Hiperboliczna para spodni, cykloida i pierścienie boromejskie, czyli co ekscytuje matematyków

Zwykle, myśląc o kształtach, wyobrażamy sobie trójkąt, prostokąt albo nieco bardziej „wyszukane” figury – na przykład romb lub trapez. Tymczasem dla matematyków jest to ogromny wszechświat zadziwiających form – od jednowymiarowych pętli po politopy, czyli uogólnienie wielokątów i wielościanów na dowolną liczbę wymiarów.

Takimi formami są także powierzchnie – zbiory punktów stanowiących granice w przestrzeni 3D – które obejmują obszerny zbiór osobliwych obiektów matematycznych. Na tym placu zabaw matematycy prowadzą eksplorację, dokonują odkryć i stawiają pytania.

Niektórzy z nich preferują kształty związane z rzeczywistością, takie jak pierścienie boromejskie, kojarzące się z warkoczami, albo permutaedr (wielościan permutacyjny), który jest podstawowym kształtem kryształu zeolitu (materiału stosowanego m.in. w przemyśle). Inni faworyzują bardziej abstrakcyjne opcje, reprezentujące wyższe wymiary i pozornie oderwane od rzeczywistości.

Poprosiliśmy matematyków, aby wybrali swoje ulubione kształty lub powierzchnie i wyjaśnili, dlaczego uważają je za ekscytujące. Poniżej ich zredagowane opinie.

Pętla

Shintaro Fushida-Hardy Stanford University

Mój ulubiony kształt to pętla – okrąg pozbawiony wszelkich geometrycznych konkretów, będący jednowymiarowym obiektem o dowolnej formie. Przy pewnych założeniach może być uznany za jedyny jednowymiarowy obiekt. Podstawowe pytania w topologii (w uproszczeniu, dziedzina matematyki zajmująca się właściwościami obiektów, które nie zmieniają się, gdy obiekty te są deformowane) dotyczą klasyfikacji rozmaitości zamkniętych – to abstrakcyjne określenie tego, co „kształt” oznacza dla topologa. Co zaskakujące, mamy dobre wyobrażenie o tym, jak wygląda każda możliwa rozmaitość zamknięta, pod warunkiem, że jest jedno-, dwu-, trój-, pięcio- lub więcejwymiarowa, ale niewiele wiemy o tym, jak mogą wyglądać rozmaitości czterowymiarowe. W tym kontekście pętla jest jedyną jednowymiarową rozmaitością zamkniętą.

Pętla jest również wszechobecna w różnych działach topologii. Na przykład zapewne najważniejszym niezmiennikiem w topologii jest grupa podstawowa – struktura algebraiczna określająca, na ile sposobów pętla może zostać ściśnięta w przestrzeni. Z kolei teoria węzłów to obszerna dziedzina matematyki dotycząca sposobów formowania pętli w przestrzeni trójwymiarowej. Pętle wciąż są obiektami badań.

Dopełnienie węzła

Henry Segerman Oklahoma State University

Dopełnienie węzła obejmuje wszystko w przestrzeni trójwymiarowej, co nie jest węzłem. To obiekt topologiczny, a deformacja węzła jest równocześnie deformacją jego dopełnienia. Pod koniec lat 70. amerykański matematyk Robert F. Riley ustalił, że dopełnienie węzła ósemkowego, który jest elastycznym obiektem topologicznym, nie jest ściśle topologiczne. Stanowi obiekt geometryczny, a przy tym sztywny w tym sensie, że nie można zmienić jego geometrii – jest ona unikalna.

Riley wykazał, że dopełnienie węzła ósemkowego ma unikalną metrykę hiperboliczną (to określenie odnosi się do hiperboli, krzywej otwartej), a to oznacza, że po uwzględnieniu tej unikalnej metryki sensowne jest pytanie o objętość dopełnienia, która równa jest około 2,03 jednostki hiperbolicznej. Niedługo potem matematyk William Thurston z Princeton University znacznie rozszerzył odkrycie Rileya, wykazując, że właściwie prawie wszystkie węzły mają dopełnienie hiperboliczne. Spośród 352 152 252 węzłów pierwszych z maksymalnie 19 skrzyżowaniami – sklasyfikowanych przez Benjamina A. Burtona z University of Queensland w Australii – tylko 395 nie ma dopełnienia hiperbolicznego.

