Płytka einstein. Opowieść o poszukiwaniu kształtu wcześniej niewidzianego w matematyce

W listopadzie 2022 roku kolega zapytał mnie mimochodem, nad czym pracuję. Moja nieskładna odpowiedź odzwierciedlała pochłaniający mnie wówczas nawał pomysłów: „właściwie myślę nad ważnym otwartym problemem, którego rozwiązanie właśnie spadło mi z nieba”. Tydzień wcześniej otrzymałem e-mail z prośbą o przyjrzenie się pewnemu kształtowi. Wtedy pierwszy raz zobaczyłem „kapelusz” – niepozorny wielokąt, który okazał się zwieńczeniem trwających od dziesięcioleci matematycznych poszukiwań.

E-mail przysłał David Smith, którego znałem z małej listy mailingowej osób zainteresowanych parkietażami, czyli pokrywaniem płaszczyzny wielokątami. Smith nie jest matematykiem, lecz „miłośnikiem kształtów” z Yorkshire w Anglii, który w wolnym czasie eksperymentuje z geometrią. Do końca roku 2022 regularnie korespondowaliśmy na temat własności wielokąta-kapelusza, a w 2023 roku nawiązaliśmy kontakt z dwoma innymi badaczami, matematykiem Chaimem Goodmanem-Straussem i programistą Josephem Samuelem Myersem, znanymi specjalistami od parkietaży, których nazwiska także znajdowały się na wspomnianej liście mailingowej. Odtąd badaniem kapelusza zajmowała się cała nasza czwórka i w rekordowo krótkim czasie udało nam się udowodnić, że kształt ten jest długo poszukiwanym obiektem, który zdaniem wielu nie mógł istnieć: aperiodyczną monopłytką, znaną także jako płytka einstein.

Kapelusz Smitha okazał się początkiem serii rewelacji. Analizując nowe pomysły związane z tym kształtem, często bywaliśmy zaskakiwani odkryciami poszerzającymi naszą wiedzę o teorii parkietażu. Niebawem kapelusz doprowadził nas do „żółwi”, „widm” i innych cudów, które dostarczyły więcej odkryć, niż mogliśmy się na początku spodziewać.

Kafelki fascynują ludzi od starożytności, ale matematycy zaczęli się nimi na serio zajmować w XX wieku. Tak zwane kafelkowanie płaszczyzny polega na pokryciu jej nieskończonym zbiorem kształtów bez szczelin i zakładek. Tutaj skoncentrujemy się na przypadkach, gdy parkietaż składa się z nieskończonej liczby płytek o skończonej liczbie różnych kształtów. Wyobraźmy sobie kilka szablonów, które umożliwiają wycinanie ich kopii z nieograniczonej ilości papieru. Naszym celem jest takie ułożenie wyciętych kształtów na nieskończonym blacie, aby każdy jego fragment pokrywała dokładnie jedna warstwa papieru. Możemy przenieść każdy kształt w odpowiednie miejsce przesuwając go, obracając lub/i odwracając. Jeśli osiągniemy nasz cel, którym jest parkietaż, mówimy, że dany zbiór kształtów umożliwia kafelkowanie albo ogólniej – pokrywa płaszczyznę.

Tylko niektóre zbiory kształtów to umożliwiają. Kopie kwadratu tworzą parkietaż przypominający papier w kratkę, jest to więc monopłytka, bo zwielokrotniona sama pokrywa płaszczyznę. Nie jest to możliwe z pięciokątem foremnym ani z ośmiokątem, ale dwuelementowy zestaw złożony z ośmiokąta i kwadratu już płaszczyznę pokrywa.

Jak ustalić, czy dany zbiór kształtów pokrywa płaszczyznę? Nie znamy algorytmu, który by to umożliwiał i właściwie taki nie może istnieć – jest to tzw. problem nierozstrzygalny. Niemniej jednak możemy badać poszczególne zestawy i próbować tworzyć parkietaże różnymi metodami – zwykle metodą prób i błędów. W trakcie tej czynności często zauważamy fascynujące przejawy lokalnych interakcji (różnych sposobów układania dwóch płytek obok siebie) na zachowanie całości (wielkoskalowej struktury płytek rozciągającej się nieskończenie w każdym kierunku).

