Trójkąt heksagonalny, czyli śladem chessera

Od paru wieków niektórzy szachiści i „antyszachiści” próbują zmieniać reguły królewskiej gry. Powody są różne. Zwykle chodzi o ratowanie rozgrywki przed sztampą lub tzw. śmiercią remisową. W istocie jednak nowatorom przyświeca głównie chęć wykazania się pomysłowością, stworzenia czegoś nowego, oryginalnego, lepszego. Kusząca jest też możliwość ingerencji w artefakt uświęcony wielowiekową tradycją. Zmiany dotyczą wielkości i kształtu planszy, liczby i rodzajów bierek lub zasad rozgrywki. Angielski dziennikarz David Pritchard zebrał opisy kilku tysięcy takich nieortodoksyjnych odmian, które pojawiły się na świecie od XVIII wieku, w sążnistym dziele The Encyclopedia of Chess Variants. Współcześnie tematem tym zajmuje się holenderski informatyk Hans Bodlaender, twórca strony internetowej www.chessvariants.com.

Mimo trwającego naporu wynalazców ortodoksyjna gra trzyma się mocno. Ogromna większość nowości pozostaje ciekawostkami, gadżetami, sztuką dla sztuki. Tylko bardzo nieliczne miewają swoje pięć minut. Są nawet patentowane, produkowane i cieszą się względnie dużą, jak na swoją niszowość, popularnością, trwającą niekiedy kilkanaście lat, a niektóre zasługują na miano turniejowych. Przykładem mogą być szachy heksagonalne – dzieło naszego rodaka osiadłego w Anglii, Władysława Glińskiego, które doczekały się organizowanych w dwu ostatnich dekadach XX wieku mistrzostw świata.

Do szczególnie osobliwych odmian należą szachy dla trzech osób. Tu także wyróżnia się wariant autorstwa Polaka, profesora etyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Jacka Filka, stworzony głównie z pobudek filozoficznych – jako model trójstronnego konfliktu. Nie wchodząc w szczegóły, w tym wariancie (choć nie tylko w tym) gra toczy się „do pierwszej krwi”, czyli do pierwszego mata, a przegrywa także ten trzeci, który nie zamatował, ani nie został zamatowany, więc w jego interesie jest nie dopuścić do mata, czyli odpowiednio wcześnie stanąć w obronie zagrożonego rywala albo… samemu wcześniej go zamatować.

Słabą stroną większości spośród blisko stu wariantów trzyosobowych szachów jest ich znaczne skomplikowanie i gabaryty – duże, zwykle sześciokątne plansze, spora liczba bierek, trudne do przewidzenia skutki posunięć. Krótko mówiąc, niełatwo się połapać w sytuacji na planszy, a to praktycznie czyni rozgrywkę w dużym stopniu losową. Nic więc dziwnego, że niemal wszystkie trzyosobowe warianty stanowią mało praktyczne eksponaty z gabinetu osobliwości, choć niektóre są produkowane i nie brak tercetów chętnych, którzy próbują w nie grać. Natomiast uwagę matematyków zwróciły najprostsze z nich – z trójkątną planszą utworzoną z sześciokątnych pól – ze względu na analogie z klasycznymi szachami, a ściślej na ich podatność na matematykę szachową.

W encyklopedii Pritcharda znajduje się eksponat o nazwie chesser, powstały w 1989 roku w Danii (autor Per Halmo). Plansza obejmuje 78 pól w trzech odcieniach, a trzy armie na początku zajmują pozycje w rogach trójkąta (rys. 1). Pól jest o 14 więcej niż w zwykłych szachach, ale każda strona ma o trzy pionki mniej. Na rys. 2 pokazane są sposoby poruszania się bierek. Na pełnej planszy gwiazdką oznaczone jest pole, na którym znajduje się jedna z czterech figur: goniec (możliwe ruchy na pomarańczowe kółka), skoczek (ruchy na zielone kółka), wieża (na niebieskie) lub hetman (na pomarańczowe i niebieskie).

