Para za parą, czyli łowy na liczbowe duety

Jeśli mamy dwie liczby całkowite dodatnie (X, Y), z których jedna jest dzielnikiem drugiej, to wynik każdego z czterech podstawowych działań między tymi liczbami jest liczbą całkowitą nieujemną (dla X=Y różnica może być zerem) – oczywiście przy założeniu, że odjemna jest nie mniejsza niż odjemnik, a dzielna nie mniejsza niż dzielnik.

Na przykład dla pary (28, 84): suma S=112, różnica D=56, iloczyn P=2352, iloraz Q=3. Zauważmy, że wszystkich cyfr, tworzących te cztery wyniki, jest dziesięć [1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6], ale prawie wszystkie się powtarzają. A czy istnieje taka para (X, Y), dla której cyfr tworzących wyniki także jest dziesięć, ale każda jest inna? Z takim zadaniem, typowym dla rekreacyjnej teorii liczb, zmagali się programiści w ramach Łamibloga na portalu internetowym Polityki.

Okazało się, że para jest tylko jedna, w dodatku szczególna, bo bliźniacza – X=Y=287, ponieważ wówczas S=574, D=0, P=82369, Q=1, czyli zgodnie z warunkiem zadania wszystkie wyniki obsługuje jeden komplet dziesięciu różnych cyfr od 0 do 9. Ta bliźniacza własność 287 jest jedyną niezwykłą cechą tej liczby, która ją wyróżnia i predestynuje do umieszczenia w liczbowym panopticum*, gdzie dotąd nie trafiła. Trudno się zresztą dziwić temu, że 287 dotychczas nie zagościła w gabinecie liczbowych osobliwości, skoro żadna jej znana wcześniej własność nie tylko nie jest typowa wyłącznie dla niej, ale nawet nie dotyczy obejmującej ją jakiejś dostatecznie małej grupy liczb.

Na przykład 287 jest liczbą półpierwszą, czyli iloczynem dwóch liczb pierwszych (7×41), ale gęstość G₁₀₀₀ liczb półpierwszych, czyli ich liczba w przedziale do tysiąca, wynosi aż 299. Wśród liczb pięciokątnych, wyrażających się wzorem n(3n–1)/2 – których wersję geometryczną dla 1≤n≤7 przedstawia rys. 1 – 287 pojawia się przy n=14, a gęstość G₁₀₀₀ takich liczb jest znacznie mniejsza niż półpierwszych – równa 25. Jeszcze o jedną mniej wśród pierwszego tysiąca liczb naturalnych jest takich liczb, które można przedstawić w postaci sumy dziewięciu kolejnych liczb pierwszych. 287 zajmuje tu siódmą pozycję (17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47). G₁₀₀₀=24 to jednak wciąż za dużo, aby liczba zasługiwała na wyróżnienie. Mogłaby ewentualnie dostąpić tego zaszczytu jako jedna z jedenastu mniejszych od tysiąca, które są sumą kolejnych liczb pierwszych na trzy sposoby; dwa pozostałe, oprócz sumy podanej wyżej, to: 89 + 97 + 101 oraz 47 + 53 + 59 + 61 + 67.

Wracając do zadania o dwóch liczbach (X, Y), warto zauważyć, że gdy pominiemy warunek, aby jedna z nich była wielokrotnością drugiej, wówczas jako rozwiązanie pojawi się jeszcze jedna para liczb, czyli jeden komplet dziesięciu różnych cyfr obsłuży wyniki czterech działań, ale iloraz będzie zawierał ułamek dziesiętny. Ta para to (2, 81), a wynikami działań są: S=83, D=79, P=162, Q=40,5. Kto wie, czy zestaw wyników w tym rozwiązaniu nie jest bardziej urokliwy niż w przypadku bliźniaczego duetu (287, 287). Programiści z Łamibloga zaproponowali też pomijanie części ułamkowej ilorazu. Wtedy rozwiązań jest osiem – na przykład (44, 141); S=185, D=97, P=6204, Q≈3 – jednak takie podejście wydaje się niezbyt eleganckie albo nazbyt konformistyczne.

