Kolejno odlicz i dodaj, czyli o uprzejmościach

Zaczniemy od podstępnego zadania w stylu Mensy: proszę uzupełnić trzema wyrazami początkowy fragment ciągu rosnącego złożonego z liczb całkowitych dodatnich:

?, ?, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ?, …

Dwa początkowe znaki zapytania zastępują pierwszy i drugi wyraz ciągu, pod końcowym znakiem ukrywa się wyraz dziewiąty; ciąg jest nieskończony. Zadanie w pierwszej chwili może się wydać trywialne – różnica między kolejnymi wyrazami równa jest 6, więc na starcie mogłoby być 0 i 6, a na końcu 48. Mogłoby, gdyby nie warunek, że ciąg tworzą liczby dodatnie, zatem początkowe zero nie pasuje. W tym samym ciągu, ale znacznie dalej, występuje jeszcze jeden złożony z sześciu liczb fragment podobnie „zmyłkowy” ze względu na równe odstępy między liczbami:

… 8436, 8448, 8460, 8472, 8484, 8496, …

Tym razem wszystkie różnice wynoszą 12, czyli dwa razy więcej. Ta informacja nie przybliża jednak rozwiązania. Ułatwieniem mogłoby być natomiast ujawnienie dwu ukrytych liczb:

?, 8, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 52, …

Obawiam się jednak, że to także nie wystarczy. Skuteczną podpowiedź stanowi dopiero zwrócenie uwagi na początek ciągu liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

Teraz nietrudno odgadnąć, że ciąg tworzą sumy par kolejnych liczb pierwszych, zaś liczby pierwsze jako nieprzewidywalne płatają figla, polegającego na pięciu równych odstępach między kolejnymi sumami. Analogiczny figiel dla podanego wyżej fragmentu ciągu sum 4-cyfrowych różniących się o tuzin jest sprawką siedmiu większych kolejnych liczb pierwszych:

4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253.

Warto zwrócić uwagę, że za osobliwe równe odstępy w obu fragmentach bezpośrednio odpowiedzialne są przede wszystkim równomiernie rozmieszczone trzy pary liczb pierwszych bliźniaczych (różniących się o 2).

Jeśli chaos liczb pierwszych zastąpimy ładem i zdyscyplinowaniem ciągu wszystkich liczb naturalnych, wówczas w sumowaniu kolejnych liczb pojawi się porządek i regularność, choć nie zabraknie osobliwości.

Sumy par kolejnych liczb naturalnych tworzą ciąg liczb nieparzystych; sumy kolejnych tercetów są wielokrotnościami trzech; sumy kwartetów tworzą ciąg, w którym kolejne wyrazy są dwukrotnie większe od kolejnych liczb nieparzystych itd. Wszystkie te ciągi po zjednoczeniu dadzą ciąg tzw. liczb uprzejmych, czyli takich, które są sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych dodatnich: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, … Z kolei w tym ciągu można wyodrębnić podciągi liczb uprzejmych w różnym stopniu. Stopień uprzejmości równy jest liczbie sposobów, na które można przedstawić daną liczbę jako sumę kolejnych liczb naturalnych. Najmniej uprzejme – ale jednak uprzejme – są te, które da się przedstawić tylko w jeden sposób – np. 3 (1+2), 28 (1+2+…+7), 328 (13+14+…+28) lub 1328 (26+27+…+57). Drugi stopień uprzejmości reprezentują m.in. kwadraty najmniej uprzejmych, czyli np. 3²=9 (4+5 lub 2+3+4) i 28²=784 (109+110+…+115 lub 9+10+…+40). Uprzejmość trzeciego stopnia zaczyna się od 15 (7+8, 4+5+6, 1+2+…+5), czwartego od 81 (40+41, 26+27+28, 11+12+…+16, 5+6+…+13), piątego wcześniej – od 45 (22+23, 14+15+16, 7+8+…+11, 5+6+…+10, 1+2+…+9), szóstego dopiero od 729 (364+365, 242+243+244, 119+120+…+124, 77+78+…+85, 32+33+…+49, 14+15+…+40), ale początek siódmego stopnia uprzejmości spada do 105 (52+53, 34+35+36, 19+20+…+23, 15+16+…+20, 12+13+…+18, 6+7+…+15, 1+2+…+14) itd. Zatem ciąg najmniejszych liczb o uprzejmości n-tego stopnia U_n (n=1, 2, 3,…) jest niemonotoniczny (rys. 1), choć ciąg lokalnych ekstremalnych wartości tworzących go wyrazów (znajdujących się między dwiema większymi lub dwiema mniejszymi) niemal stale rośnie (zdarzają się wyjątki).

Oprócz liczb mniej lub bardziej uprzejmych są niestety i takie, które uprzejmością w ogóle nie grzeszą. To oczywiście te, których brakuje w podanym wyżej ciągu, czyli 1, 2, 4, 8, 16, 32, …. Nieuprzejmymi są więc skądinąd sympatyczne potęgi dwójki. Francuski matematyk Edouard Lucas był pierwszym, który to zauważył i udowodnił w latach 70. XIX wieku. Dowód wynika z powiązania stopnia uprzejmości z dzielnikami. Ściślej: stopień uprzejmości liczby N jest równy liczbie jej nieparzystych dzielników d_N większych od 1.

