Cięcie cięciwami, czyli matematyka w pizzerii

Konsumpcję pizzy poprzedza z reguły jej dzielenie. To czynność poniekąd matematyczna – koło rozcinane jest wzdłuż średnic na wycinki. Pierwsze cięcie dzieli pizzę na półkola, drugie na ćwiartki itd. Zwykle kończy się na trzecim lub czwartym cięciu, po którym na talerzu pojawia się sześć lub osiem mniej więcej jednakowych smakowitych kawałków – wycinków kołowych. Wszystkie linie podziału przecinają się w jednym punkcie, w środku koła, a każda następna rozcina dwie części; tym samym liczba części po każdym cięciu zwiększa się o dwie. Uogólniając: jeśli linii dzielących (średnic) jest n, to liczba części równa się 2n.

Czy można podzielić pizzę n cięciami od brzegu do brzegu na mniej części? Oczywiście – wystarczy, by linie dzielące nigdzie się nie przecinały; wówczas liczba części C_n będzie minimalna, równa n+1. Warto zauważyć, że wynik byłby identyczny, gdyby pytanie dotyczyło analogicznej sytuacji w przestrzeni jednowymiarowej: na ile fragmentów dzieli prostą n umieszczonych na niej punktów?

W ujęciu matematycznym dowolnemu sposobowi dzielenia pizzy odpowiada dzielenie płaszczyzny liniami prostymi. Szwajcarski matematyk Jakob Steiner był jednym z pierwszych, który zainteresował się tym zagadnieniem, stawiając pytanie: na ile najwięcej części można podzielić płaszczyznę n prostymi? W opublikowanym w 1826 roku artykule wyprowadził wzór na tę liczbę, korzystając z rekurencji.

Aby części było najwięcej, każda prosta powinna przecinać każdą z pozostałych, zatem (I) żadne dwie nie mogą być równoległe. Jeśli prostych jest n, to każda z nich zostaje podzielona punktami przecięcia na n fragmentów (n-2 odcinki i dwie półproste), ale tylko pod warunkiem, że (II) żadne trzy proste nie przecinają się w jednym punkcie, bo gdyby tak było, to na każdej pojawiłoby się mniej odcinków, a w skrajnym przypadku nie byłoby ich wcale. Załóżmy zatem, że układ n przecinających się prostych spełnia warunki I i II (o takim układzie mówimy, że proste są w położeniu ogólnym) i poprowadźmy kolejną prostą (np. czerwoną linię na rys. 1), zachowując podane dwa warunki. Nowa prosta zostanie podzielona punktami przecięcia na n+1 fragmentów, które rozetną oznaczone literą części płaszczyzny między liniami na dwie części. Liczba części C_n wzrośnie zatem o n+1. Stąd wzór:

C_n+1= C_n+n+1, czyli C_n+1-C_n=n+1

W konkretnych kolejnych przypadkach, zaczynając od pierwszego cięcia, ostatnia równość będzie wyglądała tak:

C₁–C₀=1

C₂–C₁=2

C₃–C₂=3

…

C_n-1–C_n-2=n-1

C_n–C_n-1=n

Dodając wszystkie te równości stronami, otrzymamy:

C_n–C₀=1+2+3+…+(n–1)+n.

Prawa strona równości stanowi sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do n, czyli tzw. liczbę trójkątną równą n(n+1)/2. Jej nazwa wynika z interpretacji geometrycznej – to liczba kół o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny (dla n=5 praktycznym przykładem jest trójkątny ogranicznik używany przy grze w snookera, w którym na początku frame’a umieszcza się 15 czerwonych kul). Czyli

C_n–C₀=n(n+1)/2,

a ponieważ C₀=1, więc

C_n=1+n(n+1)/2.

