Dorothee Haroske, Leszek Skrzypczak: „Nonsensowne” pomysły da się zmienić w fundamenty matematycznej analizy

Karol Jałochowski: Szukałem zgrabnej definicji dziedziny, którą się zajmujecie, i znalazłem następującą: Analiza funkcjonalna leży na ruchliwym skrzyżowaniu algebry, geometrii i rachunku różniczkowego. Znalazłem też taką, która określa ją mianem naczelnej teorii matematyki. Zgodzicie się z którąś z nich?

Leszek Skrzypczak: Niełatwe pytanie. Historycznie rzecz biorąc, analiza funkcjonalna to szeroka dziedzina matematycznych dociekań, z korzeniami w dorobku Stefana Banacha i Lwowskiej Szkoły Matematycznej. I w tym ujęciu jest to kombinacja algebry i geometrii, badająca przestrzenie złożone z wektorów (abstrakcyjne, wielo- lub nieskończenie wymiarowe przestrzenie, w których określono odległość między wektorami – przyp. red.). Takich ogólnych algebraiczno-geometrycznych struktur możemy użyć do pracy z przeróżnymi rodzinami funkcji i badania własności operacji dokonywanych na funkcjach.

Dorothee Haroske: Ludzie mogą kojarzyć przestrzenie funkcyjne nie tylko z analizą funkcjonalną, ale również z analizą Fouriera (metody rozkładania skomplikowanych sygnałów lub funkcji na sumę prostych fal sinusoidalnych – przyp. red.). To też bardzo klasyczna, ale wciąż żywa teoria. Wydaje mi się, że przestrzenie funkcyjne, choć kryją się za nimi bardziej abstrakcyjne struktury, są od swojego poczęcia ściśle związane z zastosowaniami, na przykład z równaniami różniczkowymi cząstkowymi, powszechnie stosowanymi choćby w fizyce. To, czym się zajmujemy z Leszkiem, zwykle nie jest całkiem abstrakcyjne – zawsze ma związek z jakimś zjawiskiem zachodzącym w tak zwanym prawdziwym świecie.

Jaki jest w takim razie punkt wyjścia waszych dociekań? Pierwsze pytanie ma charakter czysto teoretyczny, czy też może jest związane z możliwym zastosowaniem?

DH: Moim promotorem był znany matematyk Hans Triebel, dziś już człowiek po dziewięćdziesiątce. Nie zajmował się fizyką, ale zawsze miał na uwadze zastosowania teorii, które badał. Z Leszkiem ostatnio zajmowaliśmy się intensywnie przestrzeniami Morreya, bardzo specjalnymi przestrzeniami funkcyjnymi, które pozwalają na niezwykle precyzyjne badanie lokalnych właściwości funkcji. Okazuje się, że mają one ścisły związek z równaniami różniczkowymi Naviera-Stokesa (opisującymi ruch płynów i będącymi jednym z największych wyzwań współczesnej nauki – przyp. red.). Sami nie zajmujemy się tymi problemami, ale okazuje się, że fizycy potrzebują głębszej wiedzy na temat regularności rozwiązań, którą dają nasze narzędzia.

LS: Podzielam opinię Dorothee. Teoretyczny charakter naszych dociekań wyraża się tym, że nie rozwiązujemy problemu podrzuconego przez inżynierów czy fizyków. Raczej przygotowujemy zestaw narzędzi. Choć punktem wyjścia bywa często czyjeś pytanie lub przypadkiem napotkany problem, proszący się o rozwiązanie. Bezpośrednie zastosowania zawsze pozostają w tle.

Jak rozumiem, badacie, między innymi, sposoby matematycznego uchwycenia sygnałów, które zawierają w sobie wiele składowych – rozłożenia ich na elementy pierwsze.

DH: Lubię dawać przykład drgającej struny. Jak ją opisać, jak modelować? Czynimy jedno założenie – mówiące na przykład, że jest jednolita – i zastanawiamy się, jak będzie wówczas brzmiała. Potem zakładamy, że jej masa jest rozłożona nierównomiernie, w skrajnym przypadku, że przypomina jakiś fraktal – i pytamy, jaki dźwięk wtedy będzie wydawała, jakie równania różniczkowe będą ją opisywały. To ekstremalnie prosty przykład, ale wyjaśnia mechanizm naszych badań, prowadzonych w przestrzeniach o znacznie większej (czasami nieskończonej – przyp. red.) liczbie wymiarów. Zgodzisz się ze mną, Leszku?

