Moc hipotezy czyli zmagania z Goldbachem

Liczby pierwsze p, a więc pozbawione dzielników nietrywialnych d (1<d<p), są niczym atomy, z których zbudowana jest cała „materia” liczb naturalnych. Świadczy o tym przede wszystkim powszechnie znane multiplikatywne (związane z mnożeniem) podstawowe twierdzenie arytmetyki: każda liczba naturalna większa od 1 jest liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych. Za świadectwo można też uznać następującą hipotezę addytywną (związaną z dodawaniem): każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo sumą dwóch liczb pierwszych, albo sumą trzech liczb pierwszych. Twierdzenie ma mocny dowód, natomiast hipoteza czeka na geniusza, który dowiedzie jej prawdziwości. Ściśle rzecz biorąc, od niedawna wyzwanie stanowi jakby połowa powyższej hipotezy, bowiem matematycy nieco ją zmienili i podzielili na dwie części – mocną i słabą. Mocna trzyma się… mocno, słaba padła w roku 2013, a definitywnie po weryfikacji dwa lata później. Pokonał ją, czyli dowodząc, zmienił w twierdzenie, peruwiański matematyk Harald Helfgott. Nagrodą za ten wyczyn była m.in. tzw. Profesura Humboldta (3,5 miliona euro za 5 lat piastowania godności tzw. profesora uczelnianego na Uniwersytecie w Getyndze).

Historia hipotezy zaczęła się w połowie XVII wieku od Kartezjusza. W jednej z jego prac, dotyczącej sumy ciągów liczb wielokątnych, pojawiło się zdanie: każda liczba parzysta jest liczbą pierwszą, sumą dwóch liczb pierwszych lub trzech liczb pierwszych. Jedyna parzysta liczba pierwsza to oczywiście 2, która jest także jedną z tworzących parzystą sumę trzech liczb pierwszych (dwójkami mogą być też wszystkie trzy). Podobne stwierdzenie znalazło się prawie wiek później (1742) w liście pruskiego matematyka Christiana Goldbacha (dziś uchodzącego raczej za zdolnego amatora niż profesjonalistę) do Leonharda Eulera (po lewej): każda liczba większa od 2 jest sumą trzech liczb pierwszych. Odpowiadając, Euler przypomniał Goldbachowi, że ten wcześniej podzielił się z nim bliźniaczym spostrzeżeniem: każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych. Dodał też, że uważa to stwierdzenie za prawdziwe, ale nie potrafi go dowieść. Wypada zauważyć, iż domniemanie prawdziwości wiązało się m.in. z uznawaniem wówczas jedynki za liczbę pierwszą.

Po opublikowaniu w roku 1843 przez prawnuka Eulera korespondencji sławnego pradziadka w matematyce pojawiło się określenie hipoteza Goldbacha, a niebawem poszły w ruch „liczydła”. Wielu rachmistrzów, także amatorów, zaczęło buszować w gąszczu liczb parzystych, rozdwajając kolejne z nich na liczby pierwsze (Georg Cantor, twórca teorii mnogości, dotarł do tysiąca). Nie brakło także prób znalezienia dowodu, ale starania te podsumował na V Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w 1912 roku wybitny niemiecki teoretyk liczb Edmund Landau, stwierdzając, że matematyka współczesna nie jest w stanie rozstrzygnąć hipotezy Goldbacha.

W latach 20. XX wieku nastąpił wyraźny podział na wspomniane na początku dwie hipotezy – mocną i słabą. Mocna, zwana także główną lub binarną, głosi, że każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Słaba, znana też jako trójkowa, dotyczy liczb nieparzystych, z których każdą większą od 5 można – zgodnie z tą hipotezą – przedstawić w postaci sumy trzech liczb pierwszych.