Istnieje wiele sposobów sprawdzenia, czy pojedynczym kształtem uda się pokryć płaszczyznę. Niektórzy, jak Smith, wycinają kształty za pomocą sterowanego komputerowo narzędzia tnącego i bawią się nimi na realnych płaszczyznach (niestety, skończonych), by w ten sposób wspomóc intuicję wizualną. Utalentowanemu odkrywcy, takiemu jak Smith, kształt szybko ujawnia swoje parkietażowe sekrety. Przed odkryciem kapelusza kształty zachowywały się dwojako.

Pierwsza możliwość jest taka, że kształt nie wypełnia płaszczyzny. Prosty test polega na próbie szczelnego otoczenia kształtu jego kopiami; jeśli się to nie uda, to na kafelkowanie na pewno nie ma szans. Na przykład pięciokąt foremny zostaje wyeliminowany natychmiast. Ale szczelne otoczenie stanowi tylko przesłankę możliwego parkietażu. Nie jest dowodem, ponieważ istnieją zwodnicze kształty, które ujawniają swoją parkietażową nieukładność dopiero po otoczeniu ich większą liczbą koncentrycznie rozmieszczonych kopii. Matematyk Heinrich Heesch zademonstrował w 1968 roku kształt, który można otoczyć kopiami raz, ale nie dwa razy – i zadał pytanie, czy istnieje górna granica liczby koncentrycznych otoczeń nieukładnego kształtu jego kopiami (tzw. liczba Heescha). Obecnym rekordzistą jest wyjątkowo oryginalny wielokąt z liczbą Heescha równą sześć, odkryty w 2020 roku przez Bojana Bašića z Uniwersytetu w Nowym Sadzie w Serbii.

Druga możliwość polega na tym, że układ kształtów jest okresowy, czyli płytki tworzą regularny wzór wyznaczony przez nieskończoną siatkę z równoległoboków. Takie okresowe kafelkowanie możemy opisać za pomocą trzech informacji: wskazania skończonej grupy płytek zwanej jednostką translacyjną oraz dwóch odcinków linii będących bokami równoległoboku siatki. Przesuwając kopie jednostek translacyjnych do wszystkich wierzchołków siatki (bez ich obracania lub odbijania), łączymy je, tworząc parkietaż. Jest to szybki test możliwości kafelkowania danym kształtem: składamy potencjalne jednostki translacyjne, a następnie sprawdzamy, czy powtarzając się, pokrywają one płaszczyznę na regularnej siatce. Podobnie jak w przypadku liczby Heescha, nie wiadomo, czy istnieje jakiekolwiek ograniczenie, dotyczące najmniejszej liczby kształtów tworzących jednostkę translacyjną, którą można pokryć płaszczyznę. Myers odkrył obecnego rekordzistę – kształt, którego 10 kopii tworzy jednostkę translacyjną.

Kiedy Smith zaczął eksperymentować z kapeluszem, zauważył, że nie spełnia on żadnej z dwóch podanych opcji. Nie pokrywa płaszczyzny, ale też Smithowi nie udawało się utworzyć jednostki translacyjnej. Próbował jednak zapełniać płaszczyznę i w końcu otoczył szczelnie kapelusz paroma warstwami kopii. Można było przypuszczać, że to nieukładny kształt o dużej liczbie Heescha albo okresowa monopłytka tworzącą jednostkę translacyjną złożoną z dużej liczby kopii, lecz Smith wiedział, że takie przypadki są bardzo rzadkie. Zdawał sobie sprawę, że jest jeszcze jedna możliwość – tak niezwykła, że wymaga dogłębnej analizy – dlatego skontaktował się ze mną.

Około 60 lat temu matematycy zaczęli się zastanawiać, czy istnieją zbiory kształtów, którymi można by pokryć płaszczyznę bez okresowości, czyli można by z ich kopii utworzyć dowolnie duże fragmenty, niezawierające jednostki translacyjnej. Taki parkietaż nazywa się aperiodycznym. Co istotne, aperiodyczność jest własnością znacznie silniejszą niż nieokresowość. Wiele prostych kształtów, np. prostokąt 2×1, może tworzyć zarówno parkietaże okresowe, jak i nieokresowe. Zbiory kształtów dających pokrycia aperiodyczne nie nadają się do pokryć okresowych.