Do tego wzoru można także dojść nieco inaczej, korzystając z tzw. trójkąta różnicowego. Jego podstawę stanowi ciąg liczb – w tym wypadku tworzą go liczby części C_n, na które dzieli płaszczyznę n prostych, dla n=0, 1, 2, 3… Wystarczy, jeśli będzie to pięć liczb C_n dla 0≤n≤4 – wartości te można ustalić choćby na podstawie rys. 1: 1, 2, 4, 7, 11. Nad tym ciągiem wpisujemy różnice między kolejnymi wyrazami, tworząc nowy ciąg, krótszy o jedną liczbę. Z nowym ciągiem i z każdym następnym postępujemy tak samo, dopóki nie pojawi się ciąg stały. Jeśli ciąg stały występuje w k-tym kroku (jako k-te różnice), to n-ty wyraz ciągu wyjściowego ma postać:

a_n = x_kn^k + x_k-1n^k–1 + ... + x₂n² + x₁n + x₀

Tutaj ciąg stały pojawia się już w drugim kroku (rys. 2 – praktycznie trójkąt różnicowy jest trapezem), czyli k=2, a więc

C_n = x₂n² + x₁n + x₀

Podstawiając w tym równaniu za C_n liczbę części, a za n odpowiadającą jej liczbę linii – i postępując tak dla trzech pierwszych wyrazów ciągu – otrzymamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego obliczymy stałe x₀, x₁, x₂. Ostatecznie otrzymamy wzór:

C_n = (1/2)n² + (1/2)n + 1 = 1 + n(n+1)/2

Jeśli zatem rozcinamy pizzę nietypowo, czyli wzdłuż cięciw, to największa liczba części, jaka może powstać w wyniku n cięć, będzie o jeden większa od n-tej liczby trójkątnej. Warto podkreślić, że po zastąpieniu płaszczyzny kolistą pizzą każda cięciwa powinna przecinać każdą z pozostałych. Inaczej mówiąc, nie może być tak, aby przedłużenia jakichś dwu cięciw przecięły się poza kołem. Takie ograniczenie powoduje, że pojawia się ciekawy problem graficzno-geometryczny: jak narysować koło rozcięte na maksymalną liczbę części więcej niż 5–6 cięciwami w taki sposób, aby wszystkie te części były wyraźnie widoczne, a rysunek nie był przesadnie duży? Jeśli na przykład rys. 1 umieścimy w kole, ograniczając proste do cięciw, to dorysowanie piątej cięciwy, przecinającej cztery pozostałe (zielona linia na rys. 3) tak, aby wszystkie 16 części było dostatecznie dużych, będzie jeszcze możliwe. Jednak poprowadzenie szóstej sprawi już kłopot, bo powstające części mogą okazać się węższe niż wyznaczające je cięciwy, więc praktycznie trudno je będzie dostrzec.

Wydaje się, że najlepszy sposób, zapewniający przejrzystość narysowanego podziału mimo dużej liczby cięciw, polega na podzieleniu koła n średnicami na równe części, a następnie równoległym przesunięciu każdej średnicy na odpowiednią, zawsze taką samą odległość od środka koła – każdej kolejnej w przeciwną stronę niż poprzedniej. Dla 9 średnic, a po przesunięciu i skróceniu – 9 cięciw, efekty obu etapów tej czynności przedstawione są na rys. 4. Teraz każda cięciwa przecina wszystkie pozostałe i nawet najmniejsze z 46 części widoczne są bez lupy.

Od czasów Steinera, czyli od blisko dwóch wieków, temat dzielenia płaszczyzny prostymi na części wydawał się zakończony. Powrócił niedawno w związku z pewnym prostym zadaniem zamieszczonym w wydanym w Stanach Zjednoczonych podręczniku planimetrii. Zadanie jest jednym krótkim zdaniem: podziel płaszczyznę na pięć części najmniejszą możliwą liczbą prostych. Jeśli dodać, że zadanie znajduje się w rozdziale dotyczącym linii równoległych, można je uznać za niemal trywialne – rozwiązaniem są cztery równoległe cięcia. Można by wprawdzie próbować dzielić płaszczyznę na pięć części trzema cięciami, ale łatwo sprawdzić, że żadne z czterech możliwych „trójcięć” nie będzie rozwiązaniem (rys. 5). Wspomniany powrót tematu nastąpił po modyfikacji i uogólnieniu tego zadania: na ile części można podzielić płaszczyznę n prostymi? Pytanie różni się od tego, na które odpowiedź podał Steiner, wyłącznie brakiem słowa najwięcej, ale prowadzi do nowych, ciekawych spostrzeżeń.

