Ułamki Wittinga, czyli o skracaniu niepoważnym

Każdy uczeń szkoły podstawowej po ukończeniu piątej klasy wie, a przynajmniej powinien wiedzieć, jak skracać ułamki. „Wie” nie zawsze jednak oznacza „potrafi”, nietrudno bowiem wskazać ułamki, których skrócenie stanowi trudny problem obliczeniowy. Na przykład, przeciętny piątoklasista raczej nie poradzi sobie z rozłożeniem na czynniki pierwsze licznika i mianownika ułamka 6845/16 428, czyli z ustaleniem, że po uproszczeniu to tylko 5/12. Jeśli jednak będzie ambitny, cierpliwy i ewentualnie skorzysta z kalkulatora, wówczas może doprowadzić do iloczynu liczb pierwszych w liczniku i mianowniku, a następnie skreślić te, które są jednakowe nad i pod kreską:

Może też – o czym zapewne nie wie – poradzić sobie z tym ułamkiem znacznie prościej, stosując tzw. metodę Wittinga. Sposób ten nie wymaga dokonywania rozkładu na czynniki pierwsze – po prostu wystarczy od razu „skrócić” ułamek, wykreślając parami takie same cyfry z licznika i mianownika, a pozostałe posłusznie złożą się na właściwy wynik:

Metoda Wittinga może okazać się zbawienną w bardziej ekstremalnych przypadkach, gdy liczby tworzące ułamek są bardzo duże, np.:

Proszę sprawdzić, że metoda działa i tym razem, tzn. wykreślając pary jednakowych cyfr nad i pod kreską (2, 3, 4, 5, 6, 7, 9) skutecznie uprościmy ułamek, a więc otrzymamy właściwy wynik – 1/8.

Alexander Witting (1861–1946) był niemieckim matematykiem, zajmującym się głównie dydaktyką oraz – co w tym przypadku istotne – niepozbawionym poczucia humoru i starającym się uczynić królową nauk choć trochę frapującą. Niektóre z jego publikacji dotyczyły matematyki rekreacyjnej, zwłaszcza ciekawostek i osobliwości liczbowych. W artykule z roku 1910, poświęconym m.in. zabawom arytmetycznym, zadebiutowały trzy z czterech najprostszych, a właściwie najkrótszych (dwucyfrowy licznik i mianownik) ułamków, których skrócenie możliwe jest dzięki zastosowaniu zaproponowanej przez niego żartobliwej metody:

Znalezienie „na piechotę” tych perełek arytmetyki, z przymrużeniem oka, i udowodnienie, że to wszystkie ułamki właściwe z mianownikiem mniejszym niż 100, które można skrócić w tak nietypowy sposób – nie jest trudne.

Jeśli ułamkiem po uproszczeniu, czyli usunięciu z licznika i mianownika cyfry c ma być a/b, to teoretycznie możliwe są jego cztery początkowe postacie:

(I) – (10a+c)/(10b+c), (II) – (10c+a)/(10c+b), (III) – (10c+a)/(10b+c), (IV) – (10a+c)/(10c+b). Ponieważ 1≤a,b,c≤9 oraz a<b, więc warianty (I) i (II) od razu należy wykluczyć, bowiem prowadzą do sprzeczności (c=0). Postać (III) także nie wchodzi w grę, bo skoro a/b= (10c+a)/(10b+c), to c=9ab/(10b-a) <a (ponieważ 9b<10b-a), zatem ułamek po „skróceniu” zawsze będzie większy niż przed. Możliwy jest więc tylko wariant (IV). Z odpowiadającego mu równania a/b= (10a+c)/(10c+b) przekształconego do postaci c=9ab/(10a-b) wynika, że c>b (bo 10a–b<9a).
Przekształcając to równanie inaczej: a=bc/[9(c–b)+c], można wywnioskować, że a≤b/2, bo 9(c-b) ≥c, a stąd konkluzja: a<5. Jeszcze inne przekształcenie: b=10a-9ab/c po uwzględnieniu a<b skutkuje wnioskiem, że c musi być wielokrotnością 3. Ostatecznym efektem dla b całkowitego są więc jedynie cztery pary a i c: 1 i 6, 1 i 9, 2 i 6 oraz 4 i 9, co prowadzi do zawierających te pary czterech podanych wyżej ułamków. Ostatniego z nich zabrakło w artykule Wittinga; zapewne dlatego, że jego uproszczenie nie prowadzi do postaci nieskracalnej.