Pojęcie aperiodyczności wprowadził jako pierwszy Hao Wang na początku lat 60., będąc profesorem matematyki na Harvard University. Badał wówczas kształty zwane dziś płytkami Wanga – kwadratowe kafelki z kolorami na brzegach, które należy zestawiać jak domino, czyli tak, by sąsiednie kwadraty stykały się takimi samymi kolorami (kolory są wygodnymi symbolami przy opisie odpowiednich reguł związanych z geometrią układu). Wang zauważył, że jeśli dysponując danym zestawem płytek, można utworzyć prostokąt, którego górna i dolna krawędź mają tę samą sekwencję kolorów oraz lewa i prawa krawędź również pasują do siebie, wówczas ten prostokąt jest jednostką translacyjną, a zatem zestawem da się pokryć płaszczyznę. Następnie wysunął hipotezę odwrotną: jeśli zestaw płytek Wanga pozwala na pokafelkowanie płaszczyzny, to musi być możliwe zbudowanie wspomnianego prostokąta. Innymi słowy, płytki Wanga nigdy nie mogą być aperiodyczne.

Bazujące na ówczesnej wiedzy na temat kafelkowania przypuszczenia Wanga były słuszne. Jednak kilka lat później jego uczeń Robert Berger obalił tę hipotezę, konstruując pierwszy aperiodyczny zestaw złożony z 20 426 płytek Wanga. Przy okazji Berger wysunął przypuszczenie, że powinny istnieć mniejsze aperiodyczne zbiory, inaugurując tym samym poszukiwania najmniejszych. Do 1971 roku zestaw został zmniejszony do sześciu kwadratów przez Raphaela M. Robinsona z University of California w Berkeley. Następnie w 1973 roku Roger Penrose, matematyk z University of Oxford, dokonał zaskakującego przełomu, tworząc zestaw obejmujący zaledwie dwa rodzaje płytek: „latawiec” i „strzałkę”. Stąd był tylko krok do mety: aperiodycznej monopłytki, czyli jednego kształtu umożliwiającego nieperiodyczny parkietaż. Taki kształt bywa nazywany „einsteinem”, od niemieckiego „ein stein”, co oznacza „jeden kamień” (gra słów, nawiązująca do nazwiska Einstein – merytorycznie nie ma nic wspólnego ze słynnym Albertem). Zagadnienie istnienia aperiodycznej monopłytki nazwano problemem einsteina.

Po odkryciu Penrose’a nastąpiło zahamowanie postępu na prawie 50 lat. Odkryto wprawdzie kilka innych zestawów dwupłytkowych, w tym jeden autorstwa Goodmana-Straussa, a niektórzy matematycy proponowali rozwiązania jednokształtne, jednak wymagały one niewielkich zmian reguł gry. Na przykład płytka Socolar-Taylor to zmodyfikowany sześciokąt foremny, tworzący układ aperiodyczny. Haczyk polega na tym, że aby kopie tego sześciokąta współdziałały w celu wymuszenia nieokresowego charakteru całego układu, niesąsiadujące ze sobą płytki powinny współdziałać w zakresie ich względnej orientacji. Nie ma sposobu na wplecenie tego warunku w kształt płytki bez uczynienia sześciokąta trójwymiarowym lub rozdzielonym na odrębne fragmenty.

Gdy problem matematyczny pozostaje nierozwiązany, matematycy często są zgodni, co do jego prawdopodobnego rozwiązania. Na przykład hipoteza Goldbacha głosi, że każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch liczb pierwszych. Hipotezy tej nie udowodniono, ale inne dowody, którymi dysponujemy, wyraźnie wskazują, że jest ona prawdziwa. Jednym z powodów mojej fascynacji problemem einsteina było to, że nie istniały wyraźne dowody przemawiające za jego pozytywnym lub negatywnym rozwiązaniem (poza wspomnianą 50-letnią posuchą). Niektórzy matematycy pogodzili się z nieistnieniem aperiodycznych monopłytek, ale ja pozostawałem otwarty na oba rozwiązania. Podejrzewałem, że dowiedzenie istnienia będzie łatwiejsze niż nieistnienia. To pierwsze dotyczyłoby własności konkretnego kształtu, ale drugie z konieczności musiałoby dotyczyć wszystkich kształtów. Teraz już wiemy, że w tym przypadku we Wszechświecie panuje sprawiedliwość.

