Wymiary przestrzeni. Poprawianie przez odejmowanie

Po sukcesie filmu „Niebiańska plaża” z Leonardo DiCaprio w 2000 r., wspomniana tajlandzka zatoczka Maya Bay została zniszczona przez turystów, którzy chcieli ją zobaczyć na własne oczy. Chyba każdy spotkał się kiedyś z podobnym efektem: może był to pusty przedział w pociągu, o którym dowiedziało się za dużo pasażerów, albo kameralna impreza towarzyska, która była tak fajna, że przestała być kameralna. Swoje „niebiańskie plaże” mają też każdego dnia kierowcy – np. w postaci wolnych pasów ruchu.

Dokładnie takiej sytuacji, tylko że w większej skali, dotyczy paradoks niemieckiego matematyka Dietricha Braessa. W 1968 r. opublikował on sprzeczne z logiką twierdzenie, że zbudowanie nowej drogi nie zawsze skraca czas przejazdu. W pewnych okolicznościach może go wydłużyć. Oto prosty opis jego modelu.

Dwie drogi

Wyobraźmy sobie, że punkty A i B łączą dwie równoległe, jednakowej długości drogi. Każda składa się z dwóch odcinków: Wolnego, który zawsze pokonuje się w 45 min. niezależnie od ruchu, i Szybkiego, czas przejazdu którym zależy liniowo od intensywności ruchu i wynosi 20 min., ponieważ jeździ nim połowa wszystkich pojazdów. Dzieje się tak dlatego, że drogi różnią się tylko kolejnością odcinków:

Droga 1: A – Szybki + Wolny – B

Droga 2: A – Wolny + Szybki – B

Zatem czasy przejazdów obu dróg są takie same:

Droga 1: 20 min. + 45 min. = 65 min.

Droga 2: 45 min. + 20 min. = 65 min.

Kierowcy nie mają wyboru „szybszej” drogi. A jeśli żadna nie byłaby atrakcyjniejsza od drugiej ze względu na stan nawierzchni czy krajobraz, to ruch rzeczywiście rozłożyłby się po połowie.

Wydaje się, że dobrym pomysłem na rozwój transportu między A i B byłoby połączenie odcinków Szybkich, 20-minutowych, by skrócić czas podróży do 40 min. Ostrożność nakazywałaby sprawdzić, jak wówczas zmieni się ruch, ale w realnej sytuacji na poparcie tego pomysłu pojawiają się argumenty „z życia wzięte”. Na przykład: jeśli ktoś ma szybszy samochód albo musi załatwić więcej spraw, to czemu nie mógłby jeździć szybciej? Nie hamujmy rozwoju gospodarczego. A trasa 45-minutowa niech będzie dla dostawczaków i niedzielnych kierowców.

Jedna droga

Powstaje więc łącznik między obiema drogami. Dla uproszczenia załóżmy, że nie wydłuża on czasu przejazdu. Co się wówczas dzieje? Kierowcy wreszcie mają wybór i to aż z trzech różnych wariantów:

Wariant 1 (po staremu): A – Szybki + Wolny – B

Wariant 2: A – Szybki + Szybki – B

Wariant 3: A – Wolny + Wolny – B

Co daje nam następujące czasy przejazdu:

Wariant 1: 20 min. + 45 min. = 65 min.

Wariant 2: 20 min. + 20 min. = 40 min.

Wariant 3: 45 min. + 45 min. = 90 min.

Opcja 40-minutowa, która oznacza zaoszczędzenie aż 25 minut jazdy, to nasza tytułowa „niebiańska plaża”, która ulega zniszczeniu, bo wszyscy chcą z niej korzystać. Ponieważ czas przejazdu tymi odcinkami zależy liniowo od liczby pojazdów, ulega on podwojeniu, gdy podwaja się ruch. W ten sposób początkowo szybsza opcja 2 x 20 min = 40 min wydłuża się do 2 x 40 min = 80 min. Wpływa to na również na stary wariant trasy, którego składową jest odcinek Szybki:

Wariant 1: 40 min. + 45 min = 95 min.

Wariant 2: 40 min. + 40 min = 80 min.

Wariant 3: 45 min. + 45 min = 90 min.

Jak widać, łącznik pogorszył sytuację, doprowadzając do powstania bardzo atrakcyjnej oferty przejazdu, skazanej jednak na „zadeptanie”. Z opcji wyboru zniknął stary wariant 65-minutowy, który – jak się okazuje – był najlepszy. Co gorsza jednak, nie da się do niego wrócić, bo odcinki Szybkie są wciąż najszybsze, a więc bezkonkurencyjne, choć droga nimi z A do B wydłużyła się o kwadrans w stosunku do starego wariantu.

Drogi realne

Czy tak bywa w realnym świecie? Sprawdzono, że paradoks Braessa dotyczy tylko pewnego zakresu ruchu. Nie występuje, gdy popyt na nową trasę jest niski, bardzo duży lub gdy odległości są małe. W dwóch pierwszych przypadkach budowa łącznika zmniejsza czas przejazdu. W trzecim różnice czasu przejazdu przestają mieć znaczenie.

Takie sytuacje spotyka się jednak w rzeczywistości. Najsłynniejsze przykłady pochodzą z opublikowanej w 2008 r. pracy „Price of Anarchy in Transportation Networks: Efficiency and Optimality Control” trojga autorów: Hyejin Youn, Michaela Gastnera i Hawoonga Jeong. Wskazali oni w kilku miastach drogi, które można zamknąć, aby skrócić przewidywany czas podróży. W Bostonie między Harvard Square do Boston Common znaleziono sześć takich ulic, w Londynie między stacjami metra Borrough i Farringdon siedem, a w Nowym Jorku między Washington Market Park i Queens Midtown Tunnel aż dwanaście.

W wielu miastach zaobserwowano też zmniejszenie ruchu po likwidacji arterii lub jego zwiększenie po ich budowie. Dwa najsłynniejsze przykłady pochodzę z Seulu i Nowego Yorku. W pierwszym przypadku w ramach renaturyzacji rzeki Cheonggyecheon usunięto autostradę, co przyśpieszyło ruch wokół miasta. W drugim – na próbę zamknięto Broadway na Times Square i Herald Square, co zaowocowało poprawą przepływu ruchu w okolicy, więc stworzono tam place na stałe.

Nie zawsze w takich okolicznościach przyczyną zmian jest tylko paradoks Braessa, ale można go potraktować jako precedens podważający nasze intuicje. Z naukowego punktu widzenia nie ma w tym nic paradoksalnego. Paradoksalne są raczej nasze siatki pojęć i wzorce myślenia, które przesłaniają konieczność namysłu nad stanem równowagi.