W tabeli na rys. 6 podane są liczby prostych (1≤n≤8) dzielących płaszczyznę i wszystkie możliwe liczby części (C_n), na które da się podzielić płaszczyznę każdą z tych liczb linii. Na czerwono oznaczone są wartości ekstremalne C_n – najmniejsza i największa dla danego n, na niebiesko – tzw. liczby Iwanowa (o nich w dalszej części artykułu), dwie fioletowe są równocześnie liczbami ekstremalnymi i Iwanowa. Najbardziej frapujące w tabeli jest to, co niemożliwe, a więc luki oznaczone niebieskimi kółeczkami. O pierwszej luce, pojawiającej się przy trzech cięciach, była już mowa przy okazji zadania z podręcznika planimetrii, czyli – wracając do kulinariów – nie sposób podzielić pizzy trzema cięciami na pięć części (cały czas proszę pamiętać o tym, że pizza „zastępuje” płaszczyznę, a zatem tniemy od brzegu do brzegu wzdłuż cięciw, których przedłużenia nie mogą przecinać się poza pizzą). W przypadku pięciu cięć nie są już możliwe podziały na 7, 8, 9 i 11 części. Ogólnie: pierwsza luka pojawia się dla n≥3 między dwiema wartościami C_n – najmniejszą, równą n+1 (wszystkie cięciwy są równoległe), a wartością 2n (równoległe są wszystkie cięciwy poza jedną albo wszystkie przecinają się w jednym punkcie).

Nietrudno jest także umiejscowić drugą lukę, występującą dla każdego n≥5. Jest ona zawarta między wartościami C_n równymi 2n i 3n-3. Ta druga wartość odpowiada układowi, w którym n-1 cięciw przecina się w jednym punkcie, a n-ta cięciwa jest równoległa do jednej z nich. Inaczej mówiąc, druga luka obejmuje wartości 2n+1≤C_n≤3n-4. W miarę jak wzrasta liczba cięciw, w ciągu liczb części, na które n cięciwami można podzielić koło, pojawiają się kolejne luki, a równocześnie powiększają się poprzednie. Jeszcze 10 lat temu nie było wiadomo, czy ośmioma cięciami uda się podzielić pizzę na 23 kawałki. Trzecia luka w dolnym rzędzie tabeli na rys. 6 świadczy o tym, że wątpliwości już nie ma. Gdy potrzebne są 22 kawałki, sprawa jest prosta (dwa przykłady na rys. 7), jeśli 24 – także (rys. 8), w dodatku podział na rys. 8 z prawej strony może być w miarę sprawiedliwy (zbliżona wielkość części), jeśli w odpowiednich odległościach od siebie poprowadzić równoległe cięcia. Natomiast żaden układ ośmiu cięciw nie zaowocuje podziałem na 23 części.

Na rys. 7 i 8 oznaczone są skrzyżowania 8 cięciw – w czerwonych punktach przecinają się dwie linie, w zielonych więcej. Korzystając ze skrzyżowań, można obliczyć liczbę części, znana jest bowiem następująca zależność:

C_n=n+1+S ^S_i=1 (k_i–1)

W tym wzorze s jest liczbą skrzyżowań, a k₁, k₂,…, k_s liczbą linii, tworzących dane skrzyżowanie. Można zatem łatwo sprawdzić bez potrzeby liczenia części, co przy nieregularnym rozmieszczeniu linii bywa kłopotliwe, że np. w pierwszym układzie na rys. 7 rzeczywiście są 22 części, ponieważ C_n=8+1+(1+1+1+1+1+1+1+6)=22.

Kwestia luk w ciągach dla kolejnych wartości n nie jest do końca wyjaśniona. Pierwsza wątpliwość pojawia się przy n=12. Mówiąc „kulinarnie”, nie wiadomo, czy 12 cięciami da się podzielić pizzę na 44 kawałki. Wiadomo natomiast dla każdego n, od jakiej wartości C_n=i luki nie występują aż do największego C_n=1+n(n+1)/2. Liczby i zwane są liczbami Iwanowa (od nazwiska matematyka z Uniwersytetu Petersburskiego, który analizował opisywane zagadnienie*).