Każdy sposób zapisu liczby N w postaci sumy kolejnych liczb można utworzyć, dzieląc ją przez jej nieparzysty dzielnik d_N i najpierw zapisując wynik N/d_N=m w postaci sumy d_N składników m, a następnie zmniejszając kolejne składniki położone na lewo od środkowego m o kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, …), a dodając te liczby do kolejnych składników znajdujących się na prawo od środkowego m. Przykład takiej operacji dla N=54 i d_N=9 przedstawiony jest na rys. 2. Dla d_N=3 suma początkowa i końcowa byłyby oczywiście krótsze – tylko trzyskładnikowe (18+18+18 → 17+18+19). Z kolei dla d_N=27 w długim dodawaniu dwójek pojawiłyby się po odejmowaniu z lewej strony liczby ujemne, ale po redukcji z ich prawostronnymi dodatnimi odpowiednikami pozostałaby suma 12+13+14+15. Stopień uprzejmości 54 jest więc równy 3, bo tyle nieparzystych dzielników większych od 1 ma ta liczba (3, 9, 27). Zero uprzejmości cechuje liczby bez nieparzystego dzielnika, a takimi są tylko wspomniane potęgi dwójki. Liczbami z jednym stopniem uprzejmości są natomiast liczby pierwsze, a także liczby parzyste, będące iloczynem liczby pierwszej i potęgi dwójki.

Im większa liczba, tym trudniej określić jej stopień uprzejmości, bo tym trudniej rozłożyć ją na czynniki pierwsze, czyli przedstawić w postaci:

N = 2^a₀ × p₁^a₁ × p₂^a₂ ×…× p_k ^a_k

Gdy jednak uda się to zrobić, to dalej sprawa jest prosta – wystarczy skorzystać ze wzoru na liczbę nieparzystych dzielników:

L(d_N)=(1+a₁)×(1+a₂)×…×(1+a_k)–1

Obliczmy na przykład stopień uprzejmości największej liczby pandigitalnej (zawierającej wszystkie cyfry) bez powtórek, czyli 9 876 543 210=2¹×3²×5¹×17²×379721¹:

U_N=L(d_N)=(1+2)×(1+1)×(1+2)×(1+1)–1=35.

Inaczej mówiąc, liczbę tę można zapisać w postaci sumy kolejnych liczb całkowitych dodatnich na 35 sposobów.

Można by jeszcze zapytać – w ogólnym przypadku – o najmniejszą i największą liczbę składników zapisu liczby N oraz o liczby rozpoczynające te zapisy. Odpowiedź jest prosta tylko dla nieparzystych N i najmniejszej liczby składników, które wówczas są oczywiście dwa, a mniejszy z nich to (N–1)/2. Pozostałe przypadki wymagają stosowania podanej wyżej metody dzielenia N przez dzielniki nieparzyste (N/d_N=m) oraz korzystania z odpowiednich wzorów, które łatwo wyprowadzić.

Jeśli (d_N–1)/2≥m, to zapis zawiera 2m składników – zaczyna się od (d_N–1)/2–m+1, a kończy liczbą (d_N–1)/2+m. Jeżeli (d_N–1)/2<m, to składników w zapisie jest d_N – pierwszy to m–(d_N–1)/2, a ostatni m+(d_N–1)/2.

Na przykład, zaczynając od podzielenia 9 876 543 210 przez 3 doprowadzimy do najkrótszego zapisu: 3 292 181 069+3 292 181 070+3 292 181 071, zaś dzielenie przez 379 721 zaowocuje najdłuższym: 163 851+163 852+…+215 870 – złożonym z 52 020 składników.

Geometryczną interpretacją liczb uprzejmych, a ściślej ich podziału na składniki, są tzw. schodkowe diagramy Younga. Alfred Young był angielskim matematykiem i pastorem kościoła anglikańskiego, który w 1900 roku zaproponował przedstawianie liczb naturalnych N w postaci diagramu – wielokąta złożonego z N kratek tworzących rzędy. Diagramy te znalazły zastosowanie głównie w teorii grup, ale przydają się także w innych działach matematyki. Diagram złożony z r rzędów odpowiada podziałowi (partycji) liczby N na r składników. Im większa liczba N, tym więcej partycji, a zatem tym więcej diagramów Younga jest jej „obrazem”. Na przykład dla N=9 mamy 16 dualnych diagramów Younga (rys. 3). Dualizm stąd, że składniki tworzące liczbę N mogą być spisane z diagramu rzędami na dwa sposoby: jako liczby kratek w wierszach (od góry) albo w kolumnach (od prawej), choć zapisy obu podziałów mogą być takie same, gdy diagram ma oś symetrii nachyloną pod kątem 45 stopni (oznaczone na żółto diagramy na rys. 3). Większość diagramów Younga tworzy schodki, ale za ściśle schodkowe uważa się te z równymi, jednostkowymi stopniami. Dla N=9 takie diagramy są tylko dwa (na niebieskim tle na rys. 3), a tworzące je rzędy (wiersze) odpowiadają obu podziałom dziewiątki jako liczby uprzejmej: 4+5 oraz 2+3+4.