LS: Tak. Z jednej strony mamy prawdziwy świat. Wiele zachodzących w nim procesów – rozchodzenie się ciepła, zjawiska falowe, ale i zjawiska biologiczne – opisywanych jest przez równania różniczkowe cząstkowe. Badacze szukają ich rozwiązań w obrębie różnych rodzin funkcji. I dobrze jest znać strukturę tych rodzin – żeby znaleźć rozwiązania, żeby dowieść ich istnienia, jednoznaczności i regularności. Tym bardziej, że z tymi równaniami jest tak, że każdy ich rodzaj wymaga innej rodziny funkcji. My staramy się uczynić te struktury możliwie przejrzystymi, dopomóc innym w ich poszukiwaniach. Zasłużony dla analizy funkcjonalnej radziecki uczony Izrail Gelfand wespół z Gieorgijem Szyłowem napisali książkę „Funkcje uogólnione”, we wstępie której pojawia się zdanie: „Różne problemy wymagają różnych przestrzeni”. To bardzo prawdziwe. To tłumaczy wielość przestrzeni funkcyjnych, którymi się zajmujemy.

Badacie te przestrzenie, po czym fizycy bądź inni naukowcy używają części z nich? Jak przestrzeni Hilberta w mechanice kwantowej.

DH: Och, ona jest używana w wielu miejscach. W mechanice kwantowej też. I nie zgodziłabym się ze stwierdzeniem, że tylko przygotowujemy narzędzia używane przez innych. Choć historycznie bywało tak, że pewne założenie – tymczasowe, wymagające późniejszego udowodnienia – przychodziło ze świata fizyki. Nieco podobnie było z warunkiem wprowadzonym przez Charlesa Morrey’a, który ułatwił mu analizę pewnych konkretnych równań różniczkowych cząstkowych. Szersze znaczenie tego założenia zostało dopiero później odkryte przez kolejnych badaczy. Stojąca za nim teoria była odsłaniana stopniowo. Na tym polega, między innymi, nasza praca – na dociekaniu, dlaczego niektóre założenia działają, a inne nie.

Jak silne jest sprzężenie zwrotne między matematykami a fizykami? Jakie są przepływy inspiracji?

DH: Niektórzy ze studentów fizyki, których miałam okazję uczyć matematyki, wspaniale radzili sobie z rozumieniem naszej dziedziny. Ja sama jednak nie utrzymuję rozbudowanych kontaktów ze światem fizyki.

LS: Myślę, że odrobinę różni nas styl myślenia i pracy. Miałem, na przykład, współpracownika, który zajmował się wcześniej fizyką jądrową, po czym przepłynął do matematyki. Napisaliśmy wspólnie kilka publikacji. Dla niego idee ogólne zawsze były jednak ważniejsze niż detale. A w matematyce każdy szczegół ma wielkie znaczenie. To utrudnia dyskusję, ale generalnie jest ona potrzebna i bywa owocna. A niektóre istotne pomysły inicjowane były przez fizyków. Przykładem jest tzw. delta Diraca (obiekt matematyczny wprowadzony przez Paula Diraca do opisania zjawiska zachodzącego w jednym, nieskończenie małym punkcie, na który matematycy początkowo patrzyli niechętnie, ale z czasem nadali mu solidne podstawy w ramach tzw. teorii dystrybucji – przyp. red.). Zazwyczaj jednak pomostem między nami a fizykami są osoby zajmujące się równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

DH: Wydaje mi się, że bardzo niedawno okazało się, że abstrakcyjna teoria przestrzeni funkcyjnych jest ekstremalnie pomocna w modelowaniu chemotaksji (procesu biologicznego, w którym komórki lub organizmy przemieszczają się w odpowiedzi na bodźce chemiczne – przyp. red.).

LS: Nie zapominajmy też o kwantowej teorii pola – to też rodzaj podobnego mostu między naszą dziedziną a fizyką.

Jak doszło do waszego spotkania?

