Jak powstaje optymalna wstęga Moebiusa?

Wszystko zaczyna się od wstęgi Moebiusa, czyli odpowiednio skręconego i sklejonego paska papieru, który po tej operacji ma tylko jedną stronę.

Poniżej prezentuję króciutki, na którym wykonuję wstęgę z paska, który jest bardzo krótki w porównaniu do swojej szerokości. W ostatnim momencie składania powinienem skleić dwie spotykające się ze sobą w środku krawędzie papieru. W matematyce to żaden problem, z prawdziwym papierem jest gorzej, więc pominąłem to na filmie. Do tych krawędzi dochodzi narysowana na pasku kreska, przy czym jeden jej koniec wypada pod linią łączenia, a drugi nad nią. To właśnie wizualny dowód, że powstaje wstęga Moebiusa. Gdyby teraz dokładnie policzyć, to by się okazało, że jeśli pasek ma szerokość 1, to jego długość przy tej metodzie wynosi √³.

A czy dałoby się tak jakoś zrobić z jeszcze krótszym paskiem? Proste pytanie, jak to w matematyce często się zdarza, uzyskać odpowiedź było trudniej, ale końcu się udało. To jest temat pracy matematycznej, którą niedawno Richard Evan Schwartz, matematyk z Brown University opublikował w serwisie arXiv. Odpowiada: nie da się. Co więcej, dowodzi, że metoda z filmiku jest w zasadzie jedyną, która pozwala użyć tak krótkiego paska.

Wydaje się, że to odpowiedź na całkiem naturalne pytanie, które autor odnalazł zapisane w pewnej publikacji z roku 1962. Jestem przekonany, że dałoby się wyjaśnić dzieciom ze szkoły podstawowej, nawet tym, które jeszcze nie wiedzą, co to jest √³. Ale w tej notce chciałbym P.T. Publiczności zwrócić uwagę stopień komplikacji matematycznego aparatu, niezbędnego już do postawienia w ścisły sposób tego pytania.

Po pierwsze: czym jest ten pasek i jak przedstawić jego położenie w trójwymiarowym świecie? Pasek szerokości 1 i długości λ to iloczyn kartezjański dwóch odcinków: [0,1] x [0,λ] . Aby stał się wstęgą Moebiusa M_λ, trzeba w nim dla każdego tϵ [0,1] utożsamić punkt (t,0) z punktem (1 - t,λ). To zapewnia, że pasek jest skręcony, a formalnie wykonuje się przed podzielenie paska przez odpowiednią relację równoważności, w wyniku czego M_λ jest przestrzenią ilorazową.

Teraz trzeba tę wstęgę umieścić w przestrzeni trójwymiarowej. Robi to przekształcenie I: M_λ → R³ (tak na boku: wcale nie zdziwiłbym się, gdyby można było w czterech wymiarach zwinąć wstęgę Moebiusa z jeszcze krótszego paska, więc ta trójka jest ważna).

Idźmy dalej. Papier jest wprawdzie giętki, ale nieelastyczny, więc trzeba sformalizować to, że operacja zawijania kartki nie może go rozciągać ani kurczyć w żadnym miejscu. Opisem tego jest założenie, że pochodna funkcji I jest wszędzie izometrią (uwaga: to nie tylko pochodna funkcji w wielu wymiarach, ale w dodatku określonej na przestrzeni ilorazowej i trzeba wiedzieć, jak się oblicza pochodną w utożsamionych ze sobą punktach na końcach wyjściowego paska). Dalej, wstęga nie powinna przecinać sama siebie, czyli I powinno być przekształceniem różnowartościowym.

Czy to wszystko?

O nie, przecież rozwiązanie przedstawione na filmie nie spełnia tych wszystkich założeń. Po pierwsze, gdy składamy kartkę, to w miejscu załamań nie będzie istniała pochodna. Co gorsza, gdy już załamiemy i złożymy karteczkę, to w jej matematycznej reprezentacji wszystkie punkty położone na wstędze się na siebie ponakładają i zamiast wstęgi Moebiusa wyjdzie nam po prostu trójkąt o grubości 0.

Prawdziwe twierdzenie Schwartza jest zatem inne. Dowodzi on, że jeśli pochodne przekształcenia I: M_λ → R³ wszędzie istnieją i jest ono różnowartościowe, to λ >√³. W dodatku, jeśli λ jest bardzo bliskie √³ , to I układa wstęgę w kształt bardzo bliski temu z filmu.

I to dopiero jest odpowiedź na pytanie, które zrozumieliby uczniowie podstawówki.