Jak widać, posunięcia są w miarę wiernymi odpowiednikami ruchów na polach typowej szachownicy. Zachowana jest także jednokierunkowość ruchu pionkiem – dla każdego gracza tylko ku przeciwległemu brzegowi planszy, na początku o jedno lub dwa pola (niebieskie kółka) z biciem wykonywanym „na ukos” (żółte). Specyficzne jest to, że mimo trzech rodzajów pól każdy gracz dysponuje tylko dwoma gońcami, działającymi na różnych rodzajach pól; trzeci rodzaj pól – inny dla każdego gracza – pozostaje poza zasięgiem jego gońców.

Osobliwe jest także ukrycie każdego króla głęboko w rogu, na tyłach armii. Wygląda na to, że dobranie się doń nie jest sprawą prostą, ale o strategii chessera wiadomo niewiele, bo choć został opatentowany i wydany w małym nakładzie, to nie wyszedł poza stadium raczkowania. Okazał się jednak interesujący jako swego rodzaju model matematyczny, a właściwie model stanowi trójkątna plansza złożona z sześciokątnych pól (w skrócie plansza TH) oraz pojawiające się na niej układy niektórych figur. Szachowa matematyka zaczyna się od planszy, która w ogólnym przypadku składa się z liczby pól równej liczbie trójkątnej, czyli określonej wzorem P(n)=n(n+1)/2, gdzie n to liczba pól wzdłuż boku. W chesserze n=12, a P(n)=78.

Odległości między polami szachownicy 8×8 określa twierdzenie Pitagorasa, czyli wzór d²=a²+b². Natomiast odległości między polami trójkątnej planszy wyrażone są uogólnioną postacią tego wzoru, wynikającą z twierdzenia cosinusów: d²=a²+b²+2abcos120°=a²+b²+ab, (cos120°=–½); jednostką jest w obu przypadkach najmniejszy dystans między środkami pól. Na rys. 3 oznaczone są wszystkie dystanse między polami na obu planszach – n=8 dla klasycznej szachownicy i n=12 dla planszy TH; „startowym” jest w obu przypadkach narożne pole zerowe.

Liczby pod pierwiastkami na rys. 3 tworzą dwa ciągi. Dla siatki kwadratowej jest to ciąg sum dwóch kwadratów (2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80…). Dla TH każdy wyraz ciągu jest sumą kwadratów dwu liczb i ich iloczynu (3, 7, 12, 13, 19, 21, 27, 28, 31, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 67, 73, 75, 76, 79, 84, 91, 93, 97, 103, …). Wydaje się, że autor chessera zadbał także o analogię związaną z dystansami, bo wśród dystansów na każdej planszy jeden jest liczbą całkowitą (5 i 7), a dwa są takie same (dwa √50 i dwa √91).

Dystans 5 na siatce kwadratowej odpowiada długości przeciwprostokątnej trójkąta pitagorejskiego, czyli jest najmniejszym w ciągu 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 60, 61, 65, 68, 70, … . Osobliwe, że ciąg ten obejmuje wszystkie wielokrotności liczb pierwszych o wzorze 4k+1. Dystans 7 na TH jest długością „przeciw-120-kątnej” odpowiednika trójkąta pitagorejskiego – czyli takiego, którego długości boków wyrażają się liczbami całkowitymi – i zaczyna ciąg: 7, 13, 14, 19, 21, 26, 28, 31, 35, 37, 38, 39, 42, 43, 49, 52, 56, 57, 61, 62, 63, 65, 67, 70, 73, 74, 76, 77, … . Z kolei w tym przypadku osobliwa, trudna do wytłumaczenia własność polega na tym, że każdy wyraz ciągu jest wielokrotnością liczby 6p+1, gdzie p jest jedynką lub liczbą pierwszą – i ciąg ten obejmuje wszystkie wyrazy o takiej własności.

Część zagadnień dotyczących plansz wiąże się z grupami symetrii, ale taki kontekst wymagałby wprowadzenia i wyjaśnienia wielu nowych pojęć, niezwiązanych bezpośrednio z głównym tematem. Można jednak poradzić sobie z tymi zagadnieniami w prostszy sposób, bliski praktycznej grze.

Wyobraźmy sobie, że gra polega na oznaczaniu przez graczy na przemian po jednym polu planszy dotąd, aż pola oznaczone przez któregoś z nich utworzą jakiś ściśle określony kształt, co oznacza wygraną. Byłaby to więc gra analogiczna do dziecinnego kółka i krzyżyka albo jego „dorosłych” wariantów na dużych planszach, w których docelowym kształtem jest ciągły rząd określonej liczby oznaczeń. Pytanie brzmi: ile jest możliwych całkowicie różnych oznaczeń (w skrócie CR – z dokładnością do odbić i obrotów) rozpoczynających grę, czyli pierwszych ruchów na planszach różnej wielkości?

