Zamiast słów, czyli o krzyżowaniu liczb

Przed niespełna 100 laty zaczęła się epoka krzyżówek. Wprawdzie zagadki z wpisywanymi do diagramów poziomo i pionowo słowami pojawiały się w prasie także wcześniej, nawet w połowie XIX wieku, ale dopiero od wydania w roku 1924 przez nowojorską oficynę Simon and Schuster zbiorku takich zadań można mówić o ich popularności. W ciągu zaledwie paru miesięcy krzyżówkowym wirusem została wówczas zainfekowana większość wydawanych na świecie gazet i czasopism. Efektem tej epidemii była ogólniejsza moda na różnego rodzaju rozrywki umysłowe – niektóre w stylu retro, jak rebusy czy szarady, inne nowsze, na przykład quizy lub zadania logiczne. Wśród nowych znalazły się także krzyżówki liczbowe.

Pomysł wpisywania w kratki cyfr tworzących liczby zamiast liter, składających się na słowa, trudno uznać za odkrywczy, zwłaszcza że początkowo objaśnienia były typowo krzyżówkowe i dość sztampowe – zaczynały się zwykle od „ile”, „tyle”, „liczba” lub „numer”. Na przykład: „ile stron ma to czasopismo”, „tyle lat trwała wojna stuletnia”, „liczba dzieci ojca Wergiliusza”, „numer domu Sherlocka Holmesa przy Baker Street” itp. Równocześnie w prasie gościły nie mniej trywialne krzyżówki arytmetyczne, których „objaśnieniami” były działania, a do diagramu wpisywało się wynik, przypominały więc szkolne ćwiczenia rachunkowe. Co prawda nie zawsze obliczenie wyniku było proste, a w ambitniejszych przykładach objaśnienia stanowiły krótkie, niełatwe zadania. Dopiero jednak na początku lat 30. pojawiły się krzyżówki liczbowe z wyższej półki, które można uznać za łamigłówki arytmetyczno-logiczne. Ich specyficzną cechą i zaletą jest to, że krzyżują się w nich nie tylko liczby w diagramie, ale także objaśnienia liczb. „Krzyżowania się” objaśnień, które może być pośrednie lub bezpośrednie, nie należy oczywiście rozumieć dosłownie, chodzi bowiem o powiązanie między obiektami matematycznymi, których te objaśnienia dotyczą. Przykładem mikrokrzyżówka z dwu wyrazów-liczb (rys. 1).

Gdyby objaśnienia brzmiały następująco: A) iloczyn dwóch kolejnych liczb pierwszych; B) iloczyn dwóch kolejnych kwadratów – to „krzyżowanie się” objaśnień byłoby pośrednie, bo każde określa odrębny, „pośredniczący” zbiór liczb i z każdego należy wybrać jedną liczbę – taką, by obie wybrane miały odpowiednią wspólną cechę. W tym przypadku, co wynika z diagramu, chodzi o identyczność drugich cyfr liczb 3-cyfrowych. Po określeniu zbiorów: a) {143, 221, 323, 437, 667, 899}, b) {144, 400, 900} – wybór jest prosty i jednoznaczny: A=143, B=144, czyli wpisywane do diagramu liczby są, podobnie jak w objaśnieniach, także kolejne, tyle że kolejne naturalne. Czy równie łatwo uporać się z minikrzyżówką na rys. 2, której cztery objaśnienia także krzyżują się pośrednio i są następujące:

A) sześcian

B) piąta potęga

C) szósta potęga

D) czwarta potęga

Potęgi w objaśnieniach krzyżówek, zwłaszcza kwadraty i sześciany, można uznać za standard. Trudno znaleźć zadanie, w którym by nie występowały, i nie brak krzyżówek, w których panują niepodzielnie. Na rys. 3 jest inny przykład przez nie zdominowany.

Tym razem wiadomo tylko, jakie osiem potęg powinno trafić do diagramu: dwa kwadraty oraz po jednej potędze trzeciej, piątej, szóstej, siódmej, dziewiątej i dwunastej. Samemu trzeba jednak ustalić, w których rzędach te potęgi się pojawią. Przy rozwiązywaniu takich i podobnych „potężnych” zadań przydaje się zamieszczona poniżej tabela, w której podano, ile jest k-cyfrowych liczb (dla 2≤k≤7), będących n-tymi potęgami (dla 2≤n≤12). Jak widać, najmniejsza dwunasta potęga jest jedna – 4-cyfrowa, zaś dziewiąta także jedna – 3-cyfrowa, a 4-cyfrowej brak. Stąd wniosek, że do diagramu na rys. 3 muszą trafić liczby 4096=2¹² i 512=2⁹ oraz 128=2⁷ lub 2187=3⁷ i 64=2⁶ lub 729=3⁶ (pomijamy 4096=4⁶, bo jego obecność jest obowiązkowa w roli dwunastej potęgi). Jeśli uwzględnimy jeszcze pięć piątych potęg kandydujących do diagramu (32, 243, 1024, 3125, 7776), to rozwiązywanie sprowadzi się do „żonglowania” 11 liczbami tak, aby pięć z nich wpasować w diagram i dopełnić trzema innymi – sześcianem i dwoma kwadratami. Przy operowaniu parzystymi n-tymi potęgami warto oczywiście zawsze uwzględniać także ich końcówki, których zakres jest ograniczony. Gdy n = 4m – 2 (m≥1), to ostatnią cyfrą liczby może być tylko 0, 1, 4, 5, 6 lub 9, zaś gdy n = 4m, końcowa cyfra musi należeć do mniejszego zbioru – 0, 1, 5 lub 6.

