Pijani ludzie istotnie różnią się od pijanych ptaków. Wskazuje na to twierdzenie o błądzeniu losowym
Ponad 100 lat temu urodzony na Węgrzech amerykański matematyk George Polya doświadczył kłopotliwego towarzysko zdarzenia. Był wtedy profesorem Politechniki Federalnej w Zurychu i lubił samotne spacery po lesie za miastem. Podczas jednej z przechadzek minął swojego studenta z narzeczoną. Po dłuższej chwili, wciąż błądząc bez celu, ponownie natknął się na tę parę. A potem kolejny raz. Opisując to zdarzenie w książce opublikowanej w 1970 roku, wspominał: „Nie pamiętam, ile razy to się zdarzyło, ale na pewno zbyt często. Wyglądało, jakbym ich śledził”.
Zdesperowany, by oczyścić się z podejrzeń, postąpił jak każdy dobry matematyk – uogólnił problem: czy dwaj wędrowcy są matematycznie skazani na krzyżowanie się ich dróg? Początkowe sformułowanie dotyczyło prostszej sytuacji – uwzględniony był tylko jeden wędrowiec na nieskończonej siatce, który wybierał losowo co sekundę kierunek niezależnie od poprzednich wyborów. Celem Polyi było określenie prawdopodobieństwa powrotu wędrowca do punktu wyjścia lub tego, że dwaj wędrowcy, którzy wyszli z tego samego miejsca, się spotkają. Okazało się, że jeśli wędrowiec będzie chodził nieskończenie długo, wróci do punktu wyjścia.
Odpowiedź nie tylko stanowiła „uniewinnienie”, ale także ujawniła fundamentalną zależność między prawami przypadku a przestrzenią fizyczną. Z obliczeń Polyi wynikało, że na powierzchni dwuwymiarowej (jak połać lasu) wędrowiec jest skazany na powrót do punktu wyjścia, ale w przestrzeni trójwymiarowej jest bardziej prawdopodobne, że nigdy do punktu wyjścia nie wróci. Przejawia się to także w chemii i biologii. Stanowi na przykład specyfikę procesu odnajdowania przez pewne cząsteczki odpowiednich receptorów na powierzchni komórek.
Jak pisze Rick Durrett w książce Probability: Theory and Examples matematyk Shizuo Kakutani ujął to w żartobliwej formie: „Pijany człowiek w końcu znajdzie drogę do domu, ale pijany ptak może się zgubić na zawsze”.
Określenie „pijany ptak” nie dotyczy oczywiście animowanej postaci Buzza Buzzarda, lecz procesu błądzenia w trójwymiarowej siatce. Co sekundę ptak wybiera losowo kierunek lotu – na północ, południe, wschód, zachód, w górę lub w dół – bez względu na poprzednie wybory. Polya udowodnił, że jeśli będziemy bez końca losowo chodzić po nieskończenie rozległej sieci ulic miasta, to nie tylko wrócimy do miejsca startu, ale także trafimy w każdy punkt sieci nieskończoną liczbę razy. Jeśli jednak powtórzymy taki sam proces w trzech wymiarach, to szansa na to, że nigdy nie wrócimy do miejsca, z którego wyszliśmy, będzie równa prawie 66 proc. Podobnie para ptaków może się nigdy nie spotkać, ale do spotkania dwóch piechurów musi dojść nieskończenie wiele razy. Polyi w lesie nie brakło więc dyskrecji, lecz trzeciego wymiaru, w który mógłby uciec.
Nawet w jednym wymiarze zachodzą podobne zależności – i to w realnym świecie. Wyobraźmy sobie, że z 500 dolarami idziemy do kasyna, gdzie oferowana jest gra z prawdopodobieństwem wygranej 50/50. Nieustanna gra, niezależnie od strategii obstawiania, nieuchronnie prowadzi do bankructwa. Będzie tak, ponieważ grę można modelować jako błądzenie losowe na osi liczbowej. Zaczynamy od 500, a po każdej rundzie są równe szanse ruchu w prawo lub w lewo. Polya dowodzi, że podobnie jak w dwóch wymiarach, przy dostatecznie długiej grze eksplorowana będzie cała oś liczbowa, a więc także zero, a to oznacza bankructwo. Matematycy nazywają to „ruiną hazardzisty” i zalecają rezygnację, gdy gra przyniosła zysk albo niepodejmowanie gry w ogóle.