Zadań polegających na szukaniu dwóch liczb, spełniających określone warunki, powstało i można układać sporo. Gdyby jednak pozostać przy warunku dotyczącym wyników czterech podstawowych działań między tymi liczbami, które to wyniki powinny być jakimś konkretnym i znanym rodzajem liczb o gęstości G₁₀₀₀ nieprzekraczającej na przykład 300, to możliwości nie byłoby zbyt wiele. Liczby pierwsze w roli wyników oczywiście z natury odpadają. Podobnie nie wchodzą w grę liczby półpierwsze, bo wtedy parę (X, Y) musiałyby tworzyć – ze względu na iloczyn – liczby pierwsze, ale wówczas iloraz nie byłby liczbą całkowitą. Czy zatem wyniki mogą być kwadratami? Okazuje się, że tak, ale tylko dla szczególnych par bliźniaczych, gdy obie liczby są połówkami tego samego kwadratu. W grę wchodzą więc wyłącznie wyrazy ciągu: 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, … Na przykład, dla pary (18, 18): S=36, D=0, P=324, Q=1.

Dowód, że inne pary nie prowadzą do wyników-kwadratów, najwygodniej zacząć od założenia, że kwadratami są suma i różnica, czyli:

(1) X + Y = a²

(2) X – Y = b²

Dodając i odejmując stronami (1) i (2), otrzymamy:

(3) a² + b² = 2X

(4) a² – b² = 2Y

Po pomnożeniu stronami (3) i (4) powstanie:

a⁴ – b⁴ = 4XY

Iloczyn XY powinien być kwadratem (c²) – i cała prawa strona także (2c)², jednak zgodnie z tzw. twierdzeniem Fermata o trójkącie prostokątnym – jedynym, które Fermat udowodnił – różnica czwartych potęg nie może być kwadratem dla liczb całkowitych dodatnich (to temat na odrębny artykuł z pogranicza twierdzenia Pitagorasa i wielkiego twierdzenia Fermata).

Można by jeszcze zapytać o pary (X, Y), których suma, różnica, iloczyn i iloraz są dowolnymi potęgami – oczywiście bez mniejszych niż druga i już nie wyłącznie drugimi. Tu sprawa jest niejasna, ale z dotychczasowych bezowocnych poszukiwań komputerowych można wnosić, że takich par nie ma.

W algebrze polecenie „znajdź parę liczb” kojarzy się z matematyką na poziomie szkoły średniej i jest równoznaczne ze stwierdzeniem „rozwiąż równanie kwadratowe”. Ściśle rzecz biorąc, chodzi o równanie, którego wyróżnik jest większy od zera. W podręcznikach zadania tekstowe polegające na znalezieniu dwu liczb przypominają łamigłówki. Kluczem do rozwiązania jest w nich zwykle podanie wyników dwóch działań na szukanych liczbach – z reguły dodawania i mnożenia. Na przykład jeśli sumą dwóch liczb jest 22, a iloczynem 105, to szkolny, algebraiczny sposób rozwiązywania polega na doprowadzeniu do równania kwadratowego x² – 22x + 105 = 0 i znalezieniu jego pierwiastków. Natomiast sposób łamigłówkowy, prostszy i sprytny, choć w szkole niemile widziany, sprowadza się do rozkładu iloczynu na czynniki pierwsze (3×5×7) i utworzeniu z tych czynników mnożnej i mnożnika, które byłyby równocześnie składnikami dodawania dającymi wymaganą sumę (3×5+7=15+7=22).

Zadania tego rodzaju bywają bardziej skomplikowane i niekiedy wymagają wyznaczania ekstremum funkcji. Tak bywa, gdy obok podanej wprost sumy dwóch szukanych liczb ich iloczyn określony jest w mniej lub bardziej zakręcony sposób – na przykład że jest on wynikiem mnożenia kwadratu pierwszej liczby przez sześcian drugiej, a jego wartość jest największą możliwą. Jeśli suma wynosi 20, to wówczas trzeba szukać maksimum lokalnego funkcji X²(20–X)³ w przedziale (0, 20). Kto wie, jak to zrobić, przekona się, że to elegancki przykład, bo maksimum jest liczbą całkowitą.

