Arch. pryw.
Struktura

Za co Maryna Wiazowska dostała matematycznego Nobla

Wybitna ukraińska matematyczka Maryna Wiazowska została nagrodzona Medalem Fieldsa, jako druga kobieta w 86-letniej historii tego wyróżnienia. Wyjaśniamy istotę jej odkrycia.

Matematyka słynie ze skomplikowanych pojęć, abstrakcji i przerażających napisów, złożonych z ciągów dziwnych symboli, z których każdy wymaga godzin wyjaśnień. Też tak to odbieram, mimo że jestem profesorem nauk matematycznych – rozumiem pojęcia i napisy z mojej niszy, w stosunku do pozostałych jestem na podobnej pozycji co nie-matematyk.

W tej sytuacji zaskakujące i przyjemne jest to, że umiem o badaniach świeżo upieczonej laureatki napisać parę zdań, choć sam zajmuję się naukowo i dydaktycznie czymś zupełnie innym. Jeżeli już mam osobisty związek z tematyką badań Wiazowskiej, to raczej poprzez jedno z moich hobby niż przez zawód.

Wywodzą się one od bardzo starego problemu, sformułowanego jeszcze przez Johannesa Keplera w 1611 r. Uczony zapytał, w jaki sposób można najgęściej wypełnić przestrzeń identycznymi kulami o promieniu 1, które nie zachodzą na siebie. Już on znał najgęstsze możliwe upakowania (bo jest ich wiele), ale nie umiał udowodnić, że jeszcze gęściej się nie da. I tak pozostało aż do 1998 r., kiedy to Thomas Hales obwieścił, że ma dowód (albo raczej do 2003 r., kiedy po analizach recenzenci uznali, że jest on poprawny). Od tego momentu wiemy już z całą pewnością, że identyczne kule mogą zapełnić maksymalnie π/√18 ≈ 74% przestrzeni trójwymiarowej.

Badania laureatki, które przyczyniły się do spotykających ją właśnie zaszczytów, dotyczyły tego samego problemu, ale gdy kule i przestrzeń mają więcej wymiarów niż 3. Tu już wykraczamy poza doświadczenia przeciętnego śmiertelnika, ale przy odpowiednim napięciu wyobraźni można jeszcze próbować sobie to zwizualizować w 4 wymiarach.

Żeby się do tego przygotować, wyobraźmy sobie najpierw obraz tomograficzny pojemnika wypełnionego kulami trójwymiarowymi. Widzimy go na dwuwymiarowym ekranie, po czym poruszając rolką myszki możemy przemieszczać się w trzecim wymiarze, oglądając kolejne warstwy obrazu. Nasze kule będą przy tym wyglądały jak pojawiające się koła, które rosną, osiągają maksymalny rozmiar, po czym z powrotem maleją, by zniknąć. Wszystko z tak dobraną prędkością, żeby to były przekroje kul, a nie placków albo cygar. Warunek, że kule nie zachodzą na siebie oznacza, że widziane przez nas krążki nie zachodzą na siebie w żadnym momencie. Poziom wypełnienia pudełka można wtedy obliczyć jako średnią z wypełnienia wszystkich pojedynczych obrazów, które widzieliśmy.

Żeby to samo uzyskać w czterech wymiarach, musimy mieć trójwymiarowy ekran (powiedzmy pudełko) i możliwość pokręcania rolką myszki, przy czym w pudełku pojawiają się, rosną i znowu maleją do zaniku trójwymiarowe kulki. Znowu muszą robić to w dobrym tempie i nie wolno im się nigdy nakładać na siebie. Teraz wypełnienie przestrzeni czterowymiarowej czterowymiarowymi kulami to będzie średnie wypełnienie pudełka, obliczone dla wszystkich stopklatek, które widzieliśmy.

Tomograf czterowymiarowy, zarys koncepcji.Arch. pryw.Tomograf czterowymiarowy, zarys koncepcji.

Oczywiście, gdy liczba wymiarów będzie jeszcze większa, wyobraźnia w końcu będzie musiała się poddać. I zostaną nam wzory, wektory, algebry, Fouriery, etc., czyli to wszystko, co nas onieśmiela w matematyce.

Stąd po kilku dalszych krokach możemy dojść do miejsca, gdzie laury zdobyła Maryna Wiazowska. Jej dziełem jest dowód z 2016 r., że w przestrzeni mającej 8 wymiarów optymalne wypełnienie przestrzeni kulami daje gęstość π4/384 ≈ 25%.

Później z rozpędu z kilkoma współautorami rozwiązała analogiczne zagadnienie dla 24 wymiarów, gdzie maksymalna gęstość wynosi π12/12! ≈ 0,019%.

Przypadki 8 i 24 wymiarów uchodzą za łatwe w całym ogólnym zagadnieniu. Ale to „łatwe” trzeba odczytywać przez pryzmat tego, że dla wymiaru 3 od postawienia pytania do dowodu minęło niemal 400 lat, i że nie znalazł go ani sam Karl Friedrich Gauss, ani żaden z innych wielkich tej dziedziny przed Halesem. Dodatkowo nowe dowody są dużo elegantsze niż dla przestrzeni trójwymiarowej, co dla matematyków-estetów ma wielkie znaczenie.

Drogi Czytelniku, ponieważ namawiałem Cię na ćwiczenie wyobraźni w wymiarze 4, trzeba tę sprawę domknąć. Problem pozostaje otwarty – do tej pory nie wiadomo, jaka jest maksymalna gęstość, ale przypuszcza się, że wynosi π2/16 ≈ 61,6%. Znana jest dla niej odpowiednia konfiguracja kul. Brak tylko dowodu, że gęstsza nie istnieje.

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną