Truskawkowe węże, czyli łowy na LS-y

Zapewne najbardziej znany wzór, w którym występują, wyraża drugą zasadę dynamiki Newtona: F" = ma". Dla odmiany równie wyrazistych par liczba-strzałka (LS) ani w fizyce, ani w matematyce nie znajdziemy, jednak łatwo je dostrzec w naszym otoczeniu – są nimi drogowskazy.

Właściwie stwierdzenie, że LS-ów brak w matematyce, nie jest całkiem ścisłe. Po pierwsze dlatego, że strzałka może poprzedzać liczbę w zapisie granicy funkcji. Po drugie, od niedawna LS-y coraz częściej goszczą w matematyce rekreacyjnej.

Związek między liczbą a strzałką nie jest w nich bezpośredni, tzn. elementy te na siebie nie oddziałują, natomiast oba dotyczą jakiegoś obiektu zewnętrznego. Czasem określony jest, jak na drogowskazach, rodzaj obiektu, kierunek, w którym się ów obiekt znajduje oraz jego odległość od LS-u. Kiedy indziej liczba określa, ile określonych obiektów jest widocznych w kierunku wskazanym przez strzałkę. Występują także inne relacje, np. liczbowe powiązanie kilku LS-ów za pośrednictwem wskazywanego przez nie jednego obiektu.

LS-y pojawiają się w łamigłówkach tylko wówczas, gdy ich obecność jest konieczna, tzn. gdy umieszczenie samej liczby lub strzałki nie byłoby jednoznaczne. W przypadku liczby umieszczonej np. przy brzegu diagramu z reguły wiadomo, że dotyczy ona rzędu, na którego przedłużeniu się znajduje. Tak jest w wielu zadaniach, które uchodzą za „klasyczne”, czyli starsze niż sudoku, jak choćby w okrętach wzorowanych na znanej grze typu papier-ołówek. W przykładzie na rys. 1 chodzi o rozlokowanie na diagramie floty złożonej z siedmiu jednostek widocznych pod diagramem – tak, aby zajmowane przez nie pola nie stykały się nawet tylko rogami. Liczby przy brzegu teoretycznie są LS-ami, bo każda „wskazuje” na wiersz (kolumnę) – obok którego (nad którą) się znajduje – i oznacza, ile pól w danym rzędzie powinny zajmować okręty. W praktyce jednak umieszczanie obok liczb strzałek jest w tym przypadku zbędne, bo kierunki są oczywiste, zatem o LS-ach trudno mówić.

Inaczej jest w podobnych zadaniach z liczbami umieszczonymi wewnątrz diagramu – wówczas kierunki „działania” liczb należy określić, zatem pojawiają się także strzałki. Okręty można zresztą w ten sposób zmodyfikować, usuwając brzegowe liczby, a zamiast nich lokując na morzu LS-y. Efektem będzie na przykład taka jak na rys. 2 łamigłówka bliźniacza, czyli mająca identyczne rozwiązanie jak ta z rys. 1. Liczby oznaczają to samo, ale każda obejmuje mniejszy zakres, więc może ich być nieco mniej. Które zadanie jest trudniejsze? – proszę ocenić samemu.

Podobnym przeróbkom nietrudno poddać inne popularne łamigłówki japońskie, zastępując oryginalny klucz do rozwiązania kluczem LS-owym. Dobrze nadaje się do tego nurikabe, znane u nas także jako stawy i grobla. W zadaniu chodzi o zaczernienie niektórych kratek diagramu tak, aby wszystkie zaczernione utworzyły spójny obszar, niezawierający kwadratu 2×2 („spójność” oznacza, że każde dwie czarne kratki łączy czarna droga, ale dwie kratki stykające się tylko rogami nie są spójne). Ten obszar to grobla między stawami, czyli niezaczernionymi grupami pól; stawy mogą się stykać rogami. Kluczem do rozwiązania są liczby – każda znajduje się w jednym polu każdego stawu i określa, z ilu kratek ten staw się składa.

