Milion dolarów nagrody i wciąż brak rozwiązania. Najważniejsza zagadka współczesnej matematyki ma prawie 170 lat

W październiku 2024 roku uczestniczyłem w seminarium na Harvard University poświęconym zastosowaniu w matematyce sztucznej inteligencji. Zdaniem większości uczestników przyszłość matematyki nie jest zagrożona; raczej ekscytowano się zastosowaniem nowego narzędzia. Podczas jednej z przerw znalazłem się w grupie osób, które zgodnie twierdziły, że nie ma znaczenia, czy problem, którym się zajmują, rozwiąże człowiek, czy komputer. Chciałyby tylko poznać dowód.

„Więc naprawdę nie obchodzi was, czy hipotezę Riemanna rozwiąże człowiek czy AI?” – zapytałem i poczułem lekki dreszcz, gdy dostrzegłem uśmieszki i znaczące spojrzenia. Często czuję się niepewnie wśród matematyków.

„Sztuczna inteligencja, która potrafi udowodnić hipotezę Riemanna, to nie jest coś, z czym chciałbym mieć do czynienia – powiedział Andrew Sutherland, teoretyk liczb z Massachusetts Institute of Technology. – Jeśli tak się stanie, wówczas to, czy matematycy znajdą pracę, będzie naszym najmniejszym zmartwieniem”.

Rzuciłem pytanie i po jego zadaniu zacząłem się zastanawiać nad istotą tej matematycznej zagadki – tak skomplikowanej, że tylko potężna superinteligencja mogłaby ją rozwiązać.

Od czasu pierwszej publikacji w 1859 roku hipoteza Bernharda Riemanna dotycząca liczb pierwszych trafiała na każdą listę najważniejszych nierozwiązanych problemów w matematyce. W roku 1900 matematyk David Hilbert opracował taką listę wyzwań na wiek XX – wśród nich również znalazła się hipoteza Riemanna. Jednak do końca stulecia nic się nie zmieniło. W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya zaoferował milion dolarów nagrody za uporanie się z hipotezą Riemanna, czyniąc ją jednym z siedmiu tzw. Problemów Milenijnych – wyzwań na wiek XXI.

Hipoteza dotyczy funkcji bardzo skomplikowanej ze względu na trudność znajdowania danych wejściowych, prowadzących do konkretnego wyniku. Matematyków szczególnie interesuje, które liczby powodują, że wartość tej funkcji jest równa zeru. Pełna znajomość danych wejściowych dawałaby teoretykom liczb supermoc. W mgnieniu oka uzyskaliby bezprecedensową kontrolę nad „surowcem”, czyli liczbami pierwszymi. Byliby w stanie precyzyjnie określić rozmieszczenie liczb pierwszych na nieskończonej osi liczbowej. Przekształcenie hipotezy w twierdzenie miałoby dalekosiężne konsekwencje dla całej matematyki, m.in. związanej z kryptografią i fizyką jądrową.

Tymczasem mimo wyznaczanych nagród postęp w sprawie hipotezy jest znikomy. Jak twierdzi Alex Kontorovich, matematyk z Rutgers University, „właściwie nic się nie dzieje i nic nie wskazuje na to, aby cokolwiek miało się wydarzyć”. Prawie nikt się tym nie zajmuje. „Nie poświęcam temu zbyt wiele czasu, bo po prostu nie mam dobrego pomysłu, od czego zacząć” – mówi James Maynard, matematyk z University of Oxford.

Dlaczego?

Hipoteza riemanna zajęła centralne miejsce w matematyce ze względu na wysoki status liczb pierwszych. „Pytanie mnie o przyczynę zainteresowania matematyków liczbami pierwszymi jest trochę jak pytanie o powód zainteresowania fizyków siłami” – komentuje z lekką urazą Brian Conrad, matematyk ze Stanford University.

Fascynacja tymi liczbami trwa od tysięcy lat, od początków matematyki, która, oczywiście, zaczęła się od liczenia. Starożytni Grecy uważali liczby całkowite za najważniejsze i uczyli się, jak je łączyć, aby z mniejszych tworzyć większe. Można na przykład utworzyć zestaw 15 kamieni, licząc je trójkami. Jednak niektórych porcji kamieni, na przykład 17, nie da się uzyskać w ten sposób, czyli bez liczenia po jednym.

