Szczęśliwe jedynki, czyli po kwadratach do cykli
Początek wygląda jednoznacznie: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … . Gdyby poprosić kogoś o kontynuowanie tego ciągu, niemal na pewno pojawiłyby się następne kwadraty. Tymczasem po dziesiątym wyrazie następuje niespodzianka: …, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, … . Jak więc widać, chodzi o coś innego niż podnoszenie do kwadratu kolejnych liczb. Zasada budowy ciągu jest bardziej wyszukana: każdy wyraz stanowi sumę kwadratów cyfr tworzących kolejną liczbę naturalną. Tak opisany ciąg wiedzie ku… szczęściu, a droga zaczyna się od jego ciekawych własności.
Przerywana szara linia na wykresie ciągu (rys. 1) – czyli graficznym przedstawieniu zależności między liczbami naturalnymi n a odpowiadającymi im wyrazami an – wyznacza miejsca zarezerwowane dla punktów stałych, tzn. takich, dla których an=n. Takie punkty są tylko dwa – dla n=0 i n=1. Pozostałe wartości an są większe lub mniejsze od n, ale opierając się wyłącznie na wykresie, można postawić hipotezę, że 99 to największa liczba, która jest mniejsza od sumy kwadratów swoich cyfr (162). Innymi słowy, poczynając od n=100, a więc dla liczb co najmniej trzycyfrowych (k≥3), każde an jest mniejsze od n. W ogólnym przypadku jeśli 10k-1≤n<10k, gdzie k>3, to an≤81k<10k-1. Nierówność 81k<10k-1 dla k>3 łatwo udowodnić, korzystając z indukcji. Nieco inaczej wygląda dowód, że an<n dla trzycyfrowych n (k=3). Gdy pierwszą cyfrą trzycyfrowej liczby jest p>1, to an<p2+2×81<100p≤n dla 2≤p≤9. Jeśli zaś p=1, a drugą cyfrą jest d, wtedy an<1+d2+81<100+10d≤n dla każdego d. Ponieważ kolejność cyfr liczby n nie wpływa na sumę, więc różnica między n a odpowiadającym jej an może być różna – przy k≥3 jest najmniejsza, gdy każda kolejna cyfra liczby n jest nie mniejsza od poprzedniej.
Teraz warto cofnąć się na chwilę o jeden stopień – do sumowania samych cyfr zamiast ich kwadratów. W tym prostszym działaniu każda suma jest mniejsza od swojej liczby, a stąd tylko krok do iteracji ISC, polegającej na sumowaniu cyfr tworzących kolejne sumy. Finał takiej serii działań stanowi liczba jednocyfrowa zwana ostateczną sumą cyfr (OSC). Na przykład dla 379 droga do OSC jest trzyetapowa:
379→19→10→1
Wracając do kwadratów, można zapytać o iteracyjną drogę sumy kwadratów cyfr (ISKC) tej samej liczby, czyli od 379, do ewentualnej ostatecznej sumy (OSKC). Ewentualnej, bo konkretna liczba nie musi być teraz jedynym możliwym zakończeniem iteracji. Droga będzie dwukrotnie dłuższa:
379→139→91→82→68→100→1
Finał okazuje się identyczny jak OSC. I jest to oczekiwana chwila szczęścia, bowiem liczby, których OSKC równa jest 1, zwane są „szczęśliwymi” (po polsku także „wesołymi”). Takie określenie zaproponował Donald Duncan, nauczyciel matematyki w jednej z amerykańskich szkół średnich, w artykule zamieszczonym w czasopiśmie Mathematics Teacher w 1972 roku. Uzasadnieniem określenia była… numerologia. Zastępując litery tworzące jakieś słowo odpowiednimi liczbami – zgodnie z tabelą numerologiczną (rys. 2; znaki diakrytyczne nie zmieniają wartości liter) – i sumując wszystkie liczby, a następnie wykonując ISKC wyniku, można stwierdzić, czy dane słowo lub jego desygnat przynoszą szczęście. Sprawdźmy działanie tego procesu dla liczb (liczebników) SIEDEM i TRZYNAŚCIE, o których wiadomo, że tradycyjnie kojarzą się: pierwsza – ze szczęściem, druga – z pechem.
S+I+E+D+E+M=1+9+5+4+5+4=28
28→68→100→1
T+R+Z+Y+N+A+Ś+C+I+E=2+9+8+7+5+1+1+3+9+5=50
50→25→29→85→89→145→42→20→4→16→37→58→89→…
Okazuje się, że numerologia działa – SIEDEM osiąga szczęśliwą jedynkę, a Trzynaście wpada w pechowy cykl, który Duncan nazwał przewrotnie wesołym (cheery). Natomiast bez literowej numerologii szczęśliwe są zarówno 7, jak i 13: 7→49→97→130→10→1; 13→10→1.
Oba zakończenia procesu ISKC – jedynka lub ośmioliczbowy cykl – opisał po raz pierwszy w roku 1945 na łamach American Mathematical Monthly Arthur Porges, matematyk szerzej znany z… opowiadań sensacyjnych i science fiction (kilka ukazało się w antologiach wydanych w Polsce).
