Od Moessnera do Fermata, czyli w kręgu trzeciej potęgi

Wśród klasycznych zagadek z serii „Co następne?”, typowych zwłaszcza dla testów Mensy, gości czasem następująca:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, ?, …

Chodzi o uzupełnienie ciągu kolejnym wyrazem. Zadanie jest proste, więc wydaje się, że łatwiej poradzić sobie z ustaleniem, czego brakuje, niż ten brak obliczyć, czyli podnieść 12 do trzeciej potęgi. Niełatwo natomiast uporać się z dwunastym wyrazem w drugim ciągu, który jest spokrewniony z poprzednim, ale mensową zagadką nie bywa:

2, 2, 5, 12, 25, 53, 116, 249, 535, 1155, 2487, ?, …

W tym przypadku odkrycie zależności liczbowej między kolejnymi wyrazami to twardy orzech. Na rozwiązanie może naprowadzić podana wyżej podpowiedź, dotycząca pokrewieństwa z ciągiem sześcianów, w którym znajdują się kolejno: 2 wyrazy jednocyfrowe, 2 dwucyfrowe, 5 trzycyfrowych… – i już wiadomo, że każdy n-ty wyraz oznacza liczbę n-cyfrowych wyrazów w ciągu sześcianów, co jest równoznaczne z liczbami sześcianów w zakresach od 10^n-1 do 10ⁿ–1 dla n=1, 2, 3, …; w związku z tym wyraz ogólny drugiego ciągu określony jest nieco zakręconym wzorem:

Klamry oznaczają w tym przypadku, że wynik objętego nimi działania należy zaokrąglić w górę do wartości całkowitej, jeśli jest on liczbą niecałkowitą.

Przekształcając drugi ciąg, utworzymy trzeci:

2, 4, 9, 21, 46, 99, 215, 464, 999, 2154, 4641, 9999, …

Teraz każdy n-ty wyraz oznacza liczbę sześcianów w zakresie od 1 do 10ⁿ–1. Jak z tego wynika, wśród liczb mniejszych od miliona jest zaledwie 99 sześcianów, gdy tymczasem np. liczb pierwszych blisko 80 tys. Sześciany stanowią więc swego rodzaju elitę, ale nie tylko dlatego warto poświęcić im nieco miejsca w ramach matematycznych rekreacji.

Oryginalny sposób tworzenia ciągu konkretnych potęg – a więc także sześcianów – metodą podobną do sita Eratostenesa, czyli z wykreślaniem zamiast potęgowania, zaproponował przed kilkudziesięciu laty nauczyciel matematyki z prowincjonalnego liceum w Bawarii Alfred Moessner. Metoda i jej autor zajęły poczesne miejsce w teorii liczb dzięki protekcji Oskara Perrona, profesora matematyki Uniwersytetu Monachijskiego. W roku 1951 metoda Moessnera była tematem spotkania sekcji matematycznej Bawarskiej Akademii Nauk, a równocześnie została opisana w akademickiej publikacji. „Surowcem” jest w niej ciąg liczb całkowitych dodatnich. Chcąc zredukować go do ciągu n-tych potęg, wykreślamy z niego każdą co n-tą liczbę, zaczynając od n-tej, a pod spodem wpisujemy drugi ciąg, którego każdy wyraz umieszczamy pod nieskreślonym x, zaś jego wartość równa jest sumie wszystkich liczb nieskreślonych w poprzednim ciągu nie większych niż x. W drugim ciągu skreślamy co (n-1)-szy wyraz, zaczynając od (n-1)-go, a pod nim tworzymy trzeci ciąg w taki sam sposób, jak drugi. Ogólnie: w każdym k-tym ciągu (1≤k≤n-1) skreślamy co (n+1-k)-ty wyraz i tworzymy w opisany sposób (k+1)-szy ciąg, wypisując jako ostatni k=n-ty ciąg n-tych potęg. Gdy celem jest ciąg sześcianów, cała operacja wygląda jak na rys. 1. Z tego rysunku wynika, że każdy n-ty sześcian jest sumą n początkowych wyrazów ciągu liczb nieparzystych zwanych sześciokątnymi: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, … – każda n-ta liczba jest w nim większa od poprzedniej o (n-1)-szą wielokrotność 6.