Grecy zdali sobie sprawę, że te „liczby pierwsze” są jak atomy – pierwotne, fundamentalne. Można utworzyć dowolną liczbę, która nie jest pierwsza, mnożąc przez siebie unikalną kombinację liczb pierwszych, zwaną jej „rozkładem na czynniki pierwsze”. Około 300 r. p.n.e. Euklides udowodnił, że na osi liczbowej istnieje nieskończenie wiele takich cegiełek. Nikt jednak nie potrafił zrozumieć, dlaczego znajdują się one tam, gdzie się znajdują. „Z jednej strony brzmi to dziwacznie – liczby pierwsze po prostu są jakie są. Albo liczba jest pierwsza, albo nie. Jednak jednym z najlepszych sposobów zrozumienia ich natury jest zwykle myślenie o nich jako o obiektach nieco losowych” – mówi Maynard.

W związku z tym matematycy skupili się na poszukiwaniu sensu wśród tej przypadkowości. W okresie oświecenia konstruowali ogromne tabele z rozkładami liczb na czynniki pierwsze, sięgające wartości tak dużych, jak to było możliwe przy wykorzystaniu żmudnych algorytmów. Pod koniec XVIII wieku studiowanie takich tabel było rozrywką nastolatka Carla Friedricha Gaussa, który odkrył w nich pewien porządek przez tysiąclecia wymykający się matematykom.

W przedziale od 0 do 100 jest 25 liczb pierwszych, ale od 1000 do 1100 już tylko 16. Im większe liczby obejmuje dany zakres, tym mniej z nich jest pierwszymi. Ma to sens, bo na przykład liczba 17 ma tylko 16 możliwości podziału jej na mniejsze liczby, podczas gdy 117 ma ich o 100 więcej do uniknięcia, więc „trudniej” jest jej być liczbą pierwszą.

Gauss obsesyjnie porównywał liczby liczb pierwszych w różnych przedziałach, dochodząc do trzech milionów. Zauważył, że ich spadek był kontynuowany i dla większych liczb stawał się bardziej przewidywalny. Studiując tabele, Gauss w końcu napisał równanie określające ten trend, czyli szacunkową liczbę liczb pierwszych w coraz większych zakresach liczb.

Później Gauss zajął się bardziej formalnymi i abstrakcyjnymi zagadnieniami obejmującymi całą matematykę i statystykę, ale w traktacie z 1801 roku podkreślił znaczenie liczb pierwszych, wykazując, że są one kluczem do wykonywania obliczeń w tzw. skończonych systemach liczbowych. Nie zdołał jednak udowodnić swojego pierwotnego przypuszczenia dotyczącego miejsc występowania liczb pierwszych. Zajął się tym w połowie XIX wieku jego uczeń, student teologii Uniwersytetu w Getyndze Bernhard Riemann, który uczęszczał także na wykłady Gaussa z teorii liczb (po roku studiów przeniósł się na wydział filozoficzny i całkowicie poświęcił matematyce).

Riemann sprzeciwiał się pozornej losowości liczb pierwszych i szukał w nich reguł. Takie podejście doprowadziło go do wyobrażenia sobie fikcyjnej maszyny matematycznej, która mogłaby precyzyjnie określać miejsce każdej liczby pierwszej. Poruszałaby się ona po osi liczb rzeczywistych, wybierając liczby pierwsze i pomijając resztę. Odkrył, że działanie takiej magicznej maszyny można opisać zależnością, którą nazwano funkcją zeta (lub dzeta) Riemanna. Funkcja zeta przyjmuje jako daną wejściową liczbę zespoloną, która jest sumą liczby rzeczywistej i składowej „urojonej”, a z kolei ta składowa stanowi iloczyn liczby rzeczywistej przez jednostkę urojoną równą pierwiastkowi kwadratowemu z liczby –1 oznaczanemu literą i.

Matematycy obrazują funkcję zeta, używając płaszczyzny „zespolonej” z osiami rzeczywistą i urojoną. Każdej liczbie zespolonej odpowiada na tej płaszczyźnie punkt o współrzędnych x i y, oznaczających wartości części rzeczywistej i urojonej. Po podstawieniu danej liczby do funkcji zeta Riemanna i obliczeniu złożonego równania otrzymujemy wynik: inną liczbę zespoloną. Zatem funkcja zeta Riemanna daje jedną wartość zespoloną dla niemal każdego punktu płaszczyzny zespolonej, a w niektórych szczególnych punktach jej wartość wynosi zero.