Z geometryczną interpretacją liczb uprzejmych wiążą się dwa inne rodzaje liczb: liczby trójkątne i trapezowe. Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych liczb naturalnych od 1 do n, a więc stanowi szczególny przypadek liczby uprzejmej (oprócz 1), której odpowiada pełny schodkowy diagram Younga, czyli wszystkie jego stopnie są jednostkowe, jak np. dla N=10 (rys. 4). Liczby trójkątne tworzą ciąg 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276 …, który jest podciągiem liczb uprzejmych (oprócz pierwszego wyrazu). Natomiast wszystkie pozostałe liczby uprzejme, poza trójkątnymi, są liczbami trapezowymi, bowiem odpowiadają im diagramy Younga zbliżone kształtem do trapezu prostokątnego ze „schodkowym” ukośnym bokiem. Stąd wniosek, że każda liczba uprzejma jest albo liczbą trójkątną, albo różnicą (R_t) dwu niekolejnych liczb trójkątnych. Na rys. 5 przedstawiona jest w postaci diagramów Younga liczba 27 na dwa sposoby: jako różnica 55 i 28 oraz 28 i 1 z widocznym podziałem na składniki – trzy (8+9+10) lub sześć (2+3+4+5+6+7). W związku z tym możliwa jest inna metoda szukania stopnia uprzejmości liczby N – wyraża się on liczbą takich samych różnic R_t=N w ciągu liczb trójkątnych. Stopień uprzejmości 27 równy jest 3, więc diagramowa różnica równa tej liczbie powinna być jeszcze jedna. Jej znalezienie i narysowanie odpowiedniego diagramu Younga nie powinno sprawić kłopotu.

Na zakończenie zadanie (niekonkursowe) bliźniaczo podobne do rozpoczynającego ten artykuł. Oto fragment ciągu, którego dziewiąty wyraz zastąpiono znakiem zapytania: …, 2777, 2807, 2837, 2867, 2897, 2927, 2957, 2987, ?, …. Jaką liczbą powinien być ten wyraz. Odpowiedź 3017 oczywiście wykluczamy.

Zadania

1. W artykule podane są dwa warunki związane z dwoma przypadkami określania m.in. liczby składników tworzących zapis liczby w postaci sumy kolejnych liczb naturalnych: (d_N–1)/2≥m oraz (d_N–1)/2<m. Oba te warunki można przedstawić w innej, równoważnej postaci: d_N<Ö-? oraz d_N>Ö-? . Co powinno się znaleźć pod pierwiastkiem zamiast znaku zapytania (w obu przypadkach to samo).

2. Jaki jest stopień uprzejmości liczby 28! (28 silnia), czyli na ile sposobów można przedstawić tę liczbę jako sumę kolejnych liczb naturalnych.

Obliczanie silni (29-cyfrowa liczba) i rozkładanie jej na czynniki pierwsze nie jest oczywiście konieczne. Uważna lektura powyższego artykułu powinna wystarczyć do tego, aby skorzystać z właściwego sposobu rozwiązywania.

3. Z ciągu liczb całkowitych dodatnich wybrano n kolejnych liczb. Każdą z nich podniesiono do kwadratu i utworzono sumę tych kwadratów, która także okazała się kwadratem. Gdyby n było równe 2, to najmniejsza wybrana para (3 i 4) należałaby do pierwszej trójki pitagorejskiej (3²+4²=5²). Dla 3≤n≤10 wybór spełniający podany warunek nie jest możliwy. Który najmniejszy kwadrat jest sumą kwadratów jedenastu kolejnych liczb?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 9/19. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Nathalie Deruelle, Jeana-Pierre'a Lasoty Fale grawitacyjne. Nowa era astrofizyki ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru lipcowego

1. Żaden z podanych iloczynów nie może być potęgą dwójki. Ze względu na niedoprecyzowanie zadania (np. a i b powinny być różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi) inne uzasadnione odpowiedzi także były uznawane za poprawne.

2. 196 potęg dwójki w zakresie od 20 do 22019 zaczyna się czwórką.

3. Prawdziwe mogło być tylko stwierdzenie „c” (potęga dwójki, w której przestawiono cyfry, może być potęgą piątki, np. 29=512, 53=125), chyba że przestawiane będą takie same cyfry, wówczas stwierdzenie „a” także może być prawdziwe.

4. Podzbiór A (zbioru liczb naturalnych {1, 2,…, 2019}), zawierający liczby, które można przedstawić w postaci sumy pięciu potęg dwójki (niekoniecznie różnych), będzie liczniejszy (1019 liczb) niż podzbiór B, obejmujący tysiąc pozostałych liczb.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Leonarda Suskinda i Arta Friedmana Szczególna teoria względności i klasyczna teoria pola ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Bartosz Głusek z Warszawy, Waldemar Karpiński z Nowego Miasta Lubawskiego, Konrad Szejgiec z Lublina, Janusz Włodarczyk z Będzina, Joanna Zbierska ze Szczecina.