LS: Spotkaliśmy się w Jenie. W roku 1995, kiedy byłem na stypendium post-doc, a Dorothee pisała właśnie rozprawę doktorską. Tamtejszy uniwersytet był jednym z najważniejszych na świecie ośrodków badań nad przestrzeniami funkcyjnymi. Twórcą i liderem tej szkoły był wspomniany Hans Triebel. Współpracować zaczęliśmy jednak dopiero w roku 2006. Zaprosiłem Dorothee do Poznania i wtedy zaczęliśmy rozgryzać wspólnie pierwsze problemy.

DH: Tak, najpierw widywaliśmy się na konferencjach. Tam zauważyłam pewnego młodego wówczas matematyka, pracującego nad problemami podobnymi do tych, którymi sama byłam zainteresowana.

Często się później spotykaliście?

DH: Co najmniej raz w roku, żeby – co dla nas bardzo ważne – podyskutować o naszych genialnych i nonsensownych pomysłach i rozmowę podtrzymywać listownie. Nawet krótka rozmowa przy kawie podczas konferencji ma ogromne znaczenie. W trakcie tych 20 lat poznaliśmy się na tyle dobrze, że nawet z krótkiej wiadomości mailowej potrafimy odczytać intencje, kontekst, szerszy sens.

Co przyciągnęło was ku sobie? Dopełniające się charaktery, talenty? Czy może przeciwnie – podobieństwa w uprawianiu matematyki?

DH: Nie jest to niezwykłe w naszej dziedzinie, że współpraca trwa tak długo. Z nikim jednak nie działało mi się tak harmonijnie i tak owocnie jak z Leszkiem. Łączy nas podobny sposób myślenia, uzupełnialiśmy się – zwłaszcza początkowo – wiedzą. Trudno mi wyjaśnić zagadkę tego, dlaczego jedna kolaboracja działa, a inna nie. Być może chodzi po prostu o to, że w przypadkach niektórych sam proces wyjaśniania własnych intencji i pomysłów bywa wyczerpujący. Jest też czynnik ściśle osobisty.

LS: Czuję to podobnie. Komplementarne kompetencje są istotne, ale ważna jest też atmosfera spotkania, podobny styl pracy i porozumiewania się. Trudno to precyzyjnie opisać.

Co macie na myśli, mówiąc o stylu uprawiania matematyki lub sposobie porozumiewania się?

DH: W matematyce ważne jest stawianie pytań – formułowanie szalonych pomysłów, które czasami prowadzą donikąd. Partner nie może czuć się nimi zszokowany. Świetnie, jeśli podejmuje dyskusję i razem badamy, dokąd prowadzą nas odsłaniane ścieżki. Nie każdy lubi ten styl działania. Wielu kolegów prezentuje swoje przemyślenia dopiero, kiedy wyniki są kompletne. W pracy z Leszkiem cenię sobie niezmiernie jego otwartość i szczerość – opartą na wzajemnym szacunku i zaufaniu.

Spieracie się czasami?

DH: Tak. Zawsze jednak w takich dyskusjach staramy się podać jakiś sensowny kontrargument, dowód itd. Oczywiście nawet w matematyce są rzeczy, których prawdziwości czy nieprawdziwości nie sposób udowodnić. Próbujemy wtedy podejść do nich z dwóch stron. To zresztą często najciekawsze przypadki.

Popełnialiście błędy? Wjeżdżaliście w ślepe uliczki?

DH: To się zdarzało całkiem często. Napotykaliśmy tezy, których nie umiemy ani dowieść, ani obalić. Wynik nie był definitywny – a przynajmniej na taki wyglądał.

LS: Tak, tak bywa. Nie raz wysłałem Dorothee błędny dowód albo błędny pomysł.

DH: I vice versa!

LS: To wielka zaleta współpracy. Dzięki niej znacznie łatwiej znaleźć błąd albo lukę w rozumowaniu, bo każdy z nas popełnia nieco inne pomyłki.