Riemann ustalił, że miejsca tych zer są kluczowe dla skonstruowania jego fikcyjnej maszyny. Zaczął od jej najprostszego prototypu, korzystając z hipotezy Gaussa, dotyczącej częstości występowania liczb pierwszych, która z grubsza określa, ile ich przypada na dowolny przedział osi liczbowej. Jednak rzeczywiste położenia liczb pierwszych nie do końca odpowiadały tej hipotezie (później matematycy udowodnili hipotezę Gaussa na podstawie koncepcji Riemanna). Były jakby rozproszone wokół hipotetycznych.

Ten pozornie przypadkowy rozrzut, czyli jakby błąd w prototypie maszyny, można było jednak opisać za pomocą zer funkcji zeta. Ściślej, rozrzut można było rozłożyć na nieskończoną liczbę odrębnych, oddziałujących na siebie fragmentów, tak jak zagrana nuta podlega podziałowi na składowe harmoniczne. Pozostając przy muzycznej analogii: każdy argument funkcji przy wyniku równym zero determinuje jedną z harmonicznych: jego część urojona wpływa na częstotliwość harmonicznej, a część rzeczywista na głośność, czyli moc, z jaką nuta jest grana. Odpowiedniki każdej z tych harmonicznych można uwzględnić w maszynie, aby zbliżyć ją do idealnej, której poszukiwał Riemann.

Znalezienie każdego zera funkcji zeta – określenie wysokości i głośności każdego dźwięku w tej muzyce liczb pierwszych – wskazałoby dokładne położenie wszystkich, w pełni ujawniając ich dźwiękowe bogactwo. Riemann wiedział jednak, że takie rozwiązanie jest poza zasięgiem. Zachowanie funkcji zeta było równie tajemnicze, jak same liczby pierwsze. Mimo to każde ustalenie dotyczące tych zer stanowiłoby znaczące uporządkowanie chaosu liczb pierwszych, większe niż dotąd znane matematykom.

W artykule z 1859 roku na temat hipotetycznej maszyny Riemann wysunął przypuszczenie, że części rzeczywiste dla każdego zera są takie same, równe ½. Różne są tylko części urojone. To pozwoliło umieścić je wszystkie jako punkty na płaszczyźnie zespolonej na jednej linii pionowej przecinającej oś x w punkcie ½. Współrzędną urojoną pierwszego takiego punktu było, jak przypuszczał Riemann, 14,13, a następnego 21,02.

Artykuł objaśniał hipotezę Riemanna: każde zero funkcji zeta trafia na „krytyczną” prostą, gdzie część rzeczywista wynosi dokładnie ½. Ta hipoteza znacznie zharmonizowała muzykę liczb pierwszych. Bez niej te liczby byłyby jak koncert bez dyrygenta, z kaskadą dźwięków granych z różnym natężeniem. „Hipoteza Riemanna głosi, że głośność wszystkich różnych instrumentów w orkiestrze liczb pierwszych jest dokładnie taka sama” – wyjaśnia Kontorovich.

Można się zastanawiać, dlaczego osobliwa funkcja na płaszczyźnie zespolonej jest tak silnie spleciona z elementami składowymi liczb całkowitych i dlaczego ta relacja jest analogiczna do składowych harmonicznych. Taka refleksja stanowi zaledwie ułamek zachwytu, jaki odczuwają matematycy, zastanawiając się nad hipotezą Riemanna. Matematycy czerpią radość z zaskakujących powiązań. Te powiązania wskazują bowiem na coś głębszego, ukrytego pod powierzchnią. Lauren Williams, matematyczka z Harvard University, stwierdziła ostatnio: „Moje badania stają się najbardziej ekscytujące, gdy odkrywam, że dwa obiekty matematyczne, które wydawały się nie mieć ze sobą nic wspólnego, okazują się jakoś powiązane. Wtedy próba zrozumienia przyczyny i istoty tego związku staje się fascynującą zagadką”.

Hipoteza Riemanna okazała się źródłem zaskakujących powiązań w różnych działach matematyki i poza nią, na przykład w fizyce. W 1972 roku fizyk Freeman Dyson z Institute for Advanced Study w Princeton dowiedział się od znajomego matematyka o odkrytych przez niego dziwnych prawidłowościach związanych z funkcją zeta. Dyson natychmiast zauważył, że pasowały one idealnie do teorii, którą opracował dla poziomów energetycznych jąder atomowych. Niespodziewanie pomogło to rozwiązać pewien problem matematyczny, ale przyczyna tej zbieżności do dziś pozostaje zagadką. Hipoteza Riemanna pojawiła się później w modelowaniu ruchów Browna, teorii chaosu, a nawet w teorii czarnych dziur.