Określenie węzeł pierwszy wiąże się z liczbami pierwszymi, czyli takimi, które mają tylko dwa dzielniki naturalne – jedynkę i samą siebie. Podobna sytuacja występuje w przypadku węzłów. Węzeł jest pierwszy, jeśli nie jest złożony, czyli nie można go utworzyć, łącząc (sumując) przynajmniej dwa mniejsze węzły. W praktyce zazwyczaj obiektami zainteresowania są tylko węzły pierwsze, ponieważ rozdzielenie węzła złożonego na węzły pierwsze zawsze poprzedza jego analizę.

Hiperboliczna para spodni

Laura Monk University of Bristol, Anglia

Mój ulubiony kształt, nad którym często się zastanawiam, bywa nazywany hiperboliczną parą spodni. Jest to powierzchnia o kształcie spodni, co oznacza, że ma trzy składowe brzegowe (w pasie i przy kostkach) oraz genus 0 (brak „uchwytu” – takiego, jak przy kubku). Wyjątkowym czyni ten kształt to, że każdym trzem liczbom a, b, c można przypisać jedną i tylko jedną hiperboliczną parę spodni o długościach brzegowych a, b, c. Tak więc podobnie jak wiadomo, jak wygląda prostokąt o bokach długości 2 i 3,5, ma sens mówienie o konkretnej hiperbolicznej parze spodni o brzegach na przykład 1, 6 i 2,4.

Można się bawić i zszywać hiperboliczne spodnie. Łącząc dwie pary dżinsów wzdłuż pasa, wypada najpierw zdecydować, czy zapięcia znajdą się naprzeciw siebie, czy brzegi będą względem siebie obrócone – a jeśli tak, to jak duże powinno być to skręcenie; kąt skręcenia oznaczany jest przez tau (τ). Można skonstruować każdą powierzchnię hiperboliczną, zszywając ze sobą hiperboliczne spodnie i opisując całość długościami brzegowymi i kątami skręcenia poszczególnych składników. Dlatego hiperboliczne pary spodni są idealnymi wzorcowymi elementami w geometrii hiperbolicznej.

Politopy

Anastasia Chavez Saint Mary’s College of California

Kształty, do których często wracam w moich badaniach, są zarówno proste, jak i złożone. Proste to te, których dwuwymiarowe wersje poznajemy w szkole: trójkąty, kwadraty, 12-kąty i inne wielokąty wypukłe (wielokąt jest płaskim kształtem utworzonym z odcinków prostych; wielokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od 180°). Stają się złożonymi, gdy rozważa się ich więcejwymiarowe wersje, zwane politopami, i analizuje ich własności matematyczne oraz powiązania między nimi. Na przykład jeśli ktoś próbował zoptymalizować ograniczony układ liniowy (np. w celu minimalizacji czasu potrzebnego na zwrot rowerów elektrycznych do ich wypożyczalni), natknął się na politop. Jeśli można określić matematycznie jakieś położenie za pomocą współrzędnych 0 i 1, to otoczka wypukła punktów o tych współrzędnych (najmniejszy wypukły kształt obejmujący te punkty) stanowi politop. Przykładowo trzyelementowy zbiór podzbiorów o rozmiarze 2 tworzy trzy punkty o współrzędnych (1,1,0), (1,0,1) i (0,1,1), których otoczka wypukła jest trójkątem w przestrzeni trójwymiarowej. Takie podejście poszerza zakres możliwości analiz matematycznych i wzmacnia powiązania między różnymi dziedzinami matematyki. To, co wydaje się trudne do stwierdzenia w jakiejś dziedzinie, może okazać się łatwiejsze po skorzystaniu z politopów. Właśnie takie relacje między różnymi obszarami matematyki, a także badanie politopów jako samoistnych obiektów, sprawiają, że interesuję się tymi pozornie prostymi, ale w gruncie rzeczy skomplikowanymi kształtami.

Permutaedr

Andres r. Vindas melendez Harvey Mudd College

Kształt, który uważam za naprawdę ciekawy, znany jest jako permutaedr lub permutoedr. Jest to symetryczny wypukły politop o wielu specyficznych właściwościach.

