Wiązanka narcyzów, czyli o odbijaniu się liczb

Początek roku jest okazją do zabaw arytmetycznych z liczbą oznaczającą dany rok. Takie zabawy goszczą od dawna w działach rozrywkowych niektórych czasopism, głównie popularnonaukowych, w wielu krajach, zwykle w formie konkursów. Pojawiają się także na stronach internetowych. Miały wzięcie zwłaszcza w latach 70., a ich forma bywała różna, choć zazwyczaj obejmowały jedną z trzech „konkurencji”.

Pierwsza polega na układaniu działań, których wynikiem są kolejne liczby naturalne, a każde działanie może zawierać wyłącznie cztery cyfry tworzące dany rok oraz dowolne z pięciu rodzajów działań arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) i nawiasy. Efekty takiej zabawy dla minionego roku, w zakresie od 1 do 28, przedstawione są w tabeli 1. Jak widać, pierwszą liczbą, której nie uda się zapisać działaniem, jest 23, a dalej takich wyłamujących się liczb będzie oczywiście coraz więcej.

Druga konkurencja nawiązuje do klasycznej łamigłówki rachunkowej, zaczynającej się od szablonu:

123456789=100

Między niektórymi cyframi po lewej stronie należy rozmieścić znaki – dozwolone są cztery podstawowe działania i nawiasy – tak, aby powstała poprawna równość. Rozwiązań jest wiele, ale z minimalną liczbą znaków, czyli trzema, tylko jedno:

123–45–67+89=100

W „liczborocznej” wersji tego zadania po prawej stronie pojawia się rok. Jeśli będzie nim ubiegły, to w unikalnym, eleganckim rozwiązaniu znajdą się tylko cztery znaki:

12×34×5+67–89=2018

Pięć lat wcześniej rozwiązanie było jeszcze bardziej godne uwagi nie tylko ze względu na zaledwie trzy znaki:

12/34*5678+9=2013

Trzecia konkurencja nieco przypomina pierwszą. Zwana jest narcystyczną, ponieważ po obu stronach znaku równości występują te same cyfry, a więc druga strona jakby „odbija się” w pierwszej niczym oblicze zakochanego w sobie mitycznego Narcyza w tafli wody. Oryginał i odbicie różnią się jednak tym, że cyfry po lewej stronie tworzą rok, a po prawej – działanie. Gdyby jednak po prawej stronie miały być tylko cztery cyfry, to rozwiązanie, czyli poprawna równość, byłoby dopiero za 29 lat: 2048=8⁴/2+0. Stąd uściślenie: w działaniu powinny być cztery cyfry tworzące rok, ale mogą się one powtarzać. Liczba powtórek powinna być jednak minimalna. Ponadto, aby uniknąć rozwiązań trywialnych (np. dla roku 2018: 2010+8, 201×10+8 lub 20×100+18), w działaniu wykluczone są liczby cztero- i trzycyfrowe. Przy takich warunkach rozwiązanie dla roku 2018 musi składać się z co najmniej siedmiu cyfr, czyli zawierać trzy powtórki, na przyład prawie trywialne 2018=2×10²⁺¹+18. Z rokiem bieżącym powtórek może być o jedną mniej – 2019=2¹⁰⁺¹–29.

Zajmiemy się bliżej grupą liczb związanych z trzecią konkurencją, zwanych ogólnie narcystycznymi, choć określenie to tradycyjnie zarezerwowane jest dla jednego rodzaju tych liczb – potęgowych, czyli takich, które są sumą potęg tworzących je cyfr. Właściwie ścisłe grono „klasycznych narcyzów” jest jeszcze węższe – obejmuje liczby n-cyfrowe równe sumie n-tych potęg swoich cyfr. Takimi są oczywiście wszystkie liczby jednocyfrowe, bo każda z nich jest pierwszą potęgą samej siebie. Dla odmiany żadna liczba 2-cyfrowa nie jest sumą kwadratów jej cyfr, co nietrudno sprawdzić. Można też tego dowieść, czyli wykazać, że równanie 10x+y=x²+y² nie ma rozwiązania dla 1≤x, y≤9. Dowód zaczyna się od przekształcenia równania do postaci:

x (10–x) =y (y–1)

Prawa strona tego równania musi być liczbą parzystą, bo parzyste jest y lub y–1, więc lewa także jest parzysta. A skoro tak, to parzyste są zarówno x, jak i 10–x. To z kolei prowadzi do wniosku, że obie strony są podzielne przez 4, a zatem przez 4 podzielna jest liczba y lub y–1, bo jedna z nich jest nieparzysta. Jeśli y=4 lub 8, to y (y–1)=12 lub 56; jeśli zaś y–1=4 lub 8, to y (y–1)=20 lub 72. Łatwo jednak sprawdzić, że dla żadnego całkowitego x lewa strona nie może być równa 12, 20, 56 ani 72.