Matematycy nie czekali na dowód, aby wykorzystać ogromną moc hipotezy Riemanna. „Powstały setki prac naukowych dowodzących, że coś jest prawdą, jeśli HR jest twierdzeniem, choć od dawna zakłada się, że HR właśnie twierdzeniem jest” – mówi Kontorovich. Wykorzystanie tej hipotezy jako punktu wyjścia w zakresie teorii liczb pierwszych znacznie poszerza możliwości matematyka. Muzyka tych liczb przechodzi od chaotycznej do uporządkowanej, gdy nagle jedyną niewiadomą pozostają części urojone zer.

Hipoteza Riemanna zainspirowała wiele analogii, którymi posługują się matematycy. Z różnego rodzaju obiektami matematycznymi, od prostych równań po wielowymiarowe figury, związane są tzw. funkcje L, które opisują niektóre ich właściwości w taki sposób, w jaki funkcja zeta opisuje liczby pierwsze. Każda funkcja L ma specjalną linię krytyczną, taką jak x = 1/2 dla funkcji zeta. Jeśli jej zera leżą na tej linii, to analizowany obiekt staje się bardziej zrozumiały i przewidywalny.

Później pojawiła się postulowana przez matematyków „uogólniona hipoteza Riemanna”. Skoro wszystkie zera funkcji L leżą w najbardziej naturalnym dla nich miejscu, to zakres wiedzy matematycznej, który dzięki temu możemy zyskać, jest nieskończenie większy. Zatem w pewnym sensie matematycy wiedzą już wiele z tego, co uwolniłoby udowodnienie hipotezy Riemanna – to już jest w literaturze, czeka tylko na ten jeden kluczowy dowód.

Gdzie więc szukać tego dowodu? „Na przestrzeni lat pojawiło się kilka dobrych pomysłów, ale żaden nie sięgnął sedna sprawy; wszystkie szybko straciły impet” – zauważa Andrew Granville, matematyk z University of Montreal.

Dwa lata temu dwóch znanych matematyków, James Maynard z Oksfordu i Larry Guth z MIT, dokonało największego przełomu dotyczącego hipotezy Riemanna. Wcześniej było dowiedzione tylko to, że żadne z miejsc zerowych nie znajduje się zbyt daleko od prostej krytycznej. Ale takie określenie granicy nie zmieniało się tak długo, że zaczęto sądzić, iż nie da się go uściślić. „Właściwie uważałem, że musi być jakiś ukryty powód takiego stanu” – mówi Granville.

Opracowując zupełnie nowe techniki w teorii liczb, Maynard i Guth zdołali zacieśnić tę granicę, choć tylko nieznacznie. „To badacze należący do najwybitniejszych w swojej specjalności, ale nawet oni nie sięgnęli zbyt daleko” – zauważa Granville. „Nie sądzę, by nasza praca zmierzała w dobrym kierunku, jeśli chodzi o udowodnienie hipotezy Riemanna; uważam, że stanowi raczej potwierdzenie naszej bezradności wobec tej hipotezy” – stwierdza Maynard.

W pewnym sensie ta bezradność sprawia, że jest to równocześnie najbardziej i najmniej popularna hipoteza matematyczna. Naukowcy koncentrują swoje wysiłki na optymalnych problemach: dostatecznie trudnych (biorąc pod uwagę znane metody), aby zachęcały do rozwiązywania, a jednocześnie wystarczająco łatwych, aby liczyć na postęp.

Dla Maynarda brak jasnej drogi do rozwiązania hipotezy Riemanna jest jednym z powodów, dla których problem ten jest tak ważny. To wskazówka, że niezależnie od tego, jaka to droga, do rozwiązania prowadzi tylko podejmowanie wielu nowych prób. „Myślę, że jest bardzo dobry powód tego, aby hipoteza Riemanna była prawdziwa – to po prostu fakt, że nie mamy pojęcia, jaki to powód” – uważa Maynard. Dowód hipotezy przyniósłby wiele różnych dalekosiężnych następstw – ujawnienie tajemnic liczb, co otworzyłoby niezliczone matematyczne drzwi. To właśnie ukryta treść tego mitycznego dowodu kusi matematyków tak, że oddaliby swoją autonomię dużemu modelowi językowemu, aby tę treść dostrzec. „Zrozumienie dowodu, pochodzącego skądkolwiek – od kosmity, Boga lub sztucznej inteligencji – byłoby dla mnie superekscytujące” – podsumowuje Maynard.