Gdy liczba cyfr w mianowniku i liczniku rośnie, znacząco wzrasta liczba ułamków podatnych na korzystanie z opisanej metody. Nazwiemy je ułamkami Wittinga, które zawsze są właściwe (licznik mniejszy od mianownika). Ich szukanie jest oczywiście znacznie prostsze przy wsparciu komputerowym, a dla mianowników ponadtrzycyfrowych trudno się bez niego obyć. Jednak przy okazji przeglądania efektów poszukiwań pojawiają się zagadnienia, zasługujące na aktywność giętkiego umysłu, które można by uznać za zaczątki teorii takich ułamków.

W latach 20. inny niemiecki dydaktyk matematyki, Walther Lietzmann, zauważył, że cztery ułamki z dwucyfrowym mianownikiem zachowują swoją własność po dowolnym zwielokrotnieniu liczby skreślanych cyfr – oczywiście takim samym w liczniku i mianowniku. W praktyce wygląda to na przykład tak:

Że taka reguła „działa” dla wszystkich czterech ułamków, bardzo łatwo sprawdzić i niemal równie łatwo dowieść. Kluczowym jest dowód dotyczący zdublowania skreślanej cyfry. Wiemy, że:

Natomiast mamy dowieść, że:

Po zredukowaniu równości (1) i (2) okaże się, że są one równoważne – obie sprowadzają się do takiej samej postaci:

9ab–10ac+bc=0.

Reguła zwielokrotniania cyfr sprawdza się także w przypadku części ułamków z więcej niż dwucyfrowymi licznikami i mianownikami – oczywiście innych niż te, które powstały w wyniku wcześniejszego zwielokrotnienia, na przykład:

Ułamki Wittinga z większą liczbą cyfr w liczniku, a więc tym bardziej w mianowniku, są w poważnej matematyce traktowane na ogół po macoszemu. Wzmianki o nich pojawiają się wprawdzie w paru podręcznikach teorii liczb, ale uznaje się je raczej za obiekty z gabinetu osobliwości. Na razie nie udało się sformułować prawie żadnych dotyczących ich reguł, twierdzeń lub hipotez. Wyjątek stanowią wnikliwe analizy występowania takich ułamków w innych systemach liczbowych. W systemie dziesiętnym ich wyszukiwaniem zajęły się komputery, ale eksploracja skończyła się na czterocyfrowych licznikach i mianownikach. Dłuższe okazy, jak te z początku tego artykułu, wyłuskiwane są sporadycznie niczym rodzynki z ciasta, choć nie należą do rzadkości i wpaść na nie nietrudno.

Wydaje się, że o uroku ułamków z dwucyfrowym mianownikiem i licznikiem – oznaczymy je jako II/II – decyduje ich zwięzłość, niewielka liczba oraz przynależność do jednego schematu – BA/AC (ogólnie w schematach różnym literom odpowiadają różne cyfry, a takim samym jednakowe; litery A zawsze oznaczają parę cyfr kasowanych przy „skracaniu”, choć nie zawsze jest to jedyna możliwa do usunięcia para). Gdy cyfr w mianowniku i liczniku przybywa, rośnie liczba schematów oraz ułamków, ale równocześnie pojawia się pewien chaos. Jeśli trzycyfrowy jest tylko mianownik, a więc dla ułamka II/III, schematów mamy 9, a ułamków 145. W tabeli 1 znajdują się wszystkie schematy, odpowiadające im liczby ułamków oraz przykład ułamka dla każdego schematu.