Dla kwadratowych plansz o odpowiedź nietrudno, bo z tą figurą o czterech osiach symetrii jesteśmy „oswojeni”. Liczby oznaczeń dla 1≤n≤8 (rys. 4) zaczynają ciąg: 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, 10, 15, 15, 21, 21, … – złożony z par kolejnych liczb trójkątnych. Dla plansz TH nieco trudniej oznaczyć właściwe różne pola startowe w przypadku większych plansz. Oznaczenia dla 1≤n≤12 znajdują się na rys. 5.

Liczby oznaczeń dla kolejnych n tworzą TH-ciąg: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, … . Niełatwo doszukać się nim regularności, ale gdyby go wydłużyć i wypisać ciąg różnic między kolejnymi wyrazami, to w tym nowym ciągu (0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 5, 6, …) pojawiłaby się cykliczność: cztery takie same liczby, jedna o jeden większa, jedna o jeden mniejsza (od poprzedniej), cztery takie same (o jeden większe), jedna o jeden większa… itd. Ciekawe, że TH-ciąg pojawia się w wielu innych sytuacjach, a podstawowa wiąże się z partycjami, czyli podziałami liczb. Praktycznie partycją jest przedstawienie liczby w postaci sumy liczb (całkowitych, dodatnich). Na przykład podziałów czwórki jest pięć (czwórkę też zalicza się do jej partycji): (4), (3+1), (2+2), (2+1+1), (1+1+1+1). Natomiast każdy n-ty wyraz TH-ciągu równy jest liczbie partycji n na dwie i trzy liczby. Na przykład a₉=10, ponieważ jest dziesięć dwu- i trzyliczbowych partycji dziewiątki: (8+1), (7+2), (6+3), (5+4), (7+1+1), (6+2+1), (5+3+1), (5+2+2), (4+3+2), (3+3+3). Dlaczego ten sam ciąg wiąże się z tak różnymi tematami, jak partycje i liczby różnych ruchów rozpoczynających grę – oto zagadka.

Wśród zadań matematycznych związanych z królewską grą, w których występują figury, prym wiodą dwa z udziałem hetmanów. W pierwszym chodzi o takie rozmieszczenie najmniejszej ich liczby (H_min), aby atakowane były wszystkie wolne pola. Na klasycznej szachownicy, czyli dla n=8, cztery hetmany nie wystarczą. Zawsze pozostaną nieatakowane przynajmniej dwa pola, a ustawień CR z taką niezagrożoną parą pól jest 8 (przykład na rys. 6a; nieatakowany jest różowy duet). Zatem dla n=8 H_min=5. Ciąg H_min dla kolejnych n≥1 rośnie bardzo wolno, a fragmentami jest stały: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5 (n=8), 5, 5, 5, 6, … . Zaskakujące, że H_min=5 obsługuje także planszę z n=11, czyli o powierzchni blisko dwukrotnie większej niż 8×8 – i jest tylko jedno ustawienie CR z taką obsługą (rys. 6b).

Analogiczne zadanie dla planszy TH wydaje się nieco prostsze mimo większej liczby możliwych kierunków ataku hetmana. Wprawdzie hetman umieszczony w rogu atakuje tylko w trzech kierunkach, ale już przy brzegu planszy w siedmiu, a na pozostałych (n–3)(n–2)/2 polach – w dwunastu. Dla plansz z 1≤n≤4 jeden hetman wystarcza, aby atakować wszystkie pola, ale dla n=5, 6 potrzebne będą dwa, a dla 7≤n≤10 trzy (rys. 7). Na rys. 7 zwraca uwagę „bliźniacze” podobieństwo przykładowych ustawień hetmanów na czterech planszach różnej wielkości.

