Arytmetyka parami, czyli mnożenia z oczkami

Otrzymaliśmy interesującą łamigłówkę od czytelnika z Filadelfii – pisał Ernest Dudeney w rubryce poświęconej rozrywkom umysłowym w październikowym numerze miesięcznika Strand Magazine z 1929 roku. – Cztery kamienie domina można umieścić tak, by powstało mnożenie (sumy oczek na ich połówkach traktujemy jak cyfry); gwoli jasności przykład (rys. 1):

Zadanie polega na utworzeniu siedmiu takich mnożeń z pełnego kompletu 28 kamieni (rys.2). Ze zbudowaniem sześciu można się uporać, lecz nie udaje się ułożyć siódmego z czterech ostatnich kamieni. A jednak jest to możliwe, co czyni zadanie frapującym. Mnożna i iloczyn nie mogą zaczynać się „mydłem”, czyli zerem.

Kilka miesięcy później Dudeney zmarł, a zadanie znalazło się w wydanym w 1931 roku zbiorze Puzzles and Curious Problems, skąd trafiło na łamy wielu publikacji na całym świecie. W Polsce debiutowało w 1956 roku w tłumaczonej z rosyjskiego książce Rozrywki matematyczne Borysa Kordiemskiego. Nie ma go wśród zadań dominowych w klasycznych zbiorach Szczepana Jeleńskiego Lilavati i Śladami Pitagorasa, bo oba ukazały się po raz pierwszy przed rokiem 1929.

W gruncie rzeczy łamigłówka sprzed 90 lat jest pasjansem – i to takim, który niezwykle rzadko wychodzi. Polega na wybieraniu w kolejnych krokach ze stopniowo uszczuplanego kompletu domina odpowiednich czterech kamieni – takich, które składają się na mnożenie. Początkowo możliwości jest dużo, nawet za dużo, zwłaszcza że kryterium najlepszego wyboru nie sposób ustalić. Potem jest coraz trudniej i zabawa staje się dość żmudna. Można ją także potraktować jak krótką rozgrywkę, w której dwie osoby na przemian wybierają po cztery kamienie i tworzą z nich mnożenie. Kto pierwszy nie będzie mógł wykonać ruchu – przegrywa. Ciekawa, ale i bardzo trudna wydaje się analiza takiej gry, czyli odpowiedź na pytanie: kto może zapewnić sobie zwycięstwo – rozpoczynający czy jego przeciwnik? Wiele wskazuje na to, że do siódmego mnożenia dobrnął tylko autor rozwiązania opublikowanego w 1929 roku, bo powtarza się ono bez komentarza we wszystkich późniejszych różnojęzycznych publikacjach (rys. 3), a to sugeruje, że rozwiązanie jest tylko jedno, jeśli pominąć możliwość nieco innego ułożenia kamieni w pierwszym mnożeniu (500×2 zamiast 200×5=1000).

Jeśli taki pasjans lub grę uznać za zadanie, to na logikę uda się co nieco ustalić. Po pierwsze – zakresy liczb: mnożnej – od 200 do 666, mnożnika – od 2 do 6, iloczynu – od 1000 do 3630 (605×6; w mnożeniach z większymi iloczynami kamienie powtarzają się). Po drugie – położenie niektórych kamieni lub ich połówek, czyli cyfr. Na przykład: dla kamienia 0–0 jest tylko jedno miejsce, podobnie dla 1–1; pionowo nie może leżeć żaden kamień, iloczyn cyfr na połówkach którego kończy się cyfrą większą od 6 (2–4, 3–3, 3–6) itp.

Jeżeli uzbroić się w cierpliwość, można nawet określić wszystkie dozwolone dominowe mnożenia, czyli uwzględniające zakres cyfr od 0 do 6 oraz niepowtarzalność kamieni. Takich mnożeń jest 406. Można także wypisać wszystkie tworzące je różne kwartety kamieni – tych jest tyle, ile dni w roku nieprzestępnym, czyli mniej, ponieważ niektóre kwartety są surowcem dwóch mnożeń, a kilka nawet trzech, np. [0–1, 2–3, 2–5, 4–6] (rys. 4). Niestety, żadne z tych ustaleń nie przybliża rozwiązania. Zadanie sprowadza się wówczas do wyboru spośród 365 kwartetów siedmiu złożonych z 28 różnych kamieni. W tej sytuacji niezbędne staje się wsparcie komputerowe. Udało mi się namówić doświadczonego programistę na rozprawienie się z tym zadaniem, czyli potwierdzenie lub obalenie przypuszczenia, że krążące po świecie od blisko wieku rozwiązanie jest unikatowe. Spodziewałem się obalenia, ale konkretny efekt był dużym zaskoczeniem. Okazało się bowiem, że rozwiązań jest… 3236. Ten wynik to jednak kropla w oceanie w porównaniu z liczbą blisko 160 bilionów (1,6×10¹⁴) wszystkich 7-elementowych podzbiorów zbioru 365-elementowego, czyli kombinacji bez powtórzeń, więc nic dziwnego, że aby dotrzeć „na piechotę” do siódmego mnożenia trzeba mieć mnóstwo szczęścia.