Nietrudno zauważyć, że gdyby dowieść mocnej hipotezy, to automatycznie twierdzeniem stałaby się także słaba (dlaczego?). Okazało się jednak, że słaba stawia – zgodnie z jej nazwą – znacznie mniejszy opór. Była „nadgryzana” od blisko wieku, aż ostatecznie padła przed pięciu laty. Jej pogromca, Harald Helfgott, podążał szlakiem przetartym przez poprzedników, wśród których na wyróżnienie zasługują Anglicy Godfrey Hardy i John Littlewood oraz Rosjanin Iwan Winogradow. Obaj wyspiarze wykazali, że słaba hipoteza Goldbacha jest twierdzeniem, ale pod warunkiem, że twierdzeniem jest również czekająca na dowód i także dotycząca liczb pierwszych hipoteza Riemanna. Winogradow poszedł nieco inną drogą i to tak skutecznie, że niektórzy radzieccy uczeni (był rok 1937) uznali, iż dowiódł słabej hipotezy. Szkopuł w tym, że Winogradow wykazał prawdziwość hipotezy dla wszystkich liczb dostatecznie dużych, a ściślej – większych od pewnej stałej C równej w tym przypadku 10^6846168. Aby z czystym sumieniem uznać dowód za pełny, należałoby więc jeszcze sprawdzić, czy każdą liczbę nieparzystą mniejszą od takiej stałej C da się przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Angażując do tego wszystkie współczesne komputery, trzeba by czekać na wynik przez tysiąclecia.

Helfgott skorzystał z ogólnego schematu metody Winogradowa, czyli podziału dowodu na część teoretyczną i obliczeniową związaną z wartością stałą, a także ze stosowanej przez swoich poprzedników tzw. metody okręgu. Opis tej metody jest zrozumiały tylko dla specjalistów; dość powiedzieć, że pojawiają się w nim takie pojęcia jak całka po okręgu, transformacja Fouriera, szereg Fareya czy funkcja theta. Najistotniejsze, że Helfgottowi udało się zmniejszyć stałą C do 10³⁰, a problemy z komputerową obsługą takiej wartości okazały się do przezwyciężenia. Warto zauważyć, że z powstałego w ten sposób słabego twierdzenia Goldbacha (Helfgotta?) wynika inne, spokrewnione z mocną hipotezą, a mianowicie: każda liczba parzysta jest sumą nie więcej niż czterech liczb pierwszych. W ten sposób zostało odesłane do lamusa analogiczne twierdzenie dla sześciu liczb pierwszych, udowodnione w roku 1995 przez francuskiego matematyka Oliviera Ramaré.

Jest bardzo prawdopodobne, że jako profesor Uniwersytetu w Getyndze Helfgott od paru lat mierzy się z główną, mocną hipotezą Goldbacha. Dotychczas najbardziej znaną osobą, która poświęciła większość życia na próby jej udowodnienia, był profesor Petros Papachristos. To postać fikcyjna, bohater bestsellerowej powieści greckiego pisarza Apostolosa Doxiadisa, wydanej w Polsce pod tytułem „Zabójcza hipoteza”. Angielski i amerykański wydawca, publikując tę książkę w roku 2000, ufundowali nagrodę w wysokości miliona dolarów za udowodnienie hipotezy, która dzięki temu stała się znana. Nagroda pozostała jednak u fundatorów, co nie znaczy, że dowodów nie było. Przeciwnie, nadesłano ich sporo i niemało pojawia się do dziś w Internecie, tworzonych przez matematyków amatorów, niezdających sobie sprawy, że twierdzenie zrozumiałe dla ucznia szkoły podstawowej, może wymagać dowodu na poziomie matematyki wyższej. Zdecydowana większość tych „dowodów” polega na nieuzasadnionym przenoszeniu zależności występujących w prostych przykładach na wszystkie pozostałe. Z reguły też pojawiają się w nich – co nie jest już błędem – liczby pierwsze symetryczne (pary liczb leżących na osi liczbowej w jednakowej odległości od dowolnej liczby) oraz twierdzenie Czebyszewa (między liczbami n i 2n znajduje się przynajmniej jedna liczba pierwsza). Często spotykany pseudodowód polega na napisaniu ciągu liczb naturalnych od zera do 2n, a tuż pod nim takiego samego ciągu, ale wspak. Następnie z obu ciągów wykreślane są wielokrotności liczb pierwszych mniejszych od √2n. Nieskreślone liczby, znajdujące się w obu ciągach na tych samych kolejnych miejscach, tworzą pary spełniające hipotezę Goldbacha. Na rys. 1 znajduje się przykład dla 2n=28, owocujący po usunięciu wielokrotności liczb 2, 3 i 5 (czerwone pola) dwiema parami – 5–23 i 11–17. Całość kończy się nieuzasadnionym lub niewystarczająco uzasadnionym wnioskiem, że taki sposób postępowania będzie zawsze skuteczny, czyli niezależnie od wartości 2n, choć jedna nieskreślona para góra-dół zawsze się pojawi.