Drugi rodzaj objaśnień w krzyżówkach liczbowych zwany jest bezpośrednim, ponieważ każde objaśnienie odnosi się wprost do liczby, której dotyczy inne objaśnienie. Tak właśnie jest w miniaturze na rys. 4.

Poziomo:

A) dzielnik C

C) wielokrotność A_pion

Pionowo:

A) liczba inna niż A_poz

B) ?

Znak zapytania przy B oznacza, że podawanie tego objaśnienia nie jest konieczne. Droga do rozwiązania jest tym razem nieco pokrętna. Sprowadza się do znalezienia 2-cyfrowej liczby xy, która ma dwa różne dzielniki 2-cyfrowe, zaczynające się taką samą cyfrą z, a drugą cyfrą jednego z tych dzielników jest x. Poszukać warto.

Na rys. 5 znajduje się większa krzyżówka, której wszystkie podane objaśnienia są bezpośrednie.

Poziomo: Pionowo:

A) L – Ł A) ?

C) ? B) D + E

E) ? C) 8 × I

F) kwadrat A_pion D) A_poz + L

G) ? F) G + H

J) 5 × E H) ?

L) 2 × C_poz I) ?

Ł) ? K) dzielnik B

Przy takiej, jak na rys. 5 wielkości diagramu, którą wypada uznać za optymalną, uwidacznia się istotny element procesu rozwiązywania krzyżówek liczbowych – chodzi o znalezienie punktu zaczepienia, czyli miejsca startu, umożliwiającego ulokowanie w jakiejś kratce konkretnej cyfry albo przynajmniej zakresu cyfr. W związku z tym na początku – inaczej niż w krzyżówkach słownych – należy uważnie prześledzić wszystkie objaśnienia. Korzystniej jest oczywiście, jeżeli uda się znaleźć więcej niż jeden „zarodek” i wpisać na starcie kilka cyfr lub nawet całą liczbę. W powyższej krzyżówce nietrudno zauważyć, iż startowymi są objaśnienia C_pion i L, z których wynika, że I=11, a C_pion=88 lub 96. Dalszą drogę warto pokonać samodzielnie, choć zapewne nie będzie to łatwe.

Z reguły krzyżówki liczbowe zawierają oba rodzaje objaśnień, a w ramach każdego rodzaju różnych sposobów określenia liczby lub zależności między liczbami jest bardzo dużo, choć niektóre z nich występują częściej niż inne. Do często pojawiających się sposobów pośrednich należą poza potęgami: liczba pierwsza, parzysta lub nieparzysta, trójkątna, palindrom, podzielna przez x, suma cyfr, wielokrotność x lub wskazanie na określoną zależność między cyframi tworzącymi liczbę (np. każda następna jest większa od poprzedniej). Możliwości objaśnień bezpośrednich jest znacznie więcej, poczynając od występujących najczęściej, opartych na podstawowych działaniach arytmetycznych. Mikroprzykład, zawierający oba te rodzaje, znajduje się na rys. 6. Suma cyfr każdej z czterech splecionych w nim różnych liczb jest kwadratem, zaś suma wszystkich tych czterech kwadratów stanowi połowę kwadratu; ponadto B = A_poz + A_pion. Tę miniaturę, o czym warto samemu się przekonać, wyróżnia ładna, dość prosta logika. Większe i trudniejsze są kończące ten artykuł zadania konkursowe.