Drugie klasyczne zadanie hetmańskie na szachownicy 8×8, a ogólnie na planszy n×n, polega na rozmieszczeniu n hetmanów w taki sposób, aby żaden z nich nie atakował innego. Ściślej chodzi o znalezienie wszystkich S_n rozwiązań CR dla kolejnych n≥4 (dla mniejszych n nie ma rozwiązań). Zadanie to było tematem artykułu w marcowym „Świecie Nauki” z ubiegłego roku. W tabeli na rys. 8 podane są liczby rozwiązań S_n dla 4≤n≤12.

Dokładny odpowiednik tego zadania na planszy TH nie ma sensu, bo na takiej planszy ulokowanie n hetmanów nie jest możliwe głównie z powodu różnej długości rzędów pól – od 1 do n. Należałoby więc raczej zapytać o największą liczbę zgodnie panujących hetmanów i o liczbę rozwiązań CR dla konkretnych n. Takie zadanie jest prostsze niż dla kwadratowych szachownic, bo łatwo ustalić schemat lokowania hetmanów. Na przykład dla n=8 są dwa rozwiązania z pięcioma hetmanami (rys. 9).

Dwa matematycznie najciekawsze „figurowe” zadania na planszy TH wiążą się z wieżami; zadania te można uznać za dość wierne odpowiedniki wspomnianych wyżej dwu hetmańskich zadań na kwadratowych planszach. Pierwsze polega na umieszczeniu na planszy TH minimalnej liczby wież atakujących wszystkie wolne pola (W_min), a drugie na umieszczeniu maksymalnej liczby wież nieatakujących się nawzajem (W_max).

W przypadku W_min dla parzystych 4≤n≤10 ustawienia wież są schematyczne (rys. 10). Nie są to jedyne możliwe ustawienia, ale nietrudno dowieść, że mniej wież dla parzystych n rozmieścić się nie da. Dowód dla każdego n zaczyna się od założenia, że w żadnym rogu nie ma wieży, co prowadzi do sprzeczności, a więc do konieczności umieszczenia jednej wieży w rogu i skorzystania z rozwiązania dla n–2.

Oto przykładowy konkretny dowód, że 3 wieże nie obsłużą n=8. Z założenia, że żadna wieża nie stoi w rogu, wynika konieczność umieszczenia po jednej wieży przy każdym z trzech brzegów planszy. Jednak nawet w ich najbardziej „agresywnym” ustawieniu (rys. 11) trzy pola w centrum planszy pozostaną nieatakowane. Skoro więc założenie „nie działa”, trzeba ulokować jedną wieżę w rogu i zająć się nieatakowanym fragmentem, tworzącym planszę z n=6, co wymaga skorzystania jeszcze z co najmniej 3 wież (wynika to z analogicznego dowodu niemożności umieszczenia tylko 2 wież dla n=6 i wcześniej – z bliźniaczego dowodu, że 1 wieża nie wystarczy dla n=4; jest to więc typowy dowód indukcyjny).

Dla nieparzystych n=1, 3, 5 schemat ustawień wież przy W_min jest taki, jak dla parzystych (rys. 12a). Gdyby taki pozostawał dalej, to dla n=7 W_min wynosiłoby 4, a tymczasem możliwy jest inny schemat, przy którym W_min=3 (rys. 12b). Ustawienia z W_min dla kolejnych nieparzystych n można tworzyć, dodając każdorazowo do ustawienia dla n–1 jedną wieżę w rogu – jak dla n=9 i 11 na rys. 12c.

Gdyby schematy ustawień wież przy W_min dla parzystych n i nieparzystych n>7 pozostawały niezmienne, to należałoby oczekiwać, że na przykład W_min będzie wynosiło 13 dla n=26 i n=27. Jednak te wartości nie są znane i nie ma pewności, że takie będą. W publikacjach naukowych, w których temat ten wzmiankowany jest w kontekście teorii grafów, pojawiają się bowiem niespodzianki. Na przykład dla n=20 W_min=9, podczas gdy zgodnie ze schematem (rys. 10) powinno być równe 10 (znalezienie w tym przypadku ustawienia 9 wież jest nawet przy wsparciu komputerowym bardzo trudnym zadaniem).