Nieco prościej można utworzyć ciąg sześcianów, odwołując się do ciągu wszystkich liczb nieparzystych, czyli podobnie jak w przypadku kwadratów, gdzie każdy n-ty kwadrat jest sumą n początkowych liczb nieparzystych. Sposób tworzenia sześcianów można wówczas obrazowo przedstawić, dzieląc ciąg liczb nieparzystych na grupy, obejmujące kolejne n liczb (n=1, 2, 3, …), jak na rys. 2. Sumy liczb w grupach tworzą ciąg sześcianów.

Jeszcze innym oryginalnym „generatorem” sześcianów jest trójkąt liczbowy, którego podstawę stanowi rząd kolejnych liczb: 1, 2, …, 2n-1, a nad nim i każdym następnym rzędem umieszczone są kopie poprzedniego rzędu pozbawione pierwszej i ostatniej liczby. Sumy liczb w takich trójkątach, oddzielonych kolorowym bokiem na rys. 3, są kolejnymi sześcianami liczb 1, 2, …, n.

Jak rozpoznać sześcian bez pierwiastkowania? Czy sześciany mają jakieś łatwo dostrzegalne lub policzalne cechy szczególne analogiczne do cech podzielności? Podobnie jak w przypadku drugich potęg, czyli kwadratów, możliwa jest tylko selekcja negatywna, czyli ustalenie w prosty sposób, choć nie zawsze, że jakaś liczba na pewno sześcianem nie jest. Załóżmy, że chodzi o wskazanie sześcianu, kwadratu oraz liczby pierwszej wśród trzech liczb 8-cyfrowych: A – 24137569, B – 35472809, C – 42367081 – oczywiście bez pierwiastkowania, dzielenia, rozkładania na czynniki pierwsze, a tym bardziej bez korzystania z kalkulatora lub komputera. Podstawowe kryteria selekcji są dwa: jedno- lub dwucyfrowa końcówka oraz ostateczna suma cyfr (OSC). Kwadrat może kończyć się jedną z 22 par: 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96; sześcian – jedną z 66, więc wygodniej uwzględniać 34, które końcówkami być nie mogą: 10, 14, 15, 18, 20, 22, 26, 30, 34, 35, 38, 40, 42, 45, 46, 50, 54, 55, 58, 60, 62, 65, 66, 70, 74, 78, 80, 82, 85, 86, 90, 94, 95, 98; liczba pierwsza kończy się dowolną parą, której drugą, a więc ostatnią cyfrą całej liczby jest 1, 3, 7 lub 9. Natomiast OSC to wynik sumowania wszystkich cyfr liczby i ewentualnego sumowania cyfr tej i każdej następnej sumy dotąd, aż pojawi się – właśnie jako OSC – suma jednocyfrowa. OSC kwadratów przyjmuje wartości 1, 4, 7, 9; sześcianów – 1, 8, 9; liczb pierwszych – 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Podane informacje umożliwiają łatwe rozszyfrowanie całego tercetu A, B, C. Jednak nie do końca. Nie da się bowiem ustalić „na skróty”, że sześcian w tym tercecie (która liczba?) jest także kwadratem, czyli ogólnie szóstą potęgą. Chyba że pozwolimy sobie na dzielenie i skorzystamy z faktu, że reszta z dzielenia przez 9 sześcianu może być równa wyłącznie 0, 1 lub 8, a kwadratu – 0, 1, 4, lub 7. Wtedy okaże się, że tylko jedna liczba „nadaje się” zarówno na kwadrat, jak i sześcian, druga – wyłącznie na kwadrat, a zatem trzecia – na liczbę pierwszą.