Gwoli jasności na rys. 3 znajduje się mały przykład. Zadanie nurikabe jest na rys. 4a, a obok (rys. 4b) jego bliźniak z LS-ami zamiast samych liczb, czyli nurikabe LS. Istotna różnica polega na tym, że strzałki w LS-ach wskazują na groblę, a liczby określają, ile czarnych pól powinno być widocznych w danym kierunku. Powierzchnia grobli znacznie przewyższa powierzchnię stawów, zatem LS-ów jest więcej niż liczb w oryginalnym nurikabe, a ponadto wszystkie znajdują się w stawach, co ułatwia rozwiązywanie. Nie znaczy to jednak, że tego typu zadania nie mogą być trudne.

Jeśli stawy w nurikabe połączą się, tworząc jeden duży akwen, a z grobli pozostaną małe jednokratkowe wyspy, to powstanie inna japońska łamigłówka, której krótką polską nazwą są właśnie wyspy (oryginalna jest przydługa i trudna do przetłumaczenia – yaji-san kazu-san). Diagram wysp wygląda jak nurikabe LS, a LS-y także wskazują liczbę pól, które należy zaczernić w danym kierunku. Jednak czarne pola:

– nie mogą stykać się bokami,

– stykając się rogami, nie mogą dzielić diagramu na części, czyli akwen powinien być jeden i spójny, jak grobla w nurikabe.

Jest jeszcze nietypowa reguła: zaczerniać można i należy także niektóre LS-y, przekształcając je w wyspy, a tym samym jakby unieważniając lub likwidując – te mianowicie, których obecność prowadzi do sprzeczności z innymi LS-ami lub warunkami zadania. Nietrudno zresztą już na początku zauważyć takie „zmyłki”, których umiejscowienie nie ma sensu, jak choćby pary LS-ów kolidujących ze sobą albo np. stykających się bokami – wówczas przynajmniej jeden LS nie może zostać zaczerniony, a zwykle jeden kwalifikuje się do zaczernienia. Na rys. 5 znajduje się mały przykład wysp z rozwiązaniem, a na rys. 6 dość trudne zadanie „treningowe”.

W nurikabe oraz w wyspach, a w mniejszym stopniu także w okrętach, jest widoczna podstawowa cecha matematyczna znacznej części logicznych łamigłówek diagramowych, zwłaszcza japońskich: są one binarne, czyli diagram tworzą pola, z których każde może znajdować się w jednym z dwóch stanów: puste (białe) lub zajęte (czarne). Ogólny cel rozwiązywania jest zawsze taki sam – chodzi o określenie stanu poszczególnych pól. Różne są tylko drogi do celu, a ściślej reguły wyznaczające te drogi. Swego rodzaju wyjątek stanowi sudoku, które nie jest binarne, bo cyfry w rozwiązaniu są w każdym polu. Polując na LS-y, czyli szukając zadań, w których LS-y występują, trafia się na takie niebinarne wyjątki częściej niż w przypadku innych rodzajów łamigłówek. Kilka z nich, najbardziej pomysłowych, zasługuje na przedstawienie.

Na rys. 7a jest zadanie zwane skakanką lub strzałkowym labiryntem. Polega ono na tworzeniu LS-ów, a więc na wpisaniu liczb obok wszystkich „samotnych” strzałek. Ich rozmieszczenie powinno być takie, aby każda strzałka z liczbą x wskazywała w kierunku strzałki z liczbą x+1. Inaczej mówiąc, poruszając się po diagramie zgodnie za wskazaniami strzałek – zwykle skokami, czyli między polami, które nie graniczą ze sobą – powinno być możliwe obejście wszystkich pól w kolejności oznaczających je liczb od 1 do 16. Oprócz startu i mety na rys. 7a liczba wpisana jest w tylko jedno pole przejściowe. Na rys. 7b znajduje się mniejszy przykład skakanki z rozwiązaniem.

Formalnie bardzo podobna do skakanki jest japońska łamigłówka nan shurui? (ile rodzajów?), szerzej znana jako japońskie strzałki lub liczby do strzałek. Bazuje ona jednak na zupełnie innym oryginalnym pomyśle, kojarzącym się ze sprzężeniem zwrotnym. Obok wszystkich strzałek, jak w skakance, powinny pojawić się liczby (obok niektórych już są), ale takie, by strzałka w każdym LS-ie wskazywała na tyle różnych liczb, jaka jest wartość towarzyszącej jej liczby. Przykład z rozwiązaniem na rys. 8.