Określenie wartości każdej z nich dla danego n jest nieco zawiłe: i=j(n+2–j), gdzie j to najmniejsza liczba (całkowita, dodatnia) taka, że j(j+1)≥2(n–1). Policzmy i dla 12 linii: 2(n–1)=22, zatem j=5, a stąd i=5(12+2–5)=45. A więc 12 prostymi można podzielić płaszczyznę na każdą liczbę części od 45 do największej możliwej równej 79. Warto dodać, że liczby Iwanowa to tzw. górne pewniaki, czyli dla danego n żadna nie może być większa. Niewykluczone jednak, że wartości niektórych wyłamią się z podanego wzoru i zmaleją. Może się tak zdarzyć, jeśli zostaną wyjaśnione wątpliwości w rodzaju podanej wyżej, a więc gdy np. komuś uda się podzielić pizzę 12 cięciami na 44 kawałki.

Zadania

1. Koło na rys. 9 rozcięto trzema cięciwami na największą możliwą liczbę części, czyli 7, w taki sposób, że powierzchnia każdego z czterech żółtych trójkątów jest jednakowa. Trójkąt w środku jest równoboczny, trzy pozostałe – równoramienne z łukiem okręgu w podstawie. Jaka jest łączna powierzchnia wskazanych trójkątów, czyli całej żółtej części koła, jeśli jego promień równy jest 10? Wynik wystarczy podać z dokładnością do jedności.

2. Podział koła jest taki sam, jak w zadaniu 1, ale problem jest całkiem inny i znacznie prostszy. Końce cięciw oznaczono literami, a części ponumerowano kolejno rzędami od góry (rys. 10). Każda cięciwa dzieli koło na dwa szaro-żółte obszary. Sumy cyfr w poszczególnych parach obszarów wynoszą:

– dla cięciwy AD – 12 i 16,

– dla cięciwy BE – 12 i 16,

– dla cięciwy CF – 6 i 22.

Zadanie polega na zamianie miejscami jak najmniejszej liczby cyfr w taki sposób, aby po tych zmianach suma po obu stronach każdej cięciwy była taka sama, czyli równa 14.

3. Dwie osoby grają w cięciwy. „Planszą” jest koło, na obwodzie którego znajduje się 19 równomiernie rozmieszczonych, ponumerowanych punktów (rys. 11). Każdy ruch polega na narysowaniu cięciwy łączącej dwa punkty, ale żadna cięciwa nie może:

– mieć punktów wspólnych (także końców) z inną cięciwą;

– łączyć dwu punktów, z których jeden oznaczony będzie liczbą parzystą, a drugi nieparzystą.

Wygrywa ten, kto wykona ostatni ruch.

Które dwa punkty powinien połączyć cięciwą rozpoczynający rozgrywkę, aby niezależnie od gry przeciwnika zapewnić sobie wygraną dzięki korzystaniu z prostej strategii, a więc nie wymagającej rozpatrywania różnych wariantów rozgrywki po danym ruchu.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 kwietnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 4/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Maria Skłodowska-Curie Magdaleny Niedźwiedzkiej ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

* On the Number of Regions into Which n Straight Lines Divide the Plane. Oleg A. Ivanov, The American Mathematical Monthly, tom 117, nr 10, s. 881–888, grudzień 2010.

***

Rozwiązania zadań z numeru lutowego

1. Liczbą podzielną przez 2 i 9, która ma dokładnie 14 dzielników, jest 1458.

2. Liczby w wierszach (od góry): 478 (4 dzielniki), 625 (5 dzielników), 193 (2 dzielniki); liczby w kolumnach (od lewej): 461 (2 dzielniki), 729 (7 dzielników),853 (2 dzielniki).

3. Najmniejszą liczbą, wśród dzielników której można wskazać dziesięć takich, z których każdy kończy się inną cyfrą, jest 270 (dzielniki: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270).

4. Wygraną zapewnia wzięcie żetonu z liczbą 6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań książkę Leszka Kołakowskiego Ułamki filozofii, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: : Jakub Gac z Kad, Sławomir Maludziński i Jacek Trepkowski z Krakowa, Adam Twórz z Borkowa oraz Przemysław Rożniakowski z Warszawy.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.