Celem Smitha nie było odkrycie aperiodycznej monopłytki, ale był świadom historii i znaczenia problemu. W swoich poszukiwaniach zawsze szukał przejawów aperiodyczności. Jako pierwszy odważył się zasugerować w mailu z 24 listopada 2022 roku, że kapelusz może być einsteinem, dodając: „czy to nie byłoby coś?”.

Próbowaliśmy ze Smithem zrozumieć funkcję kapelusza. Jest on tzw. poliformą, czyli kształtem złożonym z kopii jakiegoś prostego elementu jednostkowego. Na przykład elementy w grze Tetris składają się z czterech połączonych kwadratów. Natomiast kapelusz składa się z ośmiu latawców. Nie są one takie, jak latawce Penrose’a; Smith utworzył każdy, dzieląc foremny sześciokąt na sześć równych części liniami łączącymi środki przeciwległych boków. Wiedział o moim programie do obliczania liczb Heescha dla polimin (połączone kwadraty), poliheksów (połączone sześciokąty foremne) i poliamondów (połączone trójkąty równoboczne) i zastanawiał się, czy można go zaadaptować do „polideltoidów”. Na szczęście opracowałem też program dla deltoidów, czyli latawców (z pomocą Avy Pun, studentki University of Waterloo).

Mój program z łatwością wygenerował duże szczelne skupiska kapeluszy, co utwierdziło nas w przekonaniu, że kapelusz pokrywa płaszczyznę. Co więcej, te nowe, wygenerowane komputerowo klastry stały się gotowymi danymi, które mogliśmy analizować, aby pobudzić naszą intuicję. Zaczęliśmy grupować kapelusze na różne sposoby, zwykle kolorując je ręcznie na obrazach cyfrowych w poszukiwaniu regularności. Natychmiast powstały powtarzające się wzory rozmieszczone wokół rzadkiego układu kapeluszy lustrzanych (odbicia zwierciadlane) otoczonych większym polem nielustrzanych (Smith obserwował to też w eksperymentach z papierowymi kształtami).

Te wzorce nigdy nie tworzyły jednak jednostki translacyjnej. Co więcej, płytki zdawały się układać w rodziny powiązanych „motywów” w różnych skalach. Ten rodzaj powtarzającej się hierarchii wskazywał na najlepszy scenariusz – ostateczne udowodnienie, że kapelusz jest aperiodyczny: można by mieć nadzieję na znalezienie systemu tzw. reguł podstawiania. W systemie podstawiania występuje możliwość zastąpienia płytki o danym kształcie układem złożonym z jego mniejszych kopii. Wyposażeni w odpowiedni system podstawiania kapeluszy moglibyśmy zacząć od „zalążkowej” konfiguracji płytek i zastosować iterację, powiększając obraz, aby zachować skalę. W ten sposób zdefiniowalibyśmy ciąg coraz większych skupisk kapeluszy, które ostatecznie wypełniłyby całą płaszczyznę. Dzięki takim systemom podstawiania można wykazać, że wiele aperiodycznych zestawów płytek (w tym Penrose’a) wypełnia płaszczyznę.

W moje 50. urodziny, dwa tygodnie po moim pierwszym kontakcie z kapeluszem, znalazłem wstępny zestaw zasad podstawiania. Chodziło o to, aby unikać bezpośredniego operowania pojedynczymi kapeluszami lustrzanymi, które zachowywały się inaczej niż ich nielustrzane odpowiedniki. Zamiast tego zgrupowałem każdy lustrzany kapelusz z jego trzema sąsiadami, tworząc niepodzielną jednostkę, nową „metapłytkę”, traktując ją jak pełnoprawny kafelek z jego własną regułą podstawienia. Do końca 2022 roku udoskonalałem metapłytki i ich zasady, tworząc system czterech metapłytek, z których każda stanowiła małe skupisko kapeluszy.

