – [315, 572, 653], [315, 988, 1037], [315, 1972, 1997], [315, 49612, 49613]. Jeśli jednak 315 wystąpi w roli c, to obecność wśród czynników pierwszych liczby 3, a więc postaci 4n–1, spowoduje brak trójki pierwotnej z c=315. Gdyby jedynkę w 315 zastąpić zerem, wówczas c=305=5×61 zagościłoby w dwóch trójkach – [136, 273, 305], [207, 224, 305]. I jeszcze przykład z b=840=2³×3×5×7 – tu różne czynniki są cztery, więc L=2^4–1=8. Natomiast trójki pierwotnej z b=830 nie ma, bo to liczba niepodzielna przez 4.

W przeciwieństwie do iloczynów sumy trójek pierwotnych mogą się powtarzać, ale duplikaty pojawiają się wśród sum niczym rodzynki w cieście. Dwie trójki z jednakową sumą odpowiadają oczywiście parze trójkątów pitagorejskich o jednakowym obwodzie. Najmniejszy wspólny obwód – 1716 – mają dwa trójkąty na rys. 6. Jakie są długości boków tych trójkątów, nietrudno obliczyć, korzystając z wzorów Euklidesa oraz z informacji, że obwód wyraża się wzorem 2p×(p+q).

Zadania

1. W ciągu rosnącym, utworzonym z liczb całkowitych dodatnich, każde dwa kolejne wyrazy a<b spełniają równanie a²+b²=c². Jaki jest dziesiąty wyraz w tym ciągu, zakładając, że jest on najmniejszym możliwym?

2. Wśród cyfr tworzących 5-cyfrową liczbę c² są tylko dwie różne. Po pozbawieniu tego kwadratu dwu końcowych cyfr pozostaje 3-cyfrowa liczba, będąca iloczynem dwu kolejnych liczb naturalnych. Jeśli c²=a²+b², to jakimi liczbami są a, b i c?

3. Jedna z modyfikacji trójek pierwotnych wyraża się wzorem a²+b²=xc², gdzie b≥a>1, x>1. Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, których liczbę można ograniczać, konkretyzując wartość x. Proszę znaleźć 3-cyfrowe wartości a i b, jeśli x=ab+1.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 10/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Roberta Geretschlägera, Charlesa Li, Alfreda S. Posamentiera, Christiana Spreitzera Matematyka, jakiej nie znacie. Ciekawostki i perełki, o których nie uczą w szkole ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru sierpniowego

1. 4102 to jedyna 4-cyfrowa liczba, której każda n-ta cyfra oznacza, ile w tej liczbie jest liczb (przynajmniej dwucyfrowych) podzielnych przez n+1.

2. Suma cyfr na obu przekątnych – 33; liczby w rzędach (od góry): 4-3-5-1-4-4/1-3-4-2-4-1/3-3-1-2-2-2/2-3-3-1-2-3/3-1-2-2-2-4/4-4-5-2-3-4.

3. Suma cyfr na obu przekątnych – 50.

4. Suma dwucyfrowych liczb w szarych polach – 174 (17+32+27+21+17+12+29+19).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Elastyczny mózg. Kreatywne myślenie w czasach niepewności i chaosu Leonarda Mlodinowa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Mariusz Dettlaff z Ostrowa, Krzysztof Jawor z Krynicy-Zdroju, Marcin Kowalczyk z Łomianek, Alex Makulski z Warszawy, Grzegorz Żukociński z Lublina.