Matematyka papieru
Doświadczenie 1
Jak podzielić pasek na trzy równe części? Z kartki papieru ksero wytnij pasek o długości 12 cm i szerokości 2 cm. Zegnij go na pół jak na schemacie. Złóż lewe skrzydło na pół, a powstała linia zagięcia niech wyznaczy nowe prawe skrzydło. Złóż to nowe prawe skrzydło na pół – powstała linia wyznaczy nowe lewe skrzydło. Złóż nowe lewe skrzydło na pół, wyznaczając nowe skrzydło prawe. Powtarzaj procedurę jeszcze kilka razy.
Wyjaśnienie: Taki sposób powtarzania pewnej operacji nazywamy iteracją. Nowe zagięcia grupują się coraz bliżej, dążąc do stanu, w którym podzielimy pasek papieru na trzy równe części. Zauważ, że położenie pierwszego zgięcia jest nieistotne – nie musi być w połowie, a iteracje i tak doprowadzą do rozwiązania. W iteracyjny sposób można też uzyskać inne podziały paska – np. na pięć równych części. Iteracje stanowią też podstawę origami fraktalnych i teselacji jak Andrea’s rose projektu J.C. Nolana czy hortensji (hydrangea) Shuzo Fujimoto – film:
www.youtube.com/watch?v=zu5F0Hmd3ZA&t=20s.
Doświadczenie 2
Jak zrobić trójkąt równoboczny z prostokąta? Złóż kartkę ksero na pół wzdłuż dłuższej krawędzi i ją rozłóż. Następnie złóż całą krótszą krawędź w taki sposób, by nowe złożenie utworzyło trójkąt prostokątny (patrz schemat). Ostatnie złożenie wzdłuż linii wyznaczonej przez najkrótszy bok trójkąta prostokątnego tworzy trzecią krawędź trójkąta równobocznego, który widzimy po rozłożeniu kartki.
Wyjaśnienie: Origami to zabawa kątami i odcinkami – każde złożenie generuje nowe kąty i nowe odcinki. Z kwadratu można łatwo uzyskać sześciokąty i pięciokąty, które stanowią nie tylko matematyczne wyzwania, ale bazę pod modele np. kwiatów, takich jak róża Naomiki Sato. Film, jak ją wykonać:
www.youtube.com/watch?v=TJZqP0ICh5A.
Doświadczenie 3
Przygotuj kwadrat z kartki. Złóż ją na pół i rozłóż. Na krawędzi powstał punkt, w który staraj się trafić szpicem jednego z przeciwległych rogów kartki. Podzieli to kartkę na czworokąt i dwa stykające się wierzchołkami trójkąty – dłuższa przyprostokątna większego trójkąta (lewego) ma 2/3 długości boku kwadratu.
Wyjaśnienie: Seria złożeń pozwala podzielić kwadrat na trzy równe prostokąty bez wykorzystania podejścia iteracyjnego. Inny sposób polega na wyznaczeniu przekątnej kwadratu, złożeniu go na pół na dwa prostokąty i wyznaczeniu przekątnej mniejszego prostokąta – przecięcie obu przekątnych również wyznacza 1/3 długości boku. Taki podział to także pierwszy etap rozwiązania starożytnego problemu delijskiego – podwojenia sześcianu o boku x, czyli uzyskania boku 2x. Zastosowanie odpowiednich proporcji dobrze ilustruje navel shell autorstwa Tomoko Fuse.
Film: www.youtube.com/watch?v=-n1K_gKP_7Q.
Doświadczenie 4
Sprężyna z papieru. Z kartki wytnij prostokąt 21 × 4 cm. Złóż na pół wzdłuż dłuższej krawędzi i rozłóż. Wykonaj złożenie pozwalające wyznaczyć kwadrat z prostokąta, wyznacz obie jego przekątne i brakujący bok. Złóż kwadrat na pół (dzieląc go złożeniami na cztery mniejsze kwadraty). Widzisz dwa małe kwadraty – palcami ściśnij lewy, a rozchyl ten drugi i wepchnij do środka jego róg. Potem to samo zrób z drugiej strony. Otrzymujesz coś w rodzaju czteroramiennej gwiazdy-piramidki. Powtarzaj na całej długości paska.
Wyjaśnienie: Powstałe origami jest elastyczne i działa jak sprężyna – może nawet podskakiwać. Tego typu złożenie może być zastosowane do całych arkuszy, co pozwala na uzyskiwanie ciekawych wizualnie (motyw np. abażurów), łatwo składających się paneli lub zabawek typu magic ball (której autorem jest prawdopodobnie Yuri Shumakov; www.youtube.com/watch?v=GWQBacalR9c). Rada dla początkujących: najlepiej skleić taśmą kilka takich sprężyn obok siebie (z przesunięciem o pół kwadratowego modułu).