Na początku 2023 roku Smith i ja mieliśmy połowę dowodu na aperiodyczność i prawdopodobnie była to łatwiejsza połowa. Nasze metapłytki i reguły podstawiania gwarantowały, że kapelusz był monopłytką: jego kopie pokrywały nieskończoną płaszczyznę, nie ograniczając się do bardzo dużej, ale skończonej liczby Heescha. Łatwo też było zauważyć, że parkietaże generowane przez reguły były nieokresowe. Pamiętajmy jednak, że nieokresowość to jeszcze nie aperiodyczność. Być może nasze reguły były zbyt skomplikowanym sposobem kafelkowania, a bez nich okresowe układy też by istniały. Aby zakończyć dowód, musieliśmy wykazać, że każde kafelkowanie kapeluszami jest bezwarunkowo nieokresowe. Miałem pewne przeczucie, jak wykonać ten krok, ale czułem się jak zapewne Smith w listopadzie minionego roku, czyli na granicy mojej wiedzy matematycznej. Nadeszła pora wezwać posiłki.

Na początku stycznia 2023 roku skontaktowaliśmy się z Goodmanem-Straussem – matematykiem, który opublikował wiele ważnych artykułów na temat teorii parkietaży. Uważam go za autorytet w tej dziedzinie; jest znany także jako popularyzator matematyki i organizator zajęć praktycznych. Sprawował wówczas funkcję konsultanta w National Museum of Mathematics w Nowym Jorku. Mimo wielu zajęć dostarczył cennych informacji i nalegał, abyśmy skontaktowali się z Myersem. Myers opuścił środowisko akademickie po uzyskaniu doktoratu z kombinatoryki, ale interesował się nadal parkietażami, a zwłaszcza kontynuował katalogowanie parkietażowych własności poliform. W 2006 roku wykonałem dla niego kilka obliczeń pomocniczych i korzystałem z jego oprogramowania przy moich badaniach liczb Heescha.

Nie współpracowałem jednak dotąd bliżej z Myersem, więc nie byłem przygotowany na jego siły mentalne, umiejętność kodowania i wiedzę w tej dziedzinie. Jego poprzednie prace związane z parkietażami wskazywały na doskonałe przygotowanie. Po zaledwie ośmiu dniach od zapoznania się z naszymi dokonaniami Myers ukończył dowód, potwierdzając pod koniec stycznia, że kapelusz to odkryta jako pierwsza na świecie aperiodyczna monopłytka.

Zanim Myers dołączył do zespołu, korzystaliśmy już z reguł podstawiania i mogliśmy generować parkietaże; jego zadaniem było udowodnić, że wszystkie kapeluszowe parkietaże muszą być nieokresowe. Standardowym, podręcznikowym posunięciem jest w tej sytuacji wykazanie, że każdy układ podlega regułom podstawiania. Innymi słowy, należy dowieść, że w przypadku dowolnego układu kapeluszy istnieje unikalny sposób grupowania płytek w metapłytki, metapłytek w superpłytki i tak bez końca – tworzenie metodą inżynierii wstecznej nieskończonej wieży podstawień – aż do nieograniczonego parkietażu. Taki wstępny argument matematyczny pozwoliłby nam stwierdzić, że parkietaż musi być nieokresowy. Wyzwaniem tej strategii jest umieszczenie takiej wieży jako zwieńczenia każdego parkietażu, a więc i takiego, którego konstrukcja nie była wstępnie ograniczona naszymi regułami.

Myers opracował wspomagane komputerowo podejście do rozwiązania problemu, generując listę 188 małych płytkowych klastrów, które mogą pojawić się w kapeluszowych parkietażach. Klastry te reprezentowały wszystkie układy otaczające pojedynczy kapelusz, czyli każda płytka w danym parkietażu znajdowała się w środku jakiegoś klastra. Następnie Myers pokazał, że każdy z tych klastrów można w unikalny sposób podzielić na metapłytki, co sugeruje, że kapelusze w dowolnym układzie można pogrupować w celu uzyskania układu z metapłytek. Na koniec udowodnił, że w układach z metapłytek zawsze można było je pogrupować w większe skupiska zwane superpłytkami, które zachowują się dokładnie tak samo, jak większe metapłytki. Ten ostatni krok uruchamia rodzaj rekurencji: ponieważ superpłytki zachowują się jak metapłytki, ich również dotyczy ten sam proces grupowania. Kapelusze zgrupowane w metapłytki, metapłytki w superpłytki i wszystkie kolejne hierarchiczne konstrukcje tworzą całość dzięki matematycznej operacji jednego rodzaju.