Programista zapytał półżartem, przesyłając mi rozwiązania, czy przy okazji pisania o zadaniu zamierzam je wszystkie opublikować. Początkowo planowałem ograniczyć się do dwóch ekstremalnych – jednego, w którym największy z siedmiu iloczynów jest najmniejszym możliwym i drugiego z maksymalnym najmniejszym iloczynem. Wyszukanie takich rozwiązań okazało się jednak ekstremalnie trudne. Postanowiłem zatem ograniczyć się do jednego wyjątkowego inaczej: są w nim trzy mnożenia, z których każde zawiera wszystkie cyfry od 0 do 6, a więc powtarza się tylko jedna – 0, 1 lub 2 (rys. 5). Innego rozwiązania z trzema (lub więcej) takimi kwartetami nie ma.

Jak samo istnienie domina owocuje mnóstwem związanych z nim ciekawych zadań, czy nawet zagadnień matematycznych, tak powyższa konkretna łamigłówka stanowi inspirację do pokrewnych rozważań. Utworzone z czterech kamieni mnożenie liczby 3-cyfrowej przez 1-cyfrową, dające 4-cyfrowy iloczyn można uznać za jedno z ciągu podobnych słupkowych mnożeń układanych z domina, w których mnożnik pozostaje 1-cyfrowy, ale mnożna jest n-cyfrowa, a iloczyn (n+1)-cyfrowy (n≥1), zaś liczba kamieni równa (2n+2)/2=n+1. Właściwie takie ciągi są dwa, różniące się nieznacznie położeniem kamienia z mnożnikiem i dwóch sąsiednich: jeden tworzą mnożenia utworzone z parzystej liczby kamieni (rys. 6 u góry), drugi – z nieparzystej (rys. 6 u dołu).

4-kamienne żółte mnożenie jest „bohaterem” zadania Dudeneya, ale teoretycznie mogłyby nim być także niektóre inne złożone z liczby kamieni, będącej dzielnikiem 28. Praktycznie nie uda się jednak ułożyć 14 słupków 2-kamiennych, bo wszystkich jest tylko 10 (rys. 7). Kuszące wydają się natomiast słupki z 3 kamieni, jak zielony na rys. 6, bo choć 28 nie dzieli się przez 3, to jednak występuje pewna sprzyjająca okoliczność: kamień 0-0 nie trafi do żadnego mnożenia, więc i tak należy go odrzucić, a z pozostałych 27 spróbować utworzyć dziewięć 3-kamiennych mnożeń. Zadanie nie jest tak żmudne, jak Dudeneya, a co najistotniejsze i zaskakujące – ma tylko jedno rozwiązanie (rys. 8).

Czy równie elegancka jest swego rodzaju odwrotność zadania sprzed 90 lat, polegająca na ułożeniu z kompletu domina czterech 7-kamiennych mnożeń, a więc o schemacie takim, jak różowe na rys. 6? Nie wiadomo. Komputery dotąd się z tym nie zmagały, ale intuicja podpowiada, że rozwiązania nie ma, podobnie jak nie wydaje się możliwe ułożenie jednego mnożenia z 28 kamieni – z 27-cyfrową mnożną, 1-cyfrowym mnożnikiem i 28-cyfrowym iloczynem. Przy tak długich liczbach szansa uniknięcia w iloczynie cyfr większych od 6, przy równoczesnej konieczności występowania w całym działaniu każdej z cyfr od 0 do 6 ośmiokrotnie, nie wspominając o innych warunkach – jest bliska zeru. Być może ktoś pokusi się o dowód, że jest to niemożliwe.

Jeśli mnożnik składa się z dwu lub więcej cyfr, to zastąpienie kamieniami domina pełnego mnożenia w słupku bywa problematyczne. Przy dwucyfrowych czynnikach, z których żaden nie kończy się zerem, każdy z dwu iloczynów cząstkowych może składać się z 2 lub 3 cyfr, a iloczyn będzie 3- albo 4-cyfrowy. To daje 6 schematów zapisu mnożeń w słupku (rys. 9); kratki na schematach odpowiadają cyfrom, a więc równocześnie połówkom kamieni.