Krzyżówki liczbowe goszczą czasem w publikacjach z rozrywkami umysłowymi, ale generalnie należą do zadań niszowych i w polskiej prasie bardzo trudno na nie trafić. Właściwie ich ostatnią ostoją była dawno temu rubryka „Rozkosze łamania głowy” na łamach Życia i Nowoczesności, redagowana w latach 70. najpierw przez Lecha Pijanowskiego, a potem przez grupę zapaleńców. Na świecie ich popularności przez dłuższy czas nie sprzyjała lansowana przez wytrawnych główkołamaczy moda na duże, skomplikowane zadania. Dopiero w latach 90. ten trend się odwrócił i w kilku krajach (Holandia, Anglia, Niemcy, Japonia) czasopisma zaczęły zamieszczać małe krzyżówki liczbowe formatu mniej więcej takiego, jak pokazana na rys. 5, które zainteresowały spore grono czytelników. Dostrzeżono również ich walory edukacyjne, dzięki czemu trafiły do podręczników i zbiorów zadań dla szkół podstawowych i średnich. Sporą renomą cieszą się u naszych sąsiadów za Odrą; zamieszcza je m.in. popularny tygodnik Die Zeit, a w ogólnokrajowym konkursie informatycznym dla młodych talentów drugie miejsce zajął program do rozwiązywania takich zadań.

Za sprawą krzyżówek liczbowych w matematyce rekreacyjnej pojawiły się też nowe obiekty – liczbowe prostokąty familijne. Każdy z nich jest prostokątną tzw. białą krzyżówką (bez czarnych pól lub tzw. przerywników, rozdzielających liczby) z krzyżującymi się w diagramie różnymi liczbami, należącymi wyłącznie do jednej „familii”, czyli do tego samego zbioru. Zbiór tworzą zwykle liczby, z których wybieranie odpowiednich do tworzenia prostokątów familijnych stanowi swego rodzaju wyzwanie, adresowane głównie do programistów. Przykładowy rezultat uporania się z takim problemem przedstawiony jest na rys. 7. Do jakiego zbioru należy siedem liczb tworzących ten prostokąt (105, 253, 300, 351, 1035, 3321, 5050) – to niełatwa zagadka. Odpowiedź brzmi: każda jest liczbą trójkątną t, czyli sumą k kolejnych początkowych liczb naturalnych. Aby obliczyć kolejność danej liczby w ciągu, a tym samym ustalić, na jakiej skończyło się dodawanie, należy skorzystać ze wzoru: k = (√(8+1) –1)/2. Prostokąt na rys. 7 jest na razie największym znanym utworzonym z liczb trójkątnych, ale poszukiwania trwają. Bardziej owocne okazały się efekty poszukiwań prostokątów familijnych z kwadratów (drugich potęg). Wszystkie dotychczasowe „znaleziska” znajdują się na rys. 8. Może komuś z Czytelników uda się powiększyć tę obfitującą w zera kolekcję.

Zadania

Zadaniami są dwie krzyżówki liczbowe. Żadna liczba nie zaczyna się zerem. Jako rozwiązanie każdej krzyżówki wystarczy podać sumę cyfr, które znajdą się w pięciu żółtych polach.

1.

Poziomo:

B) piąta potęga

D) czwarta potęga

F) H_pion – C

H) A + C

I) liczba pierwsza

K) palindrom (pierwsza i trzecia cyfra są jednakowe)

Ł) kwadrat

M) A + F.

Pionowo:

A) kwadrat

B) ?

C) liczba pierwsza

E) sześcian

G) liczba pierwsza

H) palindrom (pierwsza i trzecia cyfra są jednakowe)

I) D + E

J) B_poz + C + E

L) liczba pierwsza.

2.

Poziomo:

A) parzysta wielokrotność S

G) L + najmniejsza liczba z 12 dzielnikami (wliczając w to 1 i samą liczbę)

I) ?

K) suma cyfr = 5

Ł) M – 1

M) kwadrat

N) R – O

P) I + kwadrat, który jest sumą dwóch dwucyfrowych kwadratów

R) druga cyfra jest sumą pozostałych

T) kwadrat G.

Pionowo:

B) I + 10 × M

C) 2 × Ł

D) J po przestawieniu cyfr

F) (G – 2) podniesione do kwadratu

H) B × C

J) pierwsza cyfra jest sumą pozostałych

L) I + C

O) trzy kolejne cyfry, ale nie w kolejności rosnącej

P) N + druga cyfra M

S) druga cyfra jest taka, jak trzecia cyfra R.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 06/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej jednego zadania wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Sześć niemożliwych rzeczy. Kwanty ukojenia i tajemnice subatomowego świata Johna Gribbina ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru kwietniowego

1. Wielkości rozdzielonych dominami obszarów, zajętych przez poszczególne figury, wynoszą: król – 4 pola, hetmany – 23, wieże – 19, skoczki – 14, gońce – 6 (rys. 9).

2. Domina zajmują 6 pól na przekątnych diagramu (rys. 10).

3. 12 pól na przekątnych diagramu zajętych jest przez domina (rys. 11).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Thomasa Morrisa Tajemnica eksplodujących zębów oraz inne ciekawostki z historii medycyny ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Aleksandra Barbacka z Poznania, Andrzej Pokrzywa z Pomiechówka, Elżbieta Sosnowska z Łodzi, Adam Szczapiński z Włocławka, Aleksandra Świerczek ze Skawiny.