Po osiągnięciu celu na początku lutego 2023 roku zaczęliśmy pisać tekst o naszym odkryciu, aby podzielić się nim ze światem. To mógłby być koniec tej magicznej historii, gdyby nie odkrywczy talent Smitha. Jeszcze w grudniu 2022 roku zadziwił mnie, przesyłając mailem drugi kształt polideltoida nazwanego żółwiem. Żółw zachowywał się podobnie jak kapelusz – emanował niesamowitą aurą aperiodyczności. Czy to możliwe, aby Smith w ciągu dwóch tygodni odkrył dwa przełomowe kształty, których inni bezskutecznie szukali przez 50 lat? Poprosiłem go o cierpliwość, bo moja głowa była wówczas – że tak powiem – pełna kapeluszy.

Dopiero po ustaleniu statusu kapelusza Myers zabrał się za żółwia. Tydzień później zadziwił nas stwierdzeniem, że żółw jest również aperiodyczny, ponieważ w istocie stanowi jakby zakamuflowany kapelusz. W rzeczywistości kapelusz i żółw były dwoma wielokątami w rodzinie obejmującej kształty aperiodyczne i w ten sam sposób tworzące parkietaż.

Kapelusz można uznać za wielokąt o bokach długości 1 i √3 (dwa kolejne boki długości 1 tworzą jeden dłuższy). Jak można utworzyć rodzinę prostokątów, niezależnie zmieniając długości ich boków, tak możemy wybrać dwie dowolne liczby a i b, którymi zastąpimy długości boków kapelusza, otrzymując nowy wielokąt, który nazwiemy Płytką(a,b). Zgodnie z tym zapisem, kapelusz jest Płytką(1,√3), a żółw Płytką(1,√3). Myers wykazał, że prawie wszystkie Płytki(a,b) są aperiodyczne i dają bliźniacze parkietaże. Tylko trzy okazały się wyjątkami: Płytka(0,1) – „szewron”, Płytka(1,0) – „kometa” i równoboczna wielokątna Płytka(1,1) bez chwytliwego pseudonimu; każdy z tych trzech kształtów jest bardziej elastyczny – tworzy zarówno okresowe, jak i nieokresowe parkietaże.

Niedługo potem Myers podwoił siłę powiązania między kapeluszem a żółwiem, opracowując niezwykły drugi dowód aperiodyczności kapelusza na podstawie kontinuum Płytki(a,b). Skorzystał z klasycznego dowodu nie wprost: założył istnienie okresowego układania kapeluszy, co doprowadziło do absurdalnego wniosku, czyli początkowe założenie okazało się niemożliwe. W szczególności odkrył, że można rozciągać i ściskać boki kapeluszy w ich okresowym układzie, aby uzyskać równoważne, okresowe układy płytek z szewronów i komet. Ale szewrony i komety to poliamondy zbudowane z równobocznych trójkątnych płytek w różnych skalach. W argumentacji, obejmującej kombinatorykę, geometrię i nieco teorii liczb, Myers udowodnił, że ponieważ szewrony i komety pochodzą z tego samego rzekomo okresowego układania kapeluszy, leżące u ich podstaw trójkąty musiałyby być ze sobą powiązane poprzez matematycznie niemożliwy współczynnik skali. Był to drugi sposób dowiedzenia, że kapelusz jest aperiodyczną monopłytką. Jest to ekscytujące nie tylko dlatego, że wzmacnia twierdzenie o aperiodyczności kapelusza, ale także dlatego, że stanowi nowy sposób dowodu w tej dziedzinie i może się przydać przy analizowaniu innych płytek w przyszłości.

Nasz artykuł, opublikowany online w marcu 2023 roku, wywołał masowy, entuzjastyczny odzew matematyków i hobbystów zajmujących się kafelkowaniem. Kapelusz stał się źródłem inspiracji dla artystów, projektantów i twórców puzzli (zestawy kapeluszowych płytek można kupić np. na Etsy). Należy pamiętać, że praca nie przeszła jeszcze przez etap recenzji, chociaż przetrwała wiele analiz ekspertów prawie nietknięta.