DH: Jest też aspekt dużo bardziej przyziemny, niemający wiele wspólnego z matematyką. Każde z nas ma wiele obowiązków, choćby związanych z nauczaniem. Czasem brakuje czasu na pracę naukową. Wtedy partner może przejąć pałeczkę. Podziwiam tych, którzy pracują w pojedynkę, bo po miesiącu czy dwóch przerwy w myśleniu o danym problemie trzeba w zasadzie rozpoczynać od zera. Dla mnie byłoby to trudne. Ja tymczasem, biorąc udział w jakiejś konferencji lub spotkaniu, dostaję wiadomość od Leszka mówiącą, że właśnie odkrył poszukiwane przez nas rozwiązanie. Co za miła niespodzianka!

Skupiacie się zwykle na jednym problemie czy żonglujecie kilkoma?

LS: Zazwyczaj mamy otwarte dwa lub trzy pytania. Różne i na różnym poziomie zaawansowania. Przełączamy się między nimi, kiedy któreś zaczyna sprawiać zdecydowany opór.

DH: Zdarza się też, że ktoś podsunie nam pytanie lub publikację, która zdaje się mieć związek z naszą pracą.

Pan wspomniał na początku naszej rozmowy Stefana Banacha – współtwórcę Lwowskiej Szkoły Matematycznej, która działała wiek temu – i sprowokował tym samym pytanie o to, czy dziś można jeszcze mówić o szkołach matematycznego myślenia?

LS: Niełatwo na to odpowiedzieć. Matematyka jest wyjątkowym, uniwersalnym językiem, niezależnym od kultury. Różnice między szkołami nie są więc znaczące, zwłaszcza w porównaniu np. z naukami humanistycznymi. Istnieją jednak, oczywiście, różne tradycje – bardziej związane z ośrodkami uniwersyteckimi niż państwami. Tradycje zadawania pytań w określonych dziedzinach matematyki. W naszym przypadku różnica nie była duża. Ścisłe kontakty między matematykami polskimi i niemieckimi istniały od samego początku analizy funkcjonalnej. Weźmy Władysława Orlicza, twórcę jej szkoły w Poznaniu tuż przed II wojną światową. Pochodził z Lwowa, ze szkoły Banacha, ale po doktoracie pracował w Getyndze (ze słynnym Davidem Hilbertem). Do Poznania przeniósł więc elementy obu szkół – niemieckiej i polskiej.

A wyczuwacie może różnice podejścia do zasadności uprawiania samej nauki? Uściślę pytanie, dając przykład fizyków amerykańskich i europejskich zaangażowanych w projekt Manhattan (zmierzający do zbudowania bomby atomowej). Ci pierwsi zaskoczeni byli filozoficznym zapleczem Europejczyków, ci drudzy – pozbawionym głębszej refleksji pragmatyzmem Amerykanów.

DH: Wydaje mi się, że szkoły myślenia były niezwykle ważne w przeszłości. Świat był zupełnie inny – podzielony na Wschód i Zachód, inaczej też uprawiano zawód. Matematycy pozostawali przez długie lata w jednym ośrodku, grupy badawcze były stabilne. Dziś wszyscy są nomadami. Istnienie szkół wynikało m.in. ze spokoju, stabilności świata akademickiego. Ja sama pracuję w Jenie, na uniwersytecie, na którym zaczynałam karierę, ale jestem szczęściarą.

Czujecie się zagrożeni przez narastającą obecność modeli sztucznej inteligencji? Dojdzie do inwazji „maszyn” na waszą dziedzinę?

DH: Inwazja obejmie – obejmuje – każdą dziedzinę. To mnie trochę niepokoi. Do niedawna, czytając publikację, mogliśmy ufać w poprawność prezentowanego tam dowodu. Wierzyliśmy też dowodom tworzonym wieki temu. Wiedzieliśmy, że zostały przeanalizowane przez zastępy ludzkich matematyków. Dziś zalewają nas publikacje, z których część powstała prawdopodobnie przy współudziale AI. Część chcielibyśmy wykorzystać, budować na nich kolejne struktury, a nie wystarczy przecież życia, by sprawdzić każdy ich detal. Dziś jesteśmy jeszcze w stanie przypisać „wagi zaufania” do publikacji, ale z czasem stracimy tę zdolność. W tej chwili mnie to martwi – poleganie na czymś, co prawdopodobnie zostało wymyślone przez AI. To jednak bardziej przeczucie niż pewność.