Uogólniając: żadna liczba naturalna większa od 1 nie jest równa sumie kwadratów swoich cyfr, a poczynając od liczb 3-cyfrowych każda jest od sumy kwadratów swoich cyfr większa. Wśród liczb 3-cyfrowych są także najbardziej znane „klasyczne narcyzy”, czyli, zgodnie z definicją, równe sumie sześcianów tworzących je cyfr. Takie liczby są tylko cztery i wszystkie debiutowały w roku 1937 na łamach poświęconego matematyce rekreacyjnej belgijskiego czasopisma Sphinks: 153 (1³+5³+3³), 370, 371, 407. W niektórych publikacjach gości łamigłówka, polegająca na ich szukaniu „na piechotę”, ale to dość mozolna wędrówka, nawet jeśli skorzystać z paru dróg na skróty.

Kolejnymi klasykami są 4-cyfrowe sumy czwartych potęg swoich cyfr, potem 5-cyfrowe piątych potęg, 6-cyfrowe szóstych, … itd. (tabela 2). Jak długo można? Czy np. są liczby 100-cyfrowe równe sumie setnych potęg tworzących je cyfr? Okazuje się, że nie, bowiem teoretycznie ta parada musi się skończyć na liczbach 60-cyfrowych (ściśle rzecz biorąc, nawet 59-cyfrowych), ponieważ dla n>60 n×9ⁿ<10^n-1. Oznacza to, że suma potęg (wykładnik większy od 60) cyfr, tworzących liczbę ponad 60-cyfrową, jest zawsze „krótsza” od tej liczby. Praktyczny finał ma jednak miejsce znacznie wcześniej – są nim dwie liczby 39-cyfrowe; większa z nich to 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401. Wcześniej występuje też sporo braków, bo nie ma takich liczb złożonych z 12, 13, 15, 18, 22, 26, 28, 30 i 36 cyfr.

Wszystkich klasycznych narcyzów jest 88. Są one jednym z rodzajów wspomnianych wcześniej potęgowych liczb narcystycznych (PLN), czyli równych sumie potęg swoich cyfr; uwzględniamy także pierwszą potęgę, lecz wykluczamy zerową. Każda liczba jednocyfrowa jest PLN, ale dalej nie ma ich tak wiele, jak można by się spodziewać. 2-cyfrowe są tylko cztery (24=2³+4², 43=4²+3³, 63=6²+3³, 89=8¹+9²), 3-cyfrowych jest 36, 4-cyfrowych – 436. Wśród liczb mniejszych od miliona tylko 3% stanowią PLN (dla porównania – liczb pierwszych jest blisko 8%). Rozkładanie tych krótszych, 3- lub 4-cyfrowych, na sumę potęg może być przyjemną, choć nieprostą łamigłówką. Proszę np. spróbować ustalić, która z liczb 379, 739, 937 nie jest PLN.

Amatorzy liczbowych osobliwości wyróżniają, poza klasycznymi, przynajmniej dwa inne specyficzne rodzaje PLN. Pierwszy stanowi rozszerzenie klasycznych o takie liczby, które są sumami potęg ich cyfr o wykładnikach między sobą równych, ale niekoniecznie równych liczbie cyfr. Najmniejszą nieklasyczną jest wśród nich 4150=4⁵+1⁵+5⁵+0⁵. Warto przy tej okazji zauważyć, że niektóre PLN, podobnie jak liczby pierwsze bliźniacze, chadzają parami: jeśli PLN kończy się zerem, to liczba o 1 od niej większa także jest PLN. W tym przypadku 4151=4⁵+1⁵+5⁵+1⁵ (takim „starszym” bliźniakiem jest także podana wyżej największa 39-cyfrowa klasyczna PLN). Liczb tego rodzaju mniejszych od 39-cyfrowych, czyli dopełniających zbiór klasycznych PLN, jest 26, ale nie wiadomo, czy wszystkich jest nieskończenie wiele.