Kiedy po raz pierwszy zaprezentowaliśmy kapelusz, obiekcje budził najczęściej jeden aspekt naszej pracy: stosowanie lustrzanych płytek. Każdy układ kapeluszy musi obejmować rzadko rozmieszczone kapelusze lustrzane, co wcześnie odkryliśmy ze Smithem. Matematycznie wspomniane obiekcje nie są uzasadnione, bo przyjęta definicja monopłytek dopuszcza odbicia lustrzane przy ich układaniu. Mimo to wiele osób zastanawiało się, czy istnieje kształt, którego kopie układane jednostronnie, czyli chiralnie, umożliwiałyby utworzenie aperiodycznego parkietażu. W naszym artykule nie było nic na ten temat, więc także pozostawaliśmy otwarci na rozwiązanie tego problemu.

Na szczęście Smith postarał się o jeszcze jedną zdumiewającą niespodziankę. Tydzień po opublikowaniu naszego artykułu zaczął wysyłać do nas maile na temat Płytki(1,1), równobocznego elementu kontinuum kształtów, obejmującego kapelusz i żółwia. Wiedzieliśmy, że ten wielokąt nie jest aperiodyczny: dopuszcza okresowe układy łączące płytki lustrzane z nielustrzanymi. Jednak Smith zauważył, że po zakazaniu odwracania płytek, czyli po ograniczeniu się do jednostronnych, powstawały intrygujące klastry.

Wszyscy czterej podjęliśmy na nowo współpracę. Wygenerowaliśmy komputerowo duże obszary pokryte jednostronnymi kopiami Płytki(1,1) i zbadaliśmy je pod kątem tworzonych wzorów. Odkryliśmy sposób grupowania płytek w powtarzające się klastry, a następnie ustaliliśmy zasady podstawiania dla tych klastrów, co zaowocowało superklastrami o identycznych własnościach. Po raz kolejny to rekurencyjne grupowanie gwarantowało istnienie unikalnej, nieskończonej hierarchii podstawień, która wymuszała nieokresowość parkietaży z jednostronnych płytek. Ostatnią sztuczką było po prostu zastąpienie boków Płytek(1,1) łukami, co gwarantowało niemożność współobecności w parkietażu płytek i ich odbić. W rezultacie powstała rodzina kształtów, które nazwaliśmy widmami i wszystkie okazały się chiralnymi aperiodycznymi monopłytkami.

Jest coś romantycznego w opowieściach o matematykach, którzy latami, czasem w tajemnicy pracowali nad nierozwiązanymi problemami i wreszcie pojawiali się z nowym odkryciem. Jednak nasza historia taką nie jest. Chociaż zawsze fascynował mnie problem einsteina, nigdy bezpośrednio się nim nie zajmowałem – zacząłem dopiero, gdy dostałem wiadomość w listopadzie 2022 roku. Kapelusz zmaterializował się dzięki Smithowi i miałem szczęście, że zdecydował się on na kontakt ze mną. Kilka miesięcy później mieliśmy kompletny dowód, stworzony w procesie, który był raczej bezbolesny dla naszej czwórki. Być może tempo tego procesu odzwierciedla fakt, że istnieje jasna procedura, której należy przestrzegać, aby wygenerować dowód aperiodyczności, jeśli na początku mamy odpowiedni kształt. Nasze poczucie spokoju było zapewne także wynikiem dekad spędzonych przez każdego z nas na rozmyślaniach nad problemem einsteina i wieloma podobnymi. Dzięki temu doświadczeniu mogliśmy uznać kapelusz za możliwe rozwiązanie i wiedzieć, jak z nim postępować.

W teorii parkietaży, gałęzi matematyki o niskiej barierze wejścia i dużej atrakcyjności wizualnej, nie brak nierozwiązanych problemów. Smith dołączył do panteonu gorliwych amatorów, którzy wnieśli istotny wkład w tę dziedzinę, nierzadko po przeczytaniu o otwartych problemach w „Scientific American”. Dołączył do Roberta Ammanna, który niezależnie od Penrose’a dokonał wielu podobnych odkryć; Marjorie Rice, która odkryła nowe klasy pięciokątnych monopłytek; Joan Taylor, pomysłodawczyni płytki Socolar-Taylor. Wypadałoby jeszcze wymienić grafika M. C. Eschera, który zapoczątkował matematykę parkietażu, nawet jeśli nie zdawał sobie z tego sprawy.

Jestem pewien, że popularyzacja aperiodycznych monopłytek zainicjuje nowe badania naukowe. Mam też nadzieję, że ci, którzy dotąd traktowali matematykę z dystansem, zauważą teraz, że stwarza ona także szansę na zabawę.