Po pierwsze: wypukły kształt oznacza, że gdyby oznaczyć wewnątrz niego dwa dowolne punkty i połączyć je prostą, to linia ta zawsze znalazłaby się wewnątrz tego kształtu.

Po drugie: politop wypukły można sobie wyobrazić jako kształt z płaskimi bokami, który może istnieć w dowolnym wymiarze: zerowymiarowe politopy to punkty, jednowymiarowe – to odcinki, a dwuwymiarowe – to wielokąty. W trzech wymiarach mamy wielościany, a w ogólnym przypadku w dowolnym wymiarze d mamy d-politopy. Lubię myśleć o politopach wypukłych w trzech wymiarach jako o efekcie procesu, polegającego na „rzuceniu” w przestrzeń kilku punktów, a następnie owinięciu ich folią tak szczelnie, jak to możliwe. W rezultacie powstaje trójwymiarowy kształt z płaskimi bokami. W dwóch wymiarach punktami mogą być główki wbitych gwoździ owinięte gumką tworzącą wielokąt.

A czym jest permutaedr? Kształt zwany n-permutaedrem wiąże się z pojęciem permutacji. Jeśli mamy zbiór liczb {1, 2, 3}, możemy je ustawić w różnej kolejności: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), … itd. Te różne kolejności zwane są permutacjami. Kształt n-permutaedru obejmuje wszystkie możliwe sposoby ustawienia liczb od 1 do n (n – liczba całkowita dodatnia). Może być zdefiniowany jako wypukła otoczka wszystkich permutacji wektora (1,2,...,n).

Gdy n = 3, mamy sześć permutacji liczb {1,2,3}, które są wierzchołkami 3-permutaedru. Ważne jest, aby uwzględnić, że 3-permutaedr jest dwuwymiarową figurą umieszczoną w przestrzeni 3D. Wynika to z faktu, że wszystkie permutacje (postrzegane jako punkty w przestrzeni 3D) znajdują się na płaszczyźnie, gdzie x + y + z = 6, co powoduje obniżenie wymiaru politopu.

Innym przykładem jest przedstawiony na rysunku 4-permutaedr. Gdy n=4, mamy 4!=24 permutacje zbioru {1,2,3,4}, które są wierzchołkami 4-permutaedru – politopu 3D umieszczonego w przestrzeni 4-wymiarowej. Ten politop jest w istocie ściętym ośmiościanem o 14 ścianach (sześć kwadratów i osiem sześciokątów foremnych). Takimi ośmiościanami można szczelnie wypełnić przestrzeń 3D.

Federico Ardila-Mantilla San Francisco State University

Ten piękny symetryczny kształt występuje też w naszym otoczeniu. Chemiczka Juliana Velasquez Ochoa z University of Bologna wskazuje, że jest to podstawowy kształt kryształów zeolitu. W San Francisco Exploratorium znajduje się stos identycznych, jasnoczerwonych permutaedrów; bawiąc się nimi, łatwo stwierdzić, że pasują do siebie idealnie, idealnie wypełniając przestrzeń.

Jak umieścić 24 wierzchołki w przestrzeni, aby utworzyć permutaedr Π₄? Moim ulubionym sposobem jest umieszczenie ich w przestrzeni czterowymiarowej. Permutacji wierzchołków Π₄ z liczb 1,2,3,4 jest 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 – (1,2,3,4), (2,1,3,4), … , (4,3,2,1). Objętość permutaedru Π₄ wynosi 32 = 4^4–2Ö-4; wiemy to, ponieważ Π₄ jest „cieniem” sześcianu 4(4 – 1)/2 = 6-wymiarowego, a to umożliwia pocięcie permutaedru Π₄ na 16 = 4^4–2 identycznych części o objętości Ö-4.

Co najciekawsze, te zależności są prawdziwe w każdym wymiarze. Można po prostu podstawić dowolną wartość n zamiast 4. Wierzchołki permutaedru Π_n odpowiadają wszystkim możliwym permutacjom n obiektów. Tak więc gdy alfabetycznie układam prace dyplomowe moich 18 studentów kombinatoryki, mam przed sobą Π₁₈ w przestrzeni 18-wymiarowej.

Lubię permutaedr, ponieważ stwarza możliwość pięknych, efektywnych powiązań między geometrią, algebrą i kombinatoryką.

Powierzchnia potwór z Loch Ness

Marissa Kawehi Kocha University of Wisconsin–Madison

Dla mnie, osoby zajmującej się zawodowo badaniem powierzchni, wybór jednej ulubionej nie jest prosty. W moim środowisku żartobliwie uznaje się za lubianą przez wszystkich tę, której genus wynosi 2 (powierzchnia z dwoma otworami), ponieważ jest to powierzchnia hiperboliczna zamknięta o najniższym genusie, której rysunek pojawia się najczęściej na wykładach. Chociaż powierzchnia z genusem 2 jest pod pewnymi względami wyjątkowa, zdecydowałam się wybrać inną, z przeciwnego końca spektrum, której genus jest nieskończony, zwaną potworem z Loch Ness. Ta powierzchnia jest prawdopodobnie „najprostszą” z nieskończonych, ale jej grupa symetrii topologicznych znana jako grupa klas odwzorowań zawiera każdą policzalną grupę jako podgrupę.

Co więcej, istnieje pełna metryka hiperboliczna na powierzchni potwora z Loch Ness, której grupa izometrii (grupa symetrii geometrycznych) wynosi G wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą przeliczalną. Tak więc mimo że powierzchnia potwora z Loch Ness może wydawać się względnie prosta w bogatym spektrum powierzchni typu nieskończonego, wiąże się z nią kilka niezwykłych zjawisk, na które wskazali Tarik Aougaba z Haverford College, Priyam Patel z University of Utah i Nicholas G. Vlamis z Queens College w Nowym Jorku w artykule z 2021 roku zatytułowanym „Isometry Groups of Infinite-Genus Hyperbolic Surfaces”.

Rzeczywista przestrzeń rzutowa 2D

Kristen Hendricks Rutgers University

Jestem topologiem, więc pasjonuję się wieloma powierzchniami i kształtami, ale prawdopodobnie moją ulubioną powierzchnią rozumianą jako dwuwymiarowa rozmaitość (powierzchnia, która lokalnie ma własności przestrzeni rzeczywistej) jest RP², czyli dwuwymiarowa rzeczywista przestrzeń rzutowa. Ogólnie rzecz biorąc, RPⁿ jest zbiorem linii przechodzących przez początek (punkt zerowy) w RPⁿ⁺¹. Zatem dla RP² mamy wszystkie linie przechodzące przez początek w RP³ i możemy to traktować tak, jak wszystkie punkty na jednostkowej sferze – z tą różnicą, że jeśli dwa punkty znajdują się dokładnie naprzeciwko siebie, to uznajemy je za jednakowe, ponieważ znajdują się na tej samej linii przechodzącej przez początek. Tę powierzchnię można również przedstawić inaczej, korzystając ze wstęgi Möbiusa (pasek papieru raz skręcony ze sklejonymi końcami) i dysku. Oba te obiekty mają jako granicę lub krawędź okrąg. Jeśli skleimy te dwa okręgi graniczne, otrzymamy dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń rzutową.

Ta powierzchnia jest pierwszym krokiem do ważnej konstrukcji topologicznej, operującej równocześnie zbiorem linii we wszystkich przestrzeniach Rⁿ dla dowolnego wymiaru n (jest to równoważne zbiorowi linii w R∞). Ta przestrzeń, zwana RP∞, ma ścisłe powiązania z wieloma ciekawymi aspektami topologii, takimi jak operowanie dość abstrakcyjnymi niezmiennikami algebraicznymi przy mapowaniu w różnych przestrzeniach, badanie pól wektorowych na rozmaitościach i badanie zachowania się prostych symetrii w przestrzeniach.

Krzywe, które ukształtowały matematykę Williama w. S. Claytora

Asamoah Nkwanta Morgan State University

Chodzi o kształty, które odegrały kluczową rolę w klasycznej topologii. Topologicznym obrazem krzywej (kształtu) jest zbiór punktów płaszczyzny, spełniający określone równanie i mający skomplikowaną strukturę topologiczną.