Natomiast prostsze wydaje się szukanie W_max, czyli maksymalnej liczby wież, które można ustawić na planszy TH tak, aby się nie atakowały. Chodzi nie tylko o konkretne ustawienia, ale także o zależność W_max od n. Kluczem do tego może być oszacowanie wartości q, której W_max nie może dla danego n przekroczyć. W tym celu określimy wartość s, czyli łączną liczbę ataków wież na wszystkie pola planszy. Każda wieża atakuje 2(n–1) pustych pól, a pole, na którym stoi, uznajemy za nieatakowane. Zatem totalna moc ataku s wszystkich q wież równa jest 2q(n–1). Z kolei każde puste pole może być atakowane co najwyżej trzykrotnie, zaś pustych pól jest n(n+1)/2–q. Stąd s≤3[n(n+1)/2–q]. Po zestawieniu obu wzorów na s i przekształceniach otrzymamy wzór na maksymalną możliwą wartość W_max=q≤3n(n+1)/[2(2n+1)]. Ten wzór jest skuteczny dla n≤10 w tym sensie, że część całkowita wyniku jest właściwą wartością W_max. Na przykład dla n=10 q=7,86, czyli W_max=7 (rys. 13). Dla większych n część całkowita q nie jest już równa W_max.

Na szczęście możliwa jest inna, bardziej skomplikowana analiza, która prowadzi do prostszego i dokładniejszego wzoru – mocno „osadzonego na podłodze”: W_max=Ent[2(n+1)/3]. Podłogą jest w matematyce symbol Ent, oznaczający konieczność zaokrąglenia wyniku w dół do liczby całkowitej.

Zadania

1. Na planszy TH chessera (n=12) taki sam dystans między polami (d=√91) występuje dwukrotnie (rys. 3). Z ilu co najmniej pól musiałaby się składać plansza TH (n=?), aby jednakowy dystans d=√x między polami występował na niej trzykrotnie, jeśli wiadomo, że x jest wynikiem mnożenia (ściślej: jednym z wyników), które należy rozszyfrować na podstawie jego słupkowego zapisu z ujawnionymi dwiema cyframi (rys. 14).

2. Na planszy TH z 66 polami (n=11) 4 hetmany wystarczą, aby wszystkie wolne pola były przez nie atakowane (rys. 15a). Na których polach należy rozmieścić 4 hetmany na 78-polowej planszy TH chessera (n=12, rys. 15b), aby pozostało tylko jedno wolne pole nieatakowane?

3. Na 45-polowej planszy TH (n=9, rys. 16) należy rozmieścić tyle samo wież i gońców – ale w sumie jak najmniej – tak, aby wszystkie puste pola były przez te figury atakowane (aktywność gońca oznaczona jest kolorem pomarańczowym na rys. 2). Takie same figury nie mogą się atakować, ale różne mogą, czyli gońce mogą atakować wieże i odwrotnie. W rozwiązaniu wystarczy podać numery pól zajętych przez poszczególne figury.

4. Ile najwięcej wolnych króli (nieatakujących się) można ustawić na 45-polowej planszy TH (n=9, rys. 16). Król atakuje tylko sąsiednie pola, czyli najwyżej 6 (rys. 2).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 listopada 2023 r. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 11/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kosmiczny wyścig. Historia pierwszego człowieka, który opuścił Ziemię Walkera Stephena ufundowaną przez Wydawnictwo Poznańskie. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru wrześniowego

1. Liczbami dwucyfrowymi (oprócz 11), których kwadrat można zapisać w postaci sumy dwóch repdigitów, są: 12 (144=111+33) i 38 (1444=1111+333) – przy założeniu, że liczb jednocyfrowych nie uznajemy za repdigity (ze względu na cząstkę „rep-„).

2. Resztą z dzielenia repunitu J2023 (2023 jedynki) przez 43 jest 34.

3. 1111=111×(11–1+1) lub [555×(5+5) + 5]/5, ale najlepsze rozwiązanie, autorstwa pana Krzysztofa Kielaka, zawiera tylko sześć cyfr: 1111=(66+6):(6×6+6).

4. 813×27=21 951 lub 917×23=21091.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Factfulness. Dlaczego świat jest lepszy, niż myślimy Hansa Roslinga, ufundowaną przez Wydawnictwo Media Rodzina, otrzymują: Wojciech Błachut z Gliwic, Zbigniew Kapusta z Banina, Krzysztof Kielak z Nowego Prażmowa, Karol Narbudowicz z Wrocławia i Krzysztof Pałucha z Łodzi.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”