Na koniec najbardziej niezwykły, tytułowy obiekt łowów, czyli truskawkowe węże – łamigłówka z LS-ami pełniącymi rolę pomocniczą, od kilku lat bardzo popularna w Japonii. Jej reguły są nieco zawiłe, więc czytając je, warto zerkać na przykład z rozwiązaniem (rys. 9)

Na diagramie należy oznaczyć kilka węży. Wąż jest ciągiem pięciu jasnych pól, z których każde następne ma wspólny bok z poprzednim, a wszystkie są oznaczone kolejno cyframi od 1 do 5. Oznaczenie węża polega więc na ponumerowaniu pięciu kolejnych jasnych pól. Węże są rozłączne, czyli żadne dwa nie mogą się stykać bokami pól, rogami mogą. Pole 1 to głowa węża, który widzi tylko jasne pola przed sobą w tym rzędzie, w którym są jego pola 1 i 2; zasięg widzenia ogranicza ciemne pole. Żaden wąż nie może widzieć żadnego pola innego węża. W niektórych lub wszystkich ciemnych polach są LS-y – każdy wskazuje kierunek i najbliższą w tym kierunku liczbę wężowego pola; ten sam wąż może być wskazany więcej niż raz; zero w LS-ie oznacza, że do najbliższego ciemnego pola nie ma żadnego fragmentu węża.

A dlaczego węże są truskawkowe? Otóż „truskawka” to po japońsku ichigo, ale równocześnie ichi znaczy „jeden”, a go to „pięć”. Zatem o atrakcyjności zadania decyduje w pewnym stopniu także homonimiczna gra słów.

Zadania

Podane są tylko nazwy łamigłówek; zasady ich rozwiązywania znajdują się w artykule.

1. Nurikabe LS (rys. 10). W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę zaczernionych pól na przekątnych diagramu.

2. Wyspy (rys. 11). W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę zaczernionych pól na przekątnych diagramu.

3. Skakanka (rys. 12). W rozwiązaniu wystarczy podać sumę liczb na przekątnych diagramu.

4. Japońskie strzałki (rys. 13). W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę trójek w diagramie.

5. Truskawkowe węże (rys. 14). W rozwiązaniu wystarczy podać sumę „wężowych” liczb na przekątnych diagramu.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 3/17, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Stephona Alexandra Jazz i fizyka. Tajemniczy związek muzyki ze strukturą Wszechświata ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

***

Rozwiązania zadań z numeru grudniowego

1. Układ 13 pionków na rys. A można wyskakać do jednego pionka najmniej w ośmiu ruchach: 1. b2-d2, 2. e2-c2-c4, 3. d4-b4, 4. b3-b5, 5. a5-c5-e5-e3-g3, 6. g4-g2, 7. f2-h2, 8. h1-h3.

2. W układzie 16 pionków na rys. B (z lewej) należało wykonać jak najmniej ruchów, po których powstanie układ bez możliwości wykonania skoku. Minimalną liczbą ruchów jest 5, na przykład: 1. d3-f3, 2. d5-d3-d1, 3. c3-a3, 4. c5-a5, 5. e5-e3-e1-c1-c3-c5 – na diagramie pozostaje 6 pionków (rys. B z prawej).

3. Układ 10 pionków na planszy „Wielkiej trzynastki” (rys. 17) można wyskakać do jednego pionka najmniej w sześciu ruchach: 1. b4-d2, 2. a1-e1-c3, 3. c5-c1, 4. a5-a1-c3, 5. c1-c5-e3, 6. e5-e1.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwu zadań książkę Lisy Randall Ciemna materia i dinozaury ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Cyprian Cukier z Lubochni, Paweł Hołownia z Ożarowa Mazowieckiego, Damian Jasiński z Łodzi, Konrad Kusiak z Wrocławia, Jolanta Mazurek z Wadowic.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.