Podanie wyników dwóch działań oznacza układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, które, gdy są niesprzeczne, umożliwiają rozwiązanie. Nie zawsze jest to jednak konieczne. Jeśli jeden wynik będzie iloczynem i liczbą półpierwszą, to nic więcej podawać nie trzeba – wystarczy rozłożyć ten wynik na dwa czynniki pierwsze. Ten fakt zainspirował holenderskiego matematyka Hansa Freudenthala do ułożenia i opublikowania w roku 1969 logicznego metazadania (zadania o zadaniu), któremu należy się palma pierwszeństwa wśród łamigłówek z łowami na parę liczb.

Arbiter A oświadcza dwóm tytanom intelektu Es i Pe: „mam dwie liczby całkowite – X, Y, przy czym 1<X<Y oraz X+Y≤100. Zaraz podam sumę S=X+Y, ale tylko Esowi, a iloczyn P=X×Y tylko Peowi. Te informacje są tajne i znane wyłącznie ich adresatom. Mimo to powinniście ustalić parę liczb X i Y”. Jak powiedział, tak zrobił, po czym nastąpiła konwersacja (z dłuższymi przerwami na wnikliwe analizowanie wypowiedzi):

(1) Pe: nie wiem, jakie to liczby.

(2) Es: wiedziałem, że nie będziesz wiedział.

(3) Pe: teraz już wiem.

(4) Es: więc ja też już wiem.

Jakimi liczbami były X i Y?

Zadanie jest nietrudne, ale dość zawiłe. Wymaga wnioskowania o czyimś wnioskowaniu, a nawet wnioskowania o wnioskowaniu o wnioskowaniu – oczywiście przy założeniu, że wnioskują geniusze, czyli wszystko, co można wywnioskować, zawsze zostaje wywnioskowane.

Z (1) wynika, że P nie jest liczbą półpierwszą, a także sześcianem lub czwartą potęgą liczby pierwszej, bo w tych przypadkach rozkład P na dwie liczby byłby jednoznaczny. Wykluczone są także iloczyny, które prowadzą do jednoznaczności po uwzględnieniu warunku S≤100. Na przykład gdyby P=242, to Pe od razu odgadłby, że X=11 i Y=22, bo druga możliwość (2 i 121) daje sumę większą niż 100.

Z kolei (2) implikuje pytanie: jaka może być S, aby Es miał pewność, że iloczyn uniemożliwia rozwiązanie? Oczywiście przede wszystkim taka, by nie można jej było utworzyć z dwóch liczb pierwszych. Tu kłania się hipoteza Goldbacha: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Z dopełnienia tej hipotezy wynika, że Es dysponuje sumą nieparzystą o 2 większą od jakiejś liczby złożonej („złożonej” dlatego, aby wykluczyć pary bliźniacze). To daje 24 możliwe sumy: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97. Jednak wartości S=51 oraz S>53 można pominąć (tej eliminacji dotyczy jedno z zadań konkursowych), czyli pozostaje do przeanalizowania dziesięć sum – od 11 do 47 oraz 53.

Analiza jest niestety dość żmudna. Mistrzowie Es i Pe mieli nieco prostsze zadanie, ale mistrzom rozwiązującym to metazadanie zapewne przyda się komputer. Każdą sumę trzeba rozłożyć na parę składników większych od 1, a następnie każde dwa składniki potraktować jak czynniki, czyli przemnożyć, zapisując wszystkie otrzymane iloczyny. Początek tych operacji – dla trzech pierwszych sum – przedstawiony jest w poniższym początkowym fragmencie tabeli.

Pe wie, że S=X+Y jest jedną z podanych wyżej dziesięciu liczb. Jeśli to pozwala mu na stwierdzenie (3), czyli określenie wartości X i Y, to znaczy, że dokładnie jedna faktoryzacja jego iloczynu P daje dwa czynniki, których suma jest jedną z dziesięciu możliwych. W tabeli na szarym tle umieszczone są iloczyny (oraz odpowiadające im składniki vel czynniki), które należy odrzucić, bowiem umożliwiają one więcej niż jedną faktoryzację. Pozostałe mogą być iloczynami P, ale… to nie koniec zadania.

Jeśli teraz Es może stwierdzić (4), że również rozszyfrował parę liczb, to znaczy, że sumie S, którą dysponuje, odpowiada w tabeli tylko jeden iloczyn. Taki przypadek występuje w tabeli tylko raz – i to właśnie w zamieszczonym jej początkowym fragmencie: S=17, P=52, czyli X=4, Y=13.