Rozumiem, że nie tyle czujecie bezpośrednie zagrożenie ze strony AI, co obawiacie się tego, że gmach matematyki zacznie się nieco chwiać?

DH: Tak. A do tego dochodzi presja wywierana na nas i naszych kolegów, by publikować jak najwięcej, jak najczęściej. Pokusa, by sięgać po narzędzia AI, jest więc bardzo silna. Także podczas recenzowania rosnącej masy publikacji.

Jak powinniśmy myśleć o tym udziale AI w matematycznych dociekaniach? Rozumiem, że może ona badać terytoria niedostępne ludzkim umysłom?

LS: Nie potrafię tego udowodnić, ale nie sądzę, by tak było. AI używa, w pewnym sensie, ludzkiej wiedzy. Ludzi przewyższa natomiast tylko w zdolności kolekcjonowania faktów i idei oraz szybkości ich przetwarzania. Być może jest lepsza w ich składaniu w nową całość i analizowaniu wielkich ilości danych.

Przewagę ma więc raczej w mocy obliczeniowej niż w kreatywności?

LS: Tak. Prawdopodobnie bardziej pomocna niż w matematyce okaże się w naukach doświadczalnych.

DH: W matematyce zawsze żywa była dyskusja o tym, czy uprawiając ją, odnajdujemy coś, co już w niej istnieje, czy też to coś tworzymy. Oczywiście, jeśli prawdy się odkrywa, może się zdarzyć, że stanie się tak przez przypadek, nawet podczas poszukiwania czegoś zupełnie innego. A w działaniu sztucznej inteligencji właśnie element przypadkowości jest istotny. Nie wiem jednak, jaką funkcję pełni w tworzeniu nowych prawd. Rozmawiamy o tym w środowisku, ale nie możemy jeszcze stwierdzić, co AI dla nas oznacza.

LS: Przytoczę jeszcze pewną anegdotę. Jeden z moich kolegów ma teraz w zwyczaju zadawać po wykładzie na seminarium pytanie o to, czy jego autorka lub autor używali AI w pracy nad omawianym problemem. Do tej pory uzyskiwał tylko dwa rodzaje odpowiedzi: „Nie” lub „Próbowaliśmy, ale bez rezultatu”. Zmiany w dziedzinie sztucznej inteligencji zachodzą jednak szybko. Wiele może się zmienić.

Czy nie ma w tej sytuacji czegoś nieco przewrotnego? Czy do budowy modeli AI nie wykorzystywano metod wypracowanych przez dziedzinę, którą się paracie?

DH: Powiedziałabym, że inne sfery matematyki, ze statystyką na czele, zasłużyły się bardziej. Nie mam jednak pewności.

LS: To zależy, jak zdefiniujemy słowo „wkład”. Przestrzenie Banacha czy operatory liniowe są wykorzystywane bardzo szeroko, również w badaniach sieci neuronowych.

DH: Możesz mieć rację. Pamiętam, że jeden z naszych doktorantów przeszedł płynnie do pracy nad uczeniem maszynowym – używając narzędzi wziętych bezpośrednio z analizy funkcjonalnej.

Wspomniała pani o tym, że nie ma pewności czy matematykę się odkrywa, czy generuje. Do którego obozu należycie?

DH: Zakładam, że struktury te istnieją i jeśli wykażę się inteligencją, odnajdę je. Oczywiście „produkuję” wiele teorii, ale jeśli idzie o prawdę, to zdecydowanie ustawiam się po stronie odkrywców.

LS: Podobnie jak ja. I myślę, że to postawa dość typowa wśród matematyków. Żeby coś odkryć, potrzebna jest wyobraźnia. Nie jest ona jednak całkiem wolna. Musi przestrzegać rygorystycznych reguł. Czuję więc, że raczej poszukujemy, a nie tworzymy, jak malarze czy muzycy.

ROZMAWIAŁ KAROL JAŁOCHOWSKI

Dziękujemy, że jesteś z nami. Pulsar dostarcza najciekawsze informacje naukowe i przybliża wyselekcjonowane badania naukowe. Jeśli korzystasz z publikowanych przez Pulsar materiałów, prosimy o powołanie się na nasz portal. Źródło: www.projektpulsar.pl.