Przy więcej niż 2-cyfrowych licznikach i mianownikach pomijane są ułamki trywialne, czyli z zerem na końcach obu liczb. Z kolei ułamki odpowiadające niektórym schematom – np. 1-AA/AAB i 4-AB/ABC – można uznać za „półtrywialne”, zaś niektóre inne za mało eleganckie, bo zbyt schematyczne, np. 3-AA/BAC – 32 ułamki odpowiadające temu schematowi tworzą spokrewnione grupy złożone z par bliźniaczych, np. 77/671 i 77/176, 77/275 i 77/572 oraz 77/374 i 77/473. Ponadto schemat 4-AB/ABC umożliwia „skracanie” ułamków na dwa sposoby: skreślana może być para A lub B, zaś wynik jest zawsze równy 1/10 lub wielokrotności 1/10. W tym kontekście pełny urok zachowują te z pozostałych okazów, które pasują do schematu jako nieliczne lub jedyne, a więc 83/332=8/32 lub 49/294=4/24 i 59/295=5/25. Nieczęste są też te, które po skreśleniu pary cyfr tworzą ułamek nieskracalny inny niż 1/10 – takich jest 20 i należą do schematów 3-AA/BAC (np. 88/187=8/17), 2-AA/BAB (jedyny 22/121=2/11) i 7-BA/ACD (np. 13/325=1/25). Na uwagę zasługują także dwa rodzaje „potomków” ułamków II/II – łatwo się zorientować, jak powstają, na przykładzie pary wywodzącej się od ułamka 16/64: 16/640 i 64/160.

Wiele podobnych wątpliwości i wyjątków wiąże się z ułamkami dłuższymi o jedną cyfrę w liczniku, czyli III/III. Wszystkich, należących do 26 schematów, jest 301 (tabela 2), ale ta liczba może budzić wątpliwości z kilku powodów. Choć nie ma wśród nich ułamków trywialnych, czyli z zerem na końcu licznika i mianownika, to jednak cztery z nich, wywodzące się od ułamków II/II, odpowiadają niewystępującemu w tabeli 2 schematowi CAB/ADB, a przy „skracaniu” może być z nich usuwana cyfra A inna niż zero: 160/640=10/40, 260/650=20/50, 190/950=10/50, 490/980=40/80. Dla odmiany we wszystkich 36 ułamkach o schemacie 9-BAB/CAC cyfra A jest skreślanym zerem, więc te ułamki są przynajmniej „półtrywialne”. Ponadto cztery podane wyżej ułamki o schemacie CAB/ADB można także skrócić, skreślając dwie pary cyfr: 160/640=1/4, 260/650=2/5, 190/950=1/5, 490/980=4/8. Takich ułamków III/III – możliwych do skrócenia w wyniku usunięcia dwóch par cyfr (AA i BB) – jest jeszcze 26. Cztery z nich, o schemacie BAA/AAC (166/664=1/4, 199/995=1/5, 266/665=2/5, 499/998=4/8), a więc spokrewnione z ułamkami II/II, są uwzględnione w tabeli 2. 22 pozostałe, należące do 10 schematów, obejmuje tabela 3; znamienne, że można je skracać tylko przez skreślenie dwóch par, czyli usunięcie jednej pary nie jest skuteczne.

Nie znamy ogólnej metody konstruowania ułamków Wittinga. Tworzenie trywialnych czy „półtrywialnych” jest oczywiście trywialne. Z tabeli 3, a konkretnie ze schematów 1–5 i 10 można wywnioskować, jak radzić sobie z takimi, w których mają być usuwane dwie pary cyfr, znajdujące się na początku lub na końcu licznika i mianownika. Zaczynamy od wyboru pary różnych liczb 2-cyfrowych, z których obie mają wspólny dzielnik d, a jedna stanowi odwrócenie (wspak) drugiej, np. 15 i 51. Dzielimy obie przez d, w tym przypadku przez 3, a ilorazy (5 i 17) zapisujemy przed lub za odpowiadającymi im dzielnymi (jeśli za, to krótszy iloraz poprzedzamy zerem lub zerami – tak, aby oba składały się z jednakowej liczby cyfr). Powstałe liczby tworzą licznik i mianownik 3- lub 4-cyfrowego ułamka Wittinga, czyli 515/1751=5/17 lub 1505/5117=5/17. W drugim ułamku wątpliwości może budzić usunięcie po skreśleniu 15 także nieznaczącego zera.