W drugim rodzaju PLN wykładniki potęg są różne, ale każdy równy jest kolejnemu miejscu w n-cyfrowej liczbie cyfry, przy której się znajduje. Inaczej mówiąc, kolejne wykładniki tworzą ciąg liczb naturalnych od 1 do n. Takich liczb jest 20. Połowa z nich to wszystkie jednocyfrowe; dziewięć następnych z działaniami tworzy piramidkę:

89=8¹+9²

135=1¹+3²+5³

175=1¹+7²+5³

518=5¹+1²+8³

598=5¹+9²+8³

1306=1¹+3²+0³+6⁴

1676=1¹+6²+7³+6⁴

2427=2¹+4²+2³+7⁴

2646798=2¹+6²+4³+6⁴+7⁵+9⁶+8⁷

Ostatnia zapisana z działaniem byłaby zbyt długą podstawą piramidki, bowiem jest 20-cyfrowym gigantem: 12 157 692 622 039 623 539.

Inne rodzaje PLN są rzadkimi okazami. Najbardziej znane to cztery liczby Münchhausena. Nazwa wiąże się z niezwykłą przygodą powieściowego barona, który podniósł sam siebie za włosy, wyciągając się w ten sposób z trzęsawiska. Podobnie w sumie potęg cyfr, tworzących liczbę 3435, każda jakby sama podnosi się do potęgi, czyli podstawa i wykładnik są identyczne:

3435=3³+4⁴+3³+5⁵. Trzy pozostałe liczby Münchhausena to 0, 1 i 438 579 088, ale zero tylko jeżeli umówimy się, że 0⁰=0 (w rzeczywistości 0⁰ jest symbolem nieoznaczonym)..

Jeśli przyjąć, że miarą narcyzmu jest wierność odbicia, to wykładniki potęg PLN są ich słabą stroną. Za bliższe ideałowi wypada uznać tzw. liczby Reachera (od nazwiska bohatera powieści Lee Childa), które także można zaliczyć do PLN, ale będące w pewnym sensie ich przeciwieństwem. Stanowią one bowiem nie sumę potęg swoich cyfr, lecz potęgę sumy cyfr, wykładnik pojawia się więc tylko raz. Przewodzi im ulubiona liczba Jacka Reachera 81= (8+1)² – pierwsza 2-cyfrowa, choć poprzedzają ją wszystkie jednocyfrowe. Piramidka dziesięciu następnych potęg z działaniami wygląda tak:

512= (5+1+2)³=8³

2401= (2+4+0+1)⁴=7⁴

4913= (4+9+1+3)³=17³

5832= (5+8+3+2)³=18³

17 576= (1+7+5+7+6)³=26³

19 683= (1+9+6+8+3)³=27³

234 256= (2+3+4+2+5+6)⁴=22⁴

390 625= (3+9+0+6+2+5)⁴=25⁴

614 656= (6+1+4+6+5+6)⁴=28⁴

1 679 616= (1+6+7+9+6+1+6)⁴=36⁴

Na uwagę zasługują liczby Reachera zakończone długim ciągiem zer z dużym wykładnikiem potęgi sumy cyfr. Pierwszą taką liczbą jest

81 920 000 000 000 000= (8+1+9+2+0+…+0)¹³=20¹³.

Kolej na liczby, których odbicie jest najbliższe oryginałowi, czyli są najbardziej narcystyczne, choć zwykle określa się je inaczej. Jedna z nich pojawiła się już wcześniej – to 2048=8⁴/2+0. Takie liczby, których zapis w postaci działania zawiera dokładnie tyle i takie cyfry, jakie tworzą daną liczbę, a „intruzami” są tylko znaki niebędące cyframi (cztery podstawowe działania i nawiasy) – noszą nazwę liczb Friedmana (LF). Erich Friedman, matematyk amerykański, jest od kilkunastu lat ich głównym „poszukiwaczem”, choć kilka LF debiutowało znacznie wcześniej. W roku 1899 Ernest Dudeney opublikował w tygodniku Weekly Dispatch zadanie, polegające na znalezieniu takiej 4-cyfrowej liczby X równej iloczynowi liczb 2-cyfrowych Y i Z, aby liczba X i iloczyn Y×Z składały się z takich samych czterech cyfr. Rozwiązań jest sześć:

1260=21×60

1395=15×93

1435=35×41

1530=30×51

1827=21×87

2187=27×81

Dla takich liczb – gdy w obu czynnikach po prawej stronie jest tyle samo cyfr – amerykański popularyzator nauki Clifford Pickover zaproponował dziwną i mocno naciąganą nazwę: liczby wampirze (LW). Nazwa, niestety, przyjęła się, a nawet została rozszerzona na wszystkie iloczynowe LF, czyli takie, w których „rozkładzie” jedynym działaniem jest mnożenie. LW w szerszym znaczeniu stanowią zdecydowaną większość LF – do miliona ponad 85%. Warto jednak zauważyć, że mogą „rozmnażać się” w prosty sposób – każda generuje następczynię przez dopisanie zera na końcu albo w odpowiednim miejscu w środku. Na przykład, najmniejsza 126=6×21 owocuje nieskończonym ciągiem LW: 1206, 1260, 12 006, 12 060, 12 600, 120 006, 120 060, 120 600, 126 000… Należałoby więc mówić o LW pierwotnych i wtórnych. Pierwotnych jest znacznie mniej niż wszystkich LW, np. 3- i 4-cyfrowych tylko 10:

126=6×21

153=3×51

688=8×86

1255=5×251

1395=15×93

1435=35×41

1827=21×87

2187=27×81

3159=9×351

3784=8×473

Nie każda LW z zerem jest wtórna; najmniejsza pierwotna to 10 251=51×201, bo 1251 nie jest LW.

Prawie każda LW z zerem na końcu jest wtórna i można ją przedstawić działaniem na co najmniej dwa sposoby, np. 1260=21×60=6×210. Prawie, bo wyjątki, czyli pierwotne LW zakończone zerem, są wielką rzadkością – cztery najmniejsze to 25 510=5×5102, 45 760=65×704, 67 950=75×906 i 13 6590=3×5×9106. Rarytasami są także pierwotne LW bez zera, zapisywane działaniem dwojako – najmniejszą jest 1395=15×93=5×9×31. Ciekawe, że w iloczynie trzech liczb cyfry występują w odwrotnej kolejności niż w liczbie 1395, co kojarzy się z rzeczywistym odbiciem, bo w lustrze strony prawa i lewa zamieniają się miejscami. Takich „lustrzanych” LW jest nieskończenie wiele, poczynając od trzech najmniejszych trzycyfrowych LW podanych wyżej. Nie ma LW z mnożeniem, w którym kolejność cyfr byłaby taka sama jak w liczbie (tego przypadku dotyczy jedno z zadań konkursowych). Są natomiast LF o takiej własności, a najbardziej eleganckie z nich można by uznać za przejściowe między LW a innymi LF i nazwać potęgowymi LW, gdyby nie były znane pod inną nazwą – jako liczby-błędy drukarskie (LBD). Określenie to wiąże się z opublikowanym przez Dudeneya w 1912 r. w The Strand Magazine zadaniem, w którym LBD debiutowały:

Drukarz miał złożyć mnożenie 5⁴×2³, czyli 625×8, co równa się 5000. Niestety, pomylił się, ściągając w dół wykładniki i pomijając znak mnożenia, czyli złożył 5423. Jakie cyfry (podstawy i wykładniki potęg) powinny występować w mnożeniu, aby mimo takiej samej pomyłki błędu rachunkowego nie było?

Bez komputerowego wsparcia zadanie to wymaga żmudnych obliczeń, więc zwykle publikowane jest tylko jego rozwiązanie jako liczbowe curiosum – 2⁵×9²=2592 (w takiej formie znajduje się w Lilavati Szczepana Jeleńskiego, książce niemal kultowej, wydanej po raz pierwszy w 1926 roku, wielokrotnie wznawianej). Nie ma innej LBD zapisywanej jako iloczyn potęg, ale komputery wyłowiły wiele LBD, w zapisie których poza potęgami czynnikami są liczby bez wykładników. Do miliona takich osobliwości jest jednak tylko sześć:

34 425=3⁴×425

35 721=3⁵×7×21

312 325=31²×325

344 250=3⁴×4250

357 210=3⁵×7×210

492 205=49²×205

Warto zauważyć, że dwie z nich są blisko spokrewnione z dwiema poprzednimi. Różnią się tylko końcowym zerem. To podobna sytuacja, jak w przypadku pierwotnych i wtórnych LW.

Ukoronowaniem rachunkowego narcyzmu są oczywiście wspomniane LF, czyli liczby Friedmana, w zapisie działaniem których wszystkie podstawowe chwyty są dozwolone. Komplet chwytów (cztery podstawowe działania, potęgowanie, nawiasy) zawarty jest w zapisie dwudziestej i dwudziestej pierwszej LF:

1285= (1+2⁸)×5

1296=6 ^(9–1)/2

Dwudziesta liczba należy, podobnie jak wszystkie LBD, do tzw. układnych LF, bo kolejność cyfr w zapisie jest taka sama, jak w liczbie. Tylko trzy mniejsze od niej są układne:

127=–1+2⁷

343= (3+4)³

736=7+3⁶

Parada LF zaczyna się od pary liczb, których zapis nie wymaga podstawowych znaków działania:

25=5²

121=11²

Takie liczby są jeszcze dwie. Obie to także kwadraty

9216=96²¹

81 225=285²¹

Szukanie LF stanowi nie lada wyzwanie dla programisty. Erich Friedman z niemałą pomocą paru podobnych zapaleńców skutecznie poradził sobie z tym zadaniem, znajdując blisko dziesięć tysięcy LF w zakresie do 10⁷. Oto kilka mocno „zakręconych”, trudnych do znalezienia:

2737= (2×7)³–7 25895=5× [(8×9)²–5]

3864=3× (6⁴–8) 32761=2^{3 (6–1)}–7

16387= (1–6/8)^–7+3 98256=6× (2⁹⁺⁵–8)

Mimo że liczby Friedmana są efektem zabawy rachunkowej, wiążą się z nimi zagadnienia zaliczane do poważnej teorii liczb. Tematem kilku publikacji jest np. gęstość asymptotyczna LF. Na dowód czeka hipoteza, że gdy n zmierza do nieskończoności, to prawdopodobieństwo, że n będzie LF, dąży do 1. Wiadomo jednak, że niektóre liczby nigdy nie będą LF, np. 10ⁿ dla dowolnego n.

Zadania

1. Do LF podobne są liczby Costera (LC). W zapisie działaniem danej LC każda jej cyfra występuje dokładnie dwa razy. Dozwolone są tylko cztery podstawowe działania i nawiasy. Przykład: 159= (1+1+9)× (5+9)+5. Zadanie polega na zapisaniu w postaci działania LC równej 2019.

2. Para liczb 725 i 1230 ma dwie następujące własności:

1) każdą z nich można rozciąć na dwie części tak, że suma cyfr w każdej części-liczbie będzie taka sama: 7|25 i 12|30;

2) jeśli mniejszą z tej pary pomnożymy przez 35, to iloczyn będzie LW: 25375=35×725.

Proszę znaleźć najmniejszą parę kolejnych (różniących się o 1) liczb o dokładnie takich samych własnościach i pokazać, że iloczyn, wynikający z drugiej własności, jest LW (uwaga: mnożenie przez 35 nie oznacza, że 35 musi być czynnikiem w zapisie iloczynu jako LW w postaci mnożenia).

3. W zapisie mnożeniem LW 116725 kolejność prawie wszystkich cyfr jest taka, jak w LW: 161×725. Prawie, bo tylko druga i trzecia cyfra są zamienione miejscami. Należy dowieść, że nie ma takiej LW, w zapisie mnożeniem, której kolejność wszystkich cyfr byłaby dokładnie taka, jak w LW. Najelegantszy dowód będzie zaprezentowany w tej rubryce.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 kwietnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 4/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Deana Buonomano Mózg, władca czasu. Dlaczego dzień może być krótszy niż godzina, a minuta dłuższa od dnia ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru luto

1. Najdłuższa trasa wędrówki po trójkątnej pałacowej kondygnacji podzielonej na n² małych trójkątnych komnat (rys. 1) z drzwiami w każdej ścianie między dwoma komnatami (bez przechodzenia dwukrotnie przez tę samą komnatę) – określona jest wzorem n²–n+1.

2. Jeśli w kwadrat wpiszemy największy możliwy trójkąt równoboczny, a następnie w ten trójkąt wpiszemy kwadrat (rys. 2), to pole dużego kwadratu będzie większe od pola małego 1/(312-180√3) razy, czyli nieco ponad 4,33.

3. W kracie kwadratowej 5×5 (rys. 3a) można oznaczyć maksymalnie 50 kwadratów z wierzchołkami w punktach. Usunąć trzeba co najmniej 10 punktów kratowych, aby oznaczenie żadnego kwadratu nie było możliwe. Te punkty to na przykład 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 20, 23.

4. W kracie trójkątnej (rys. 3b) można oznaczyć maksymalnie 35 trójkątów równobocznych z wierzchołkami w punktach. Usunąć trzeba co najmniej 7 punktów, aby oznaczenie żadnego trójkąta równobocznego nie było możliwe. Te punkty to np. 1, 5, 8, 9, 12, 13, 14.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Daniela L. Everetta Jak powstał język. Historia największego wynalazku ludzkości, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Bartosz Chroł z Warszawy, Adrian Gracz ze Skawy, Marcin Lewandowski z Otwocka, Radosław Oleksza z Sokółki, Łukasz Żelazny z Krakowa.