Relacje między sześcianami a kwadratami są ciekawym tematem, nieograniczonym tylko do ich „utożsamiania się” w szóstych potęgach. Dotyczą na przykład dystansów między nimi. Zgodnie z twierdzeniem Mihăilescu, udowodnionym w 2002 roku, sześcian i kwadrat są sąsiadami w ciągu liczb naturalnych dodatnich tylko w jednym miejscu – jako 8 i 9. Dwie kolejne najmniejsze różnice między kwadratem a sześcianem także występują tylko raz: 2 między 25 i 27 oraz 3 między 1 a 4. Dalej bywa różnie, np. 4 jest różnicą między dwiema parami potęg – 2³–2² i 5³–11², natomiast 17 między sześcioma – 5²–2³, 9²–4³, 23²–8³, 282²–43³, 375²–52³ i 378661²–5234³. Dla odmiany wiele liczb nigdy nie zmienia się w sześcian po odjęciu lub dodaniu do kwadratu. Tworzą one ciąg, który zaczyna się tak: 5, 6, 10, 14, 16, 21, 27, … Inaczej mówiąc, liczby te nie pojawiają się jako wartości k w żadnym rozwiązaniu równania diofantycznego krzywej eliptycznej Mordella: y²=x³±k.

Interesującą zależność między kwadratami a sześcianami określa równość: 1³+2³+3³+…+n³= (1+2+3+…+n) ², czyli suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych od 1 do n równa jest kwadratowi ich sumy. Dowieść tego można w poglądowy sposób, korzystając z… tabliczki mnożenia (rys. 4).

Wystarczy zsumować liczby w tabliczce na dwa sposoby. Najpierw rzędami:

(1+2+3+…+n) + (2+4+6+…+2n) + (3+6+9+…+3n) + (n+2n+3n+…+n²)= (1+2+3+…+n) (1+2+3+…+n) = (1+2+3+…+n) ²

a potem „kątownikami” (kolorowe paski):

1+(2+4+2)+(3+6+9+6+3)+[n+2n+3n+…+(n–3)n+(n–2)n+(n–1)n+n²+(n–1)n+(n–2)n+(n–3)n+…+3n+2n+n]= 1+2×4+3×9+…+n×n²=1³+2³+3³+…+n³.

Równość obu sum jest oczywista. Co ciekawe, taki schemat równości „działa” nie tylko dla zbioru liczb naturalnych od 1 do n. Sprawdza się także m.in. dla zbioru liczb dzielników każdej liczby. Na przykład liczba 18 ma sześć dzielników: 1, 2, 3, 6, 9, 18; z kolei każdy z tych dzielników ma: 1 – „1” dzielnik, 2 – „2” dzielniki, 3 – też „2”, 6 – „4”, 9 – „3”, 18 – „6” dzielników. Liczby w cudzysłowach tworzą zbiór {1,2,2,4,3,6}. Proszę sprawdzić, że – o dziwo! – suma sześcianów tych liczb równa jest kwadratowi ich sumy.

Dzielników dotyczy pośrednio także inna, równie osobliwa, choć oczywiście możliwa do wyjaśnienia obecność sześcianów w towarzystwie liczb doskonałych, czyli takich, które równe są sumie swoich wszystkich dzielników właściwych, a więc z pominięciem samej liczby (np. 28=1+2+4+7+14). Doskonałości, co nie powinno dziwić, są unikatami i tworzą ciąg bardzo szybko rosnący. Szerzej znanych jest tylko kilka początkowych: 6, 28, 496, 8128, …; dalsze trudno zapamiętać, a już dziesiąta składa się z 54 cyfr. Pod koniec XIX wieku angielski matematyk Thomas L. Heath wykazał, że każda liczba doskonała, oprócz 6, jest sumą sześcianów n początkowych liczb nieparzystych, gdzie n=2 ^(p-1)/2, a p jest liczbą pierwszą. Na przykład jeśli p=7, to n=8, zaś sześciany ośmiu pierwszych liczb nieparzystych (1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³) składają się na doskonałe 8128. Nie oznacza to jednak, że każdej liczbie pierwszej p, a zatem i odpowiedniemu n, odpowiada jakaś liczba doskonała. Na przykład dla p=11 (n=32) suma 32 sześcianów, równa 2 096 128, jest „niedoskonała”.

Każdą liczbę można przedstawić w postaci sumy sześcianów. Ilu najmniej? Ten problem rozważał po raz pierwszy w XVIII wieku angielski matematyk Edward Waring. Odpowiedzi są oczywiście różne dla różnych liczb, ale istotne było ustalenie największej spośród najmniejszych liczb sześcianów, jeśli uwzględnić wszystkie liczby naturalne. Kluczowe znaczenie, zwłaszcza w przypadku małych liczb, ma najmniejszy sześcian, czyli 1, co ilustruje poniższa „półchoinka”.