Ilustracje pochodzą z artykułu polskiego matematyka Kazimierza Kuratowskiego z 1930 roku, w którym omawiane są kontinua Peana, czyli, ogólnie mówiąc, proste krzywe zamknięte na płaszczyźnie lub na euklidesowej sferze dwuwymiarowej. Prosta krzywa zamknięta jest krzywą ciągłą, nie przecinającą samej siebie i kończącą się w tym samym punkcie, w którym się zaczyna. Przykładami są okręgi, elipsy, kwadraty lub wielokąty foremne. Kuratowski udowodnił, że kontinuum Peana zawierające tylko skończoną liczbę krzywych zamkniętych jest homeomorficzne (równoważne topologicznie) z podzbiorem płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera obrazu topologicznego krzywej 1, ani krzywej 2. Generalnie, homeomorfizm wynika z ciągłej deformacji obiektu (kształtu) z zachowaniem podobieństwa formy.

William W. S. Claytor był trzecim Afroamerykaninem, który uzyskał doktorat z matematyki. W swojej rozprawie doktorskiej z 1933 roku Claytor opisał bardziej ogólny problem oparty na twierdzeniu Kuratowskiego z 1930 roku. Opis dotyczy „cech kontinuów Peana, które są homeomorficzne z podzbiorem powierzchni kuli”. Stanowi rozszerzenie przypadku płaszczyzny euklidesowej do euklidesowej 2-sfery, która przypomina piłkę, ponieważ jest pusta w środku. Claytor zaczął od badań krzywych 1 i 2. Kuratowski ograniczył kontinua Peana do tych, które zawierają tylko skończoną liczbę prostych krzywych zamkniętych, natomiast Claytor nie narzucił takiego ograniczenia.

Rys. górny na s. 40 jest „niedorobiony”. Brak na nim oznaczeń „krzywa 1” i „krzywa 2”. Poza tym (wbrew tekstowi) z artykułu Kuratowskiego pochodzi tylko górna i dolna część rysunku. Środkowa wygląda na wziętą skądinąd, dotyczącą innego twierdzenia Kuratowskiego – z teorii grafów.

3D analog węzłów wstęgowych

Christine Ruey Shan Lee Texas State University

Za szczególnie atrakcyjny uważam trójwymiarowy analog obiektów 4D zwanych węzłami wstęgowymi. Sposób wykonania takich obiektów jest następujący: weź skończony zbiór dysków, natnij w nich szczeliny, a następnie dodaj paski między dyskami, przechodzące przez te szczeliny. Jeśli powstały obiekt będzie miał jeden brzeg, wówczas będzie to dysk wstęgowy, a węzeł 3D, ograniczający taki dysk, jest węzłem wstęgowym. W przestrzeni 4D, którą postrzegamy jako otaczającą przestrzeń 3D, jest wystarczająco dużo miejsca, aby cofnąć konstrukcję i odzyskać dysk (bez szczelin). Dlatego węzeł wstęgowy jest przykładem najprostszego typu węzła w 4D, a proces tworzenia dysku wstęgowego jest sposobem 3D jego konstrukcji. Hipoteza plasterka-wstążki, główny otwarty problem w topologii niskowymiarowej, mówi, że każdy taki prosty węzeł w 4D wywodzi się z dysku wstęgowego. Uważam ten kształt za fascynujący, ponieważ jest to prosta konstrukcja, która leży u podstaw trudnego – i niemożliwego do pełnego zwizualizowania – procesu w przestrzeni 4D. Ponieważ w przestrzeni 4D jest więcej miejsca niż w 3D, zbiór punktów w 4D, który sam w sobie stanowi dysk, może być zbyt skomplikowany, gdy oglądamy jego projekcję w 3D.

Cykloida

Sarah Hart Birkbeck University of London

Najważniejsze koncepcje i obiekty matematyczne mają trzy cechy: są proste do zdefiniowania, mają piękne i zaskakujące właściwości oraz interesujący jest sposób ich uogólnienia. Moim zdaniem warunki te spełnia cykloida.

Ta krzywa jest odpowiedzią na pytanie: jaki kształt wyznacza punkt na obręczy toczącego się po drodze koła? A bardziej matematycznie: jak wygląda droga punktu na obwodzie koła, gdy toczy się ono po prostej? Powstającą w ten sposób krzywą Galileusz nazwał cykloidą. Fascynowało się nią wielu wybitnych matematyków (Marin Mersenne, Pierre de Fermat, René Descartes, Blaise Pascal, Isaac Newton). Jedną z pięknych właściwości cykloidy jest to, że pole pod jej łukiem jest trzy razy większe od pola generującego ją okręgu, a długość łuku jest cztery razy większa od średnicy tego okręgu.