Co jest ważniejsze w ułamkach Wittinga – licznik czy mianownik? Jeśli przyjmiemy, że ważniejsze jest to, co rzadsze, oraz uwzględnimy ułamki trywialne, to odpowiedzią będzie „mianownik”. Licznikiem może być bowiem każda liczba, nawet w różnych ułamkach, mianownikiem – tylko niektóre, tworzące osobliwy, chaotyczny ciąg: 64, 65, 95, 98, 110, 120, 121, 130, 132, 136, 140, 143, 150, 154, 160, 165, 170, 176, 180, 184, 185, 187, 190, 192, 194, 195, 196, 198, 202, … Wbrew pozorom, co może sugerować początkowy fragment, ciąg nie obejmuje wszystkich trzycyfrowych wielokrotności 11; braki zaczynają się od 209. Swoistą rekompensatą jest natomiast występowanie niektórych mianowników w więcej niż jednym ułamku, np. 1463 (wielokrotność 11) – w trzech:

Poważna matematyka interesuje się obecnością ułamków Wittinga w systemach liczbowych innych niż dziesiętny. Jedna z pierwszych publikacji na ten temat dotyczyła głównie ułamków z krótkim licznikiem i mianownikiem, a podstawowy wniosek był następujący: ułamki Wittinga, których licznik i mianownik są dwucyfrowe, występują we wszystkich systemach liczbowych oprócz tych, których podstawą jest liczba pierwsza. Zatem system czwórkowy jest pierwszym z takim ułamkiem – i jest to jedyny taki ułamek w tym systemie: 13/32=1/2.

Zadania

1. Wszystkich ułamków Wittinga z mianownikiem 1463 jest więcej niż trzy podane wyżej. Proszę znaleźć czwarty ułamek z tym mianownikiem – taki, którego „skrócenie” polega na wykreśleniu dwóch par cyfr.

2. W dwóch ułamkach Wittinga zaszyfrowano grupami liter dwie liczby: w pierwszym – licznik, w drugim – mianownik (takim samym literom odpowiadają jednakowe cyfry). Mianownik pierwszego ułamka jest taki sam jak licznik drugiego – oba są równe 3108, zatem ułamki wyglądają tak:

Jakie liczby ukrywają się pod grupami liter, jeśli wiadomo, że w obu ułamkach występują tylko cztery różne cyfry, które są już ujawnione.

3. W jakim systemie liczbowym (o jakiej podstawie) zapisany jest każdy z trzech poniższych ułamków Wittinga?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/18. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Tajemnicze życie oceanów Roberta Hofrichtera ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru październikowego

1. AB=53, CDEFGHIJ=87 204 961

2. Liczby w rzędach: 72, 3916, 4805.

3. 2–5–16–19–26 (tylko 5+26=31 nie jest podzielne ani przez 3, ani przez 7).

4. 77 175 – liczba pięciocyfrowa 45 razy większa od iloczynu jej cyfr.

5. 3 – reszta z dzielenia przez 7 liczby 5 podniesionej do potęgi 23 456 789.

6. 2, 4, 6, 9 – żadna liczba czterocyfrowa utworzona z tych cyfr (różnych) nie jest podzielna przez 7.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Proste jak pi. Matematyka to bułka z masłem Liz Strachan, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Łukasz Górski z Torunia, Zbigniew Kapusta z Banina, Marcin Ornat z Zielonek, Adam Szczapiński z Włocławka, Piotr Szymański z Gołkowa.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.