Doświadczenie 5
Z kartki wytnij prostokąt 21 × 4 cm. Złóż raz ok. 3 cm od krótszego boku (jak do składania w harmonijkę), ale potem całość złóż na pół wzdłuż dłuższej krawędzi tak, aby złożony fragment był zawinięty jak kołnierzyk na zewnątrz. Delikatnie odciągnij kołnierzyk tak, by jego luźne płaty odsłoniły niewielki „trójkąt” – dociśnij złożenie. Wywijaj dłuższy fragment – musi utworzyć zdeformowaną harmonijkę, pasującą do otrzymanej początkowej linii.
Wyjaśnienie: Otrzymujesz coś w rodzaju uproszczonego złożenia Miura. Łącząc ze sobą kilka kawałków (np. taśmą klejącą), możesz uzyskać arkusz o niezwykłych własnościach. W małej przestrzeni pozwala on upakować dużą powierzchnię arkusza. Łatwo składa się i rozkłada. Częściowo rozłożony tworzy bardzo stabilne trójwymiarowe rusztowanie – podłoże, które może utrzymać kubek z wodą. Tego typu złożenie nadaje się do tworzenia kurtyn zacieniających czy parawanów.
***
Uwaga!
Redakcja nie ponosi odpowiedzialności za ewentualne szkody powstałe wskutek doświadczeń.
***
Zestaw przyrządów i materiałów
papier ksero, taśma klejąca
Niewliczone w cenę: nożyczki
Czas przygotowania: 1,5 godz.
Koszt: 24 zł
***
Wiedza w pigułce
Sztuka składania papieru prawdopodobnie pojawiła się wraz z samym papierem, lecz jak wiele chińskich wynalazków prawdziwie rozkwitła dopiero w pobliskiej Japonii. To właśnie z tego kraju pochodzi najstarsza książka poświęcona origami (oru kami to dosłownie „składany papier”), datowana na XVIII w. Nie skupia się ona na samym składaniu modeli (co wskazuje, że tradycja ta jest znacznie starsza), ale na kompozycjach papierowych żurawi, które przyciągają pomyślność. Najbardziej znanym motywem jest senbazuru – tysiąc żurawi wykonanych w rok, co zapewnia twórcy dobrobyt lub spełnienie życzenia. Ten popularny prezent ślubny wiąże się też z tragiczną historią jedenastoletniej Sadako Sasaki – miała życzenie, by zatrzymać skutki choroby popromiennej wśród dzieci po ataku nuklearnym na Hiroszimę. Nim zmarła, zdołała złożyć z papierków po lekach 644 żurawie – ten akt nadziei Japończycy uhonorowali wystawieniem jej pomnika.
Oprócz modeli tradycyjnych wciąż powstają nowe dzieła sztuki – coraz bardziej skomplikowane i realistyczne. Tworzone są nawet programy komputerowe ułatwiające projektowanie modeli smoków lub owadów, które zachwycają wieloma odnóżami i skrzydłami, a przy tym wciąż powstają z kwadratowej kartki bez zastosowania nacięć. Istnieją modele ruszające się (action origami) – pociągnięcie za jedną część wywołuje np. ruch skrzydeł ptaka. Nowinki publikowane są w magazynach branżowych jak „Origami Tanteidan” także jako tzw. crease pattern – swoiste zagadki do rozwiązania. Wiele tutoriali znajdziemy na YouTube.
Origami to inspiracje dla twórców składanych mebli, fasad budynków czy abażurów lub doniczek, ale sztuka ta fascynuje też matematyków, inżynierów i fizyków. Kōryō Miura zaprojektował wydajny sposób składania arkuszy – przydatny dla twórców kieszonkowych planów miast i paneli fotowoltaicznych satelitów. Z origami czerpią autorzy projektów medycznych mikrorobotów oraz stentów. Złożone protezy naczyniowe można łatwo wepchnąć do zapchanego miażdżycą naczynia, a następnie pozwolić im się rozłożyć w formie elastycznego walca zapobiegającego zatkaniu naczynia. Fizyk Robert J. Lang słynie nie tylko z autorstwa przepięknych modeli, ale jest także jednym z pionierów nowego działu matematyki – geometrii origami. W tej przestrzeni można rozwiązywać równania algebraiczne czwartego stopnia lub dokonywać trudnych dla konstrukcji platońskich (wykonywanych cyrklem i linijką bez podziałki) podziałów kąta na trzy równe części.