1=1³

2=1³+1³

3=1³+1³+1³

4=1³+1³+1³+1³

5=1³+1³+1³+1³+1³

6=1³+1³+1³+1³+1³+1³

7=1³+1³+1³+1³+1³+1³+1³

8=2³

9=2³+1³

10=2³+1³+1³

11=2³+1³+1³+1³

12=2³+1³+1³+1³+1³

13=2³+1³+1³+1³+1³+1³

14=2³+1³+1³+1³+1³+1³+1³

15=2³+1³+1³+1³+1³+1³+1³+1³

16=2³+2³

17=2³+2³+1³

18=2³+2³+1³+1³

19=2³+2³+1³+1³+1³

20=2³+2³+1³+1³+1³+1³

21=2³+2³+1³+1³+1³+1³+1³

22=2³+2³+1³+1³+1³+1³+1³+1³

23=2³+2³+1³+1³+1³+1³+1³+1³+1³

Gdyby kontynuować ten zapis, okazałoby się, że długo nie pojawiałaby się, jak w przypadku 23, suma dziewięciu sześcianów. Konieczna okazałaby się dopiero przy 239:

239=4³+4³+3³+3³+3³+3³+1³+1³+1³

W roku 1908 niemiecki teoretyk liczb Arthur Wieferich udowodnił, że tylko 23 i 239 są liczbami wymagającymi dziewięciu sześcianów. Zatem 239 jest dla dziewięciu sześcianów granicą, co można zapisać w postaci G₉=239. Wieferich wykazał również, że ośmiu sześcianów wymaga tylko 15 liczb – 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, czyli G₈=454 (7³+4³+3³+2³+2³+1³+1³+1³); G₇=8042, G₆=1290740 oraz G₅=7 373 170 279 850 są prawdopodobnymi granicami, jako największe znane. Hipotezą pozostaje też nieistnienie granicy G₄.

Przy okazji składania liczb z minimalnej liczby sześcianów pojawia się, zaczynając od liczby 157, pokrewne zagadnienie – składania na więcej niż jeden sposób. Dla 157 sposoby są dwa (z pięciu sześcianów): 4³+4³+3³+1³+1³ lub 5³+2³+2³+2³+2³. W tym kontekście bardziej znana jest anegdotyczna liczba 1729, zwana liczbą Hardy’ego-Ramanujana, najmniejsza składana na dwa sposoby z dwóch sześcianów: 1³+12³ lub 9³+10³. Liczba ta była jakoby bocznym numerem taksówki, który Ramanujan uznał, wbrew opinii Hardy’ego, za interesujący – właśnie ze względu na opisaną cechę. Stąd określenie „taksówkowe”, dotyczące wszystkich najmniejszych liczb, które można przedstawić w postaci sumy dwóch sześcianów na 2, 3, 4 i więcej sposobów. Takich liczb znanych jest 12, czyli do tuzina sposobów, ale poczynając od siedmiu sposobów, nie ma pewności, czy są one najmniejsze. Następną po 1729, a więc składaną na trzy sposoby, jest 87 539 319=167³+436³= 228³+423³=255³+414³, a kolejne są gigantami kilkunasto- i kilkudziesięciocyfrowymi.

Wśród liczb składanych z sześcianów praktycznie nie ma sześcianów, ponieważ składnik jest już gotowym produktem. Można by jednak spróbować składać sześciany z kilku sześcianów. Określenie „kilku”, które według definicji słownikowej oznacza więcej niż 2, pasuje w tym przypadku idealnie, bo zgodnie z wielkim twierdzeniem Fermata rozłożenie sześcianu na dwa sześciany nie jest możliwe (można tylko zbliżyć się ekstremalnie do nieosiągalnego ideału, znajdując nieskończenie wiele rozwiązań równania: x³+y³=z³±1 – np. 9³+10³=12³+1 lub 6³+8³=9³–1). Natomiast wszystkie sześciany oprócz trzynastu (2³, 3³, 4³, 5³, 8³, 10³, 11³, 15³, 16³, 17³, 22³, 47³, 61³) – uda się złożyć z trzech lub czterech sześcianów. Dwa przykłady zaliczane są do liczbowego panoptikum:

3³+4³+5³=6³

11³+12³+13³+14³=20³

I przy okazji porcja innych „klasycznych” sześciennych osobliwości:

(5+1+2)³=512

(4+9+1+3)³=4913

(5+8+3+2)³=5832

(1+7+5+7+6)³=17 576

(1+9+6+8+3)³=19 683

1³+5³+3³=153

3³+7³+0³=370

3³+7³+1³=371

4³+0³+7³=407

A na zakończenie jeszcze dwa kurioza: jedyny zestaw sześcianów, który składa się z dwu liczb i utworzony jest z dziesięciu różnych cyfr: {9261 (21³) i 804357 (93³)} oraz bieżący rok w postaci ustawionej według wzrostu drużyny kolejnych sześcianów: 2019=1³–2³–3³+4³–5³+6³–7³+8³+9³+10³.

Zadania

1. Nie do każdej cyfry uda się dopisać z prawej strony drugą cyfrę tak, aby powstał dwucyfrowy kwadrat. Nie jest to możliwe dla 5, 7 i 9, ponieważ nie ma dwucyfrowego kwadratu zaczynającego się którąkolwiek z tych cyfr. Z sześcianami szanse są jeszcze mniejsze, bo dwucyfrowe zaczynają się tylko dwójką lub szóstką (27, 64). Utworzenie w ten sposób sześcianu nie będzie pewne nawet po dopisaniu za dowolną cyfrą trzech cyfr, bo na początku żadnego czterocyfrowego sześcianu nie występuje siódemka (19³=6859, 20³=8000).

Ile co najmniej cyfr (k) należy dopisać do dowolnej czterocyfrowej liczby X, aby niezależnie od wartości X zawsze można było utworzyć (X+k)-cyfrowy sześcian?

2. Sześcianu na pewno (można dowieść) nie uda się przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech kolejnych liczb:

a) naturalnych;

b) naturalnych parzystych;

c) naturalnych nieparzystych.

Który wariant tego twierdzenia jest prawdziwy: a, b, czy c?

3. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych podniesiona do kwadratu może być różnicą sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych. Oto przykład:

(2²+3²)²=8³–7³

Proszę podać jeszcze jeden przykład takiej zależności.

4. Do pól diagramu (rys. 5) należy wpisać odpowiednie cyfry, pomijając zero. Powstanie liczbowa krzyżówka złożona z ośmiu liczb – czterech poziomych i czterech pionowych (jedna 2-cyfrowa, dwie 3-cyfrowe, pięć 4-cyfrowych). Wśród tych liczb powinno być przynajmniej pięć sześcianów, co najmniej trzy kwadraty i co najwyżej jeden niekwadrat i niesześcian. Wszystkie sześciany, spośród których należy dokonać wyboru, są umieszczone obok diagramu. W rozwiązaniu wystarczy podać cztery liczby w poziomych rzędach.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 3/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Edwarda R. Scheinermana Przewodnik miłośnika matematyki. Arcydzieła dla każdego ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru styczniowego

1. Aby zadanie miało jedno rozwiązanie, w różowym polu powinna się znaleźć czwórka. Pełne rozwiązanie na rys. 6.

2. Do zestawu czterech heksomin o własności 4T nie należały heksomina pomarańczowy i zielony.

3. Heksominem stanowiącym najpospolitszą siatkę sześcianu nie będzie można pokryć płaszczyzny po „doczepieniu” kwadratu „d” (rys. 7).

4. A-IV, B-VII, C-II, D-XI, E-I, F-VIII, G-VI, H-X, I-IX, J-III, K-V (pełne rozwiązanie na rys. 8).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań książkę Deana Buonomano Mózg, władca czasu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Sebastian Czerniak z Warszawy, Michał Kozłowski z Olsztyna, Paweł Łukowicz z Elbląga, Mariusz Myszkier ze Szczecina, Zbigniew Zydor z Wągrowca.