Zaskoczeniem jest obecność cykloidy w innym kontekście. Chodzi o tzw. problem tautochrony, związany z poszukiwaniem takiej krzywej, po której masa punktowa stacza się pod wpływem siły grawitacji do najniższego punktu zawsze w tym samym czasie – niezależnie od punktu startowego na krzywej. Jedyną krzywą, która tak działa, jest odwrócona cykloida.

Podobny jest problem brachistochrony, który można opisać tak: mamy dwa punkty – A i B; jeśli A znajduje się wyżej niż B, to jaki kształt powinna mieć krzywa łącząca te punkty, aby masa punktowa staczała się po niej pod wpływem siły grawitacji w najkrótszym czasie? Odpowiedzią ponownie jest cykloida, a ściślej jej fragment. Interesująca jest także inna cecha związana z kryterium uogólniającym: jaki będzie efekt toczenia okręgu nie po linii, ale po okręgu? Tocząc okrąg na zewnątrz okręgu o tym samym promieniu, otrzymamy kardioidę, która pojawia się także w różnych miejscach – od centralnego regionu zbioru Mandelbrota (zestaw liczb, którego obrazem jest znany fraktal) przez profil dźwiękowy mikrofonu aż po dziwny wzór odbitego światła, pojawiający się na przykład w filiżance z kawą.

A co powstaje, jeśli linię wyznacza punkt na prostej toczącej się po okręgu lub innej krzywej? Wtedy efektem jest tzw. ewolwenta krzywej. Tutaj także cykloida pojawia się jako fenomen: to jedyna krzywa, która jest swoją własną ewolwentą.

Katenoida

Maria Soria Carro Rutgers University

Katenoida to fascynująca powierzchnia, która powstaje wtedy, gdy krzywa łańcuchowa (tworzy ją zaczepiony końcami zwisający łańcuch) obraca się wokół osi. Ta powierzchnia intrygowała matematyków ze względu na elegancki kształt i właściwości. Została odkryta w 1744 roku przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, który udowodnił, że katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni rozpiętych na dwóch okręgach. Ta właściwość jest najlepiej widoczna wtedy, gdy błona mydlana zostanie rozpięta między dwoma pierścieniami kołowymi. Co bardziej wyjątkowe, jest to minimalna powierzchnia obrotowa, jeśli pominąć płaszczyznę.

Od XVIII wieku krzywe łańcuchowe inspirują architektów, ponieważ związany z nimi rozkład sił powoduje, że ich kształt jest idealny jako wzorzec budowy łuków. Łuki łańcuchowe można znaleźć w wielu kościołach, katedrach oraz świeckich arcydziełach architektury. Przykładem jest La Pedrera w Barcelonie, budynek zaprojektowany przez Antonio Gaudiego. Wizjoner Gaudi wykorzystywał naturalną siłę i piękno krzywej łańcuchowej, stosując jej kształt w swoich projektach, aby tworzyć fascynujące estetycznie i użyteczne konstrukcje. Katenoida i krzywa łańcuchowa wciąż inspirują matematyków i architektów połączeniem użyteczności z elegancją.

Pierścienie boromejskie

Tara Brendle University Of Glasgow

Mój ulubiony kształt tworzą pierścienie boromejskie, ponieważ mają wiele pozornie sprzecznych cech. Trzy pierścienie są nierozerwalnie połączone, ale nie łączą się żadne dwa z nich. Są obiektem symetrycznym, ale nie można ich utworzyć z idealnych okręgów. Są piękne i bywają użyteczne.

Pierścienie boromejskie można również postrzegać jako „zamknięty” warkocz. W tym kontekście stanowią one najprostszy nietrywialny przykład tzw. warkocza Brunna, który przestaje być zapleciony, gdy tylko jedno pasmo zostanie wyciągnięte. Jest trudne, ale możliwe, splatanie warkoczy o takiej własności z czterech lub więcej pasm, ale najbardziej znanym jest ten Brunna – standardowy warkocz, z którego wywodzą się pierścienie boromejskie. Moje badania koncentrują się na symetriach powierzchni, a warkocze Brunna mają tu istotne znaczenie – powstają w strukturach algebraicznych, które modelują ruch punktów na płaszczyźnie.