Za właściwe, choć dotąd niegwarantujące sukcesu, uważa się dwa schematy zmagań z mocną hipotezą. Pierwszy zaczyna się od wprowadzenia funkcji f(n), określającej liczbę liczb parzystych mniejszych od n, których nie sposób przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Celem jest przeprowadzenie dowodu, że f(n)=0 dla każdego n. Na razie udało się dowieść, że f(n)/n dąży do zera, gdy n dąży do nieskończoności.

Drugi sposób na mocną hipotezę zaczyna się od dowodu, że wszystkie liczby parzyste 2n można przedstawić w postaci sumy dwóch iloczynów liczb pierwszych, gdzie pierwszy iloczyn składa się z s, a drugi z t czynników. Na przykład, jeśli 2n=92, to dla s=2 i t=3 suma iloczynów może wyglądać tak: 2×11+2×5×7=92. Początkiem stosowania tej metody było udowodnienie w roku 1919 przez Norwega Viggo Bruna twierdzenia dla s=t=9 dla dostatecznie dużych liczb parzystych. Ostatecznym celem dalszych kroków jest, oczywiście, doprowadzenie do sytuacji s=1 i t=1. W roku 1950 udowodniono analogiczne twierdzenie dla s=2 i t=3. 16 lat później chiński matematyk Jingrun Chen wykazał, że s może być równe 1, a t równe 2, czyli drugim składnikiem jest liczba półpierwsza. Do celu pozostał więc tylko jeden krok – okazuje się, że zrobić go najtrudniej.

Mocna hipoteza ilustrowana jest zwykle na dwa sposoby – jako choinka i jako kometa Goldbacha. Choinka (rys. 2) dotyczy skali mikro – na przecięciach par ukośnych zielonych gałązek, oznaczonych liczbami pierwszymi, wiszą parzyste bombki-sumy tych liczb. Od choinki zaczyna się więc ciąg wyrazów, z których każdy następny jest tzw. liczbą Goldbacha (G), oznaczającą, na ile sposobów można zapisać daną liczbę parzystą jako sumę dwóch liczb pierwszych (czerwone cyfry z prawej strony). Ciąg rośnie bardzo wolno i kapryśnie, skacząc to w górę, to w dół, a jego obrazem w skali makro jest wspomniana kometa Goldbacha (rys. 3; oś x – liczby parzyste 2n, oś y – liczby G). Jej najistotniejszymi częściami są górny i dolny brzeg. W sprawdzonym komputerowo zakresie do 10¹⁸ oba brzegi wykazują tendencję wzrostową i nic nie wskazuje na to, aby kształt komety mógł ulec zmianie. Liczby G na dolnym brzegu stopniowo przekraczają kolejne granice. Ostatnie G=1 jest dla 2n=12, ostatnie G=10 dla 2n=632, dla żadnego 2n>11456 G nie spada poniżej 100 itd. Znamienne jest znaczne zagęszczenie minimalnych liczb G przy dolnym brzegu; odpowiadają one liczbom 2n, których dzielnikami są dwójka i jakaś duża liczba pierwsza. Na przykład dla 2n=398=2×199 G=7 (19+379, 31+367, 61+337, 67+331, 127+271, 157+241, 199+199). Gęsty pas G blisko górnego brzegu komety tworzą natomiast liczby 2n, które mają dużo małych dzielników, jak np. 390=2×3×5×13, której odpowiada G=27.