Dlaczego specyfika błądzenia losowego zmienia się radykalnie przy przejściu od dwóch do trzech wymiarów? Chociaż trzy wymiary oferują więcej przestrzeni do poruszania się, to sam ten fakt nie wydaje się dostatecznym wyjaśnieniem. W końcu dwa wymiary oferują więcej przestrzeni niż jeden, a mimo to efekt błądzenia w obu jest taki sam.
Jeśli błądzenie losowe obejmie pewną skończoną liczbę kroków, którą oznaczymy literą t, to zwykle nie oddalimy się dalej niż o √t od początku układu współrzędnych. Konkretnie, na przykład po 100 krokach większość piechurów znajdzie się w odległości 10 kroków, czyli √100 od początku układu. Intuicja podpowiada, że cechą spacerów losowych jest krążenie w pobliżu początku układu współrzędnych, ponieważ kroki mogą się wzajemnie znosić (po kroku na wschód, a następnie na zachód, piechur nie zmienia miejsca). W matematyce √t równy jest odchyleniu standardowemu (statystyczna miara zmienności zbioru wartości) odległości od początku t-krokowego spaceru losowego.
Inaczej mówiąc, gdyby wielu piechurów wędrujących niezależnie rozpoczęło spacer w tym samym miejscu, to wykres ich odległości od miejsca startu po t krokach wyglądałby jak krzywa rozkładu normalnego (zwana czasem dzwonową) o środku w punkcie 0 i odchyleniu standardowym √t .
Wartość √t obowiązuje w każdym wymiarze i jest kluczem do zrozumienia twierdzenia Polyi. Można ją sobie wyobrazić jako promień obszaru, który piechur odwiedzi w t krokach. Z tym promieniem wiążą się różne implikacje w różnych wymiarach, ponieważ liczba wymiarów decyduje o tym, czy mówimy o długości, polu czy objętości. Odcinek o promieniu √t ma rozmiar rzędu √t , okrąg o promieniu √t ma rozmiar rzędu t (pole koła jest proporcjonalne do kwadratu promienia), natomiast sfera o promieniu √t ma rozmiar rzędu t1,5 (objętość sfery jest proporcjonalna do sześcianu promienia).
Jednak niezależnie od rozmiaru piechur w t krokach nie odwiedzi więcej niż t różnych punktów. W jednym wymiarze liczba kroków przekracza rozmiar eksplorowanego obszaru (t>√t), zmuszając piechura do częstego wracania po swoich krokach. W dwóch wymiarach liczba kroków odpowiada rozmiarowi obszaru (t=t), co ostatecznie umożliwia piechurowi pokrycie siatki, choć niezbyt gęsto. Natomiast w trzech wymiarach przestrzeń jest ogromna w porównaniu z liczbą kroków (t<t1,5), więc większość punktów pozostaje nieodwiedzona, zaś powrót do początku układu współrzędnych jest mało prawdopodobny.
W świecie rzeczywistym rzadko pojawia się idealna siatka, a ptaki nie rzucają monetą przed zmianą kierunku lotu. Mimo to różnica między błądzeniem w dwu i trzech wymiarach ma praktyczne znaczenie w naukach przyrodniczych. Przykładem jest sposób reagowania substancji chemicznych w naszym organizmie. Naukowcy często korzystają z błądzenia losowego do modelowania dyfuzji cząsteczek przez inną substancję. Na przykład hormon, szukający specyficznego receptora na powierzchni komórki, nie ma mechanizmu naprowadzania, więc o efektach decyduje przypadek.
Hormon mógłby poruszać się chaotycznie w trójwymiarowym płynie wokół komórki, aż trafi w cel. Zamiast tego cząsteczki najpierw wiążą się luźno z dowolnym punktem błony komórkowej, a następnie ślizgają po dwuwymiarowej powierzchni błony, aż znajdą swój receptor. Ta redukcja wymiarowości zmienia długie trójwymiarowe błądzenie w efektywne dwuwymiarowe.
Gdy więc traficie na kogoś, kogo lepiej byłoby uniknąć, spróbujcie nawiązać do aspektu matematycznego. To lepsze niż chowanie się za drzewem.