Żadnego z tych schematów nie uda się pokryć kamieniami domina, ponieważ albo liczba kratek jest nieparzysta (żółte), albo ze względu na konieczność pojawienia się w różowej kratce cyfry większej od 6, albo wreszcie z powodu różnej liczby szarych i białych kratek przy potraktowaniu schematów jako fragmentów szachownicy (każdy kamień pokrywa białą i szarą kratkę, więc białych i szarych powinno być tyle samo).

Łatwo sprawdzić, że nieukładne są także schematy działań, gdy mnożna jest 3-cyfrowa, a mnożnik 2-cyfrowy. Kiedy jednak zastosujemy niezalecany, ale nie błędny zapis mnożenia w słupku, w którym mnożna jest krótsza od mnożnika, wówczas pojawi się pięć układnych schematów z trzema iloczynami cząstkowymi. Przykład jednego z nich w postaci konkretnego dominowego działania – na rys. 10.

Począwszy od mnożeń, w których czynniki składają się z sześciu cyfr, a mnożnik jest przynajmniej 2-cyfrowy, wśród słupkowych schematów zawsze znajdą się układne. Mimo to tworzenie konkretnych działań jest coraz trudniejsze ze względu na rosnącą liczbę cyfr, a więc także konieczność korzystania z coraz większej liczby kamieni. Nie wiadomo, ile kamieni stanowi granicę praktycznej układności. Główny, choć nie jedyny warunek ograniczający, wiąże się oczywiście z brakiem cyfr większych od 6. Trudność sprawia zwłaszcza unikanie dużych cyfr w iloczynach cząstkowych po ich wyeliminowaniu z czynników i z wyniku końcowego. Nierzadko na przeszkodzie staje także powtarzalność kamieni, która stanowi istotne ograniczenie również w spokrewnionym z mnożeniem osobliwym dominowym potęgowaniu. Najdłuższe znane składa się z siedmiu kamieni (rys. 11 u góry). Wynik potęgowania może być wprawdzie dłuższy, ale wówczas w całym działaniu powtórzy się jakiś kamień, jak np. 0–3 na rys. 11 u dołu.

ZADANIA

1. Korzystając z ośmiu kamieni – w tym z sześciu dubletów (rys. 12) – należy ułożyć dwa mnożenia: jedno z trzech kamieni (jak zielone na rys. 6), drugie z czterech innych (jak żółte na rys. 6). W rozwiązaniu wystarczy podać, który z ośmiu kamieni nie znajdzie się w żadnym mnożeniu.

2. Na rys. 13 znajduje się schemat zapisu słupkowego mnożenia 2-cyfrowej mnożnej przez 3-cyfrowy mnożnik – ułożony z domina, ale bez oznaczonych granic między kamieniami. Jakimi liczbami są mnożna i mnożnik, jeżeli w zapisie występuje przynajmniej raz każda z cyfr od 0 do 6?

3. W ułożonym z różnych kamieni domina zapisie w słupku mnożenia dwu liczb trzycyfrowych ostatnią cyfrą mnożnika nie jest „mydło”, czyli zero, a mnożna jest apokaliptyczną Liczbą Bestii, czyli równa się 666. Jaką liczbą jest mnożnik?

4. Z siedmiu mnożeń utworzonych z kompletu domina usunięto tuzin kamieni widocznych pod mnożeniami (rys. 14). Należy przywrócić kamienie na właściwe miejsca, czyli tak, aby mnożenia były poprawne – jak pierwsze bez braków. W rozwiązaniu wystarczy podać kolejne sześć wstawionych kamieni-mnożników w kolumnie wskazanej strzałką.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 maja br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 5/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Maxa Tegmarka Życie 3.0. Człowiek w erze sztucznej inteligencji ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru marcowego

1. Do dowolnej liczby 4-cyfrowej trzeba dopisać co najmniej 10 cyfr, aby zawsze możliwe było utworzenie w ten sposób jakiegoś sześcianu (13-cyfrowego).

2. Sześcianu na pewno nie uda się przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych.

3. Trzy przykłady (pierwszy był podany w zadaniu) równości sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych podniesionej do kwadratu i różnicy sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych: (2²+3²)²=8³-7³, (9²+10²)²=105³-104³, (35²+36²)²=1456³-1455³=6355441.

4. Liczby w poziomych rzędach krzyżówki: 64, 5832, 1521, 2916.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Daniela L. Everetta Jak powstał język. Historia największego wynalazku ludzkości, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Marcin Chomenko z Gdańska, Mirosław Garnowski z Pasłęka, Ryszard Hołojda z Legnicy, Anna Kochanowska z Łozisk, Kajetan Siepielski z Poznania, Jacek Trepkowski z Krakowa.