Kształt komety w znanym dziś zakresie nie gwarantuje, że dla jakichś gigantycznych wartości 2n, np. rzędu 10¹⁰⁰, jej ogon nie zacznie nagle opadać i nie pojawi się astronomiczna liczba parzysta niemożliwa do rozdwojenia na liczby pierwsze. Sytuacja pozostaje więc prawie niezmieniona od czasów Eulera: trudno mieć wątpliwości, że mocna hipoteza Goldbacha zasługuje na miano twierdzenia, a równocześnie nie ma pewności, że tak właśnie jest.

Zadania

1. Proszę dokończyć następującą hipotezę, która jest inną formą hipotezy Goldbacha: dla każdej liczby naturalnej n≥2 istnieje taka liczba 0≤k≤n-2 oraz takie liczby pierwsze p i q, że n²-k²=…. Dokończenie powinno być wpisanym z prawej strony znaku równości odpowiednim działaniem, ale nie sumą.

2. To zadanie tylko pozornie nie ma nic wspólnego z hipotezą Goldbacha.

Dwaj mistrzowie błyskawicznego liczenia i logicznego myślenia stoją przed wyzwaniem, polegającym na odgadnięciu dwu liczb całkowitych większych od 1. Mistrz M(nożenie) zna tylko ich iloczyn, mistrz D(odawanie) – tylko sumę, która jest mniejsza od 100. Obaj prowadzą krótki dialog.

M: Nie wiem, jakie to liczby.

D: Ja także nie wiem i wiedziałem, że nie będziesz wiedział.

M: Skoro tak, to ja teraz już odgadłem obie liczby.

D: W takim razie ja teraz również je odgadłem.

Jakie liczby były odgadywane?

3. W dwu dodawaniach dwu liczb występuje dziewięć różnych cyfr, każda dokładnie raz. Czterema składnikami w tych dodawaniach są liczby pierwsze, a dwiema sumami liczby parzyste. Proszę znaleźć przynajmniej jeden duet takich dodawań.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 maja br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 05/18, lub listownie: Świat Nauki, ul. Gintrowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Odpłaszczenie Nicka Sousanisa ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru marcowego

Na 13 kwadratów podzielony jest kwadrat 19×19 (rys. 4). Zapis podziału: (10,9), (3,6), (3,3,2,2), (7), (6), (4,2), (2). Liczby (długości boków subkwadratów) odpowiadające punktom wewnętrznym grafu pknp: a=10, b=9, c=3, d=6, e=3, f=3, g=2, h=2, i=7, j=2, k=6, l=4, ł=2.

2. Podział kwadratu 16×16 na pięć kwartetów kwadratów – na rys. 5. Zapis podziału: (4,5,3,4), (2,1), (3,1,5), (2,6), (5), (2,3), (2,5,1), (4,1,4), (3).

3. Podział prawie-kwadratu 15×16 na osiem różnych prawie-kwadratów – na rys. 6. Zapis podziału: (5×4, 3×4, 7×8), (6×5, 2×3), (2×1), (9×8), (6x7).

4. Pokrycie kwadratu 6×6 p triminami prostokątnymi i 12-p triminami sześciokątnymi nie jest możliwe dla p=11 i p=9.

5 9+576+784=1369 (32+242+282=372).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań książkę Richarda A. Mullera Teraz. Fizyka czasu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Michał Balcerek z Zielonej Góry, Małgorzata Kućmin z Opoczna, Renata Nowak z Krakowa, Jan Szopiński z Gdyni, Karol Zagórski z Wrocławia.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.