Genialny liczbowo-logiczny problem Freudenthala wymieniany jest na równi z poważnym dorobkiem naukowym w bibliografii tego matematyka. Doczekał się też wielu odmian, w tym bardziej zawiłych niż pierwowzór, które bywają tematem gorących dyskusji i które zapewne pojawią się jeszcze w tej rubryce.

Na koniec krótki powrót do źródeł – podchwytliwa łamigłówka z końca XIX wieku, którą można uznać za pierwowzór wszystkich rozrywkowych zadań z łowami na parę liczb: „znajdź dwie liczby, których suma i iloczyn są takie same, jeśli nie jest to para dwójek”. O liczbach naturalnych tym razem się nie wspomina, a nie każdy humanista w miarę szybko uświadomi sobie, że ułamki to także liczby.

Zadania

1. Zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych każdą liczbę całkowitą nieujemną można przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Liczba 287 wyróżnia się tym, że nie może być sumą mniej niż czterech kwadratów, ale jest to cecha właściwa także wielu innym liczbom (G₁₀₀₀ = 42). W poniższym przykładowym rozkładzie 287 na cztery kwadraty:

14² + 9² + 3² + 1²

występuje, uwzględniając wykładnik, pięć różnych cyfr (1, 2, 3, 4, 9).

Proszę znaleźć taki rozkład 287 na n kwadratów, w którym:

(1) liczba L różnych cyfr w rozkładzie będzie jak najmniejsza;

(2) n będzie minimalne.

Kryterium poprawności rozwiązania stanowi
minimalny iloczyn n×L (w przykładzie 4×5=20).

2. Proszę krótko uzasadnić dlaczego – jak zostało stwierdzone w artykule – zbiór 24 podejrzanych sum S, z których jedną dysponuje Es (11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97), można ograniczyć do dziesięciu liczb – wszystkich mniejszych od 57 (z pominięciem także 51).

3. Jaka najmniejsza liczba naturalna s spełnia następujący warunek: każda liczba pierwsza p, dla której p-1 jest dzielnikiem s, jest również dzielnikiem s (dzielnikami s są także 1 i s).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 maja br. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 05/21. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jima Baggotta Kwantowa rzeczywistość. W poszukiwaniu prawdziwego znaczenia mechaniki kwantowej ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru marcowego

1. 40 to najwięcej wież, które można ustawić na szachownicy 8×8 tak, by każda atakowała parzystą liczbę wież (rys. 2).

2. Rys. 3 przedstawia przykładowe ustawienie 16 ponumerowanych wież na planszy 4x4 tak, że każde dwie z kolejnymi liczbami stoją w tym samym wierszu lub w tej samej kolumnie, ale nie na sąsiednich polach.

3. Na szachownicy 8x8 można ustawić co najwyżej 16 wież białych i 16 czarnych tak, aby żadne dwie różnego koloru nie atakowały się. Przykładowe ustawienie na rys. 4.

4. Jeśli z szachownicy 8×8, na której każdym polu stoi wieża, usuwamy po jednej wieży, zabierając zawsze taką, która atakuje nieparzystą liczbę wież, to w taki sposób usuniemy co najwyżej 59 wież, czyli pozostanie 5. Przykładowa kolejność usuwania: 1) z ósmego rzędu wszystkie oprócz a8, b8 i h8; 2) z kolejnych rzędów od siódmego do pierwszego – oprócz drugiego – pozostawiając wieże w kolumnach a, b i h; 3) z kolumny a od a3 do a7; 4) z kolumny h od h3 do h7; 5) z b1 i a2; 6) z kolumny b od b8 do b3; 7) z rzędu 2 od b2 do g2. Zostaje pięć wież na a1, a8, h1, h2, h8.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Lee Smolina Niedokończona rewolucja Einsteina, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Łukasz Jach z Czeladzi, Piotr Jarzębski z Gdyni, Janusz Mucha ze Skawiny, Bartosz Ulewicz z Olsztyna, Mateusz Wasilewski z Warszawy.

***

* Klasyczną publikacją tego rodzaju jest książka Davida Wellsa The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Penguin, 1998).