Jak sprawdzić, czy poza tymi dwoma cyklami (jedynka także stanowi cykl – jednoetapowy) możliwe jest pojawienie się innego cyklu? Pierwszy sposób zaczyna się od sporządzenia listy liczb jedno- i dwucyfrowych wraz z sumami kwadratów ich cyfr i wędrowania od każdej do jej „następczyń” aż do sporządzenia pełnego planu tras. W drugim sposobie startowymi jest dziewięć liczb z dwóch znanych finalnych cykli, po czym następuje wędrówka od każdej wstecz, uwzględniająca wszystkie jedno-, dwu-, a także kilka trzycyfrowych poprzedniczek. Oba sposoby są dość żmudne, nawet jeśli w przypadku drugiego uwzględniać własności liczb związane z warunkami, jakie muszą spełniać, aby można je było przedstawić w postaci sumy dwóch lub trzech kwadratów. Efekt zastosowania drugiego sposobu przedstawiony jest na rys. 3. Uwzględnione są na nim dwa schematy: mniejszy górny – liczb szczęśliwych i większy – pechowych w zakresie od 1 do 99 oraz te trzycyfrowe, które mogą powstać w wyniku iteracji dwucyfrowych.
Jest także trzeci nieco bardziej elegancki sposób, a właściwie dowód, że nie ma innych cykli w procesie ISKC poza dwoma podanymi – jednak zbyt obszerny, aby go tu przedstawić; znajduje się w zbiorze autorstwa Hugona Steinhausa 100 zadań. Książka ukazała się w roku 1958 (zawierała zadania wcześniej publikowane w miesięczniku Matematyka), więc temat sumowania kwadratów cyfr był w niej poruszony drugi raz – po artykule Porgesa; dzięki licznym jej przekładom omawiane zagadnienie znane jest w niektórych krajach jako problem Steinhausa.
Liczby szczęśliwe trafiły z gabinetu osobliwości matematycznych pod skrzydła dostojnej teorii liczb w roku 1994 po uwzględnieniu ich w kolejnym wydaniu fundamentalnego dzieła Richarda Guya Unsolved Problems in Number Theory. Zgodnie z tytułem autor postawił kilka pytań i hipotez stanowiących wyzwanie dla matematyków.
Do 100 dokładnie 1/5 stanowią liczby szczęśliwe: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, … . Dalej pojawiają się one nieco rzadziej, więc szacunkowo szczęście obejmuje około 1/7 liczb naturalnych, ale jednak jest nieskończenie duże, bo każda liczba postaci 10n jest szczęśliwa (a każda 2×10n pechowa, gdyż wiedzie ku 8-cyfrowemu cyklowi). Ciągowi liczb szczęśliwych odpowiada ciąg ich wysokości: 0, 5, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 3, 1, … . Wysokość równa jest liczbie etapów iteracji prowadzących do jedynki. Sześciu etapów wymaga dopiero 356, siedmiu – 78 999, a więcej etapów pojawia się przy liczbach astronomicznych, począwszy od ośmioetapowej złożonej z blisko tysiąca cyfr, z których tylko kilka nie jest dziewiątkami. Pytanie, na które dotąd nie znaleziono odpowiedzi, dotyczy odstępów między kolejnymi liczbami, a konkretnie – jaki jest największy? O odpowiedź niełatwo, bo brak jest reguły, jak choćby w przypadku liczb pierwszych, że większe odstępy trafiają się między większymi liczbami. Nie ma więc pewności, czy dotychczasowy rekord – różnica 43 między 144 164 a następną 144 207 – zostanie kiedykolwiek pobity. Pewne jest natomiast, że odstęp równy 1 może występować między dowolną liczbą kolejnych liczb szczęśliwych. Inaczej mówiąc, szczęśliwym może być dowolnie długi ciąg liczb naturalnych, co udowodnili w roku 2000 dwaj matematycy arabscy Esam El-Sedy i Samir Siksek. Liczby w takich ciągach, zaczynając od sześciowyrazowego, są oczywiście coraz bardziej gigantyczne. Pięciowyrazowy jest ostatnim kwalifikującym się do przedstawienia: 44 488, 44 489, 44 490, 44 491, 44 492 – nietrudno sprawdzić, że ISKC każdej z tych liczb zmierza do jedynki.
Temat liczb szczęśliwych doczekał się uogólnienia na dwa sposoby. Pierwszy uwzględnia większe od dwójki wykładniki potęgowanych cyfr, drugi – inne niż dziesiętny systemy liczbowe. Przy wyższych potęgach liczby szczęśliwe wyraźnie ustępują miejsca pechowym – pojawia się więcej cykli, choć przy każdej szczęśliwymi pozostają oczywiście liczby postaci 10n. Na przykład dla sześcianów są oprócz jedynki cztery cykle jednoetapowe – 153, 370, 371 i 407 (suma sześcianów cyfr każdej liczby równa jest tej liczbie), dwa dwuetapowe – 136→244→(136), 919→1459→(919) oraz dwa trzyetapowe – 55→250→133→(55), 160→217→352→(160). W przypadku innych systemów liczbowych na uwagę zasługują dwójkowy i czwórkowy, bo rozkwita w nich pełnia szczęścia, czyli szczęśliwa jest każda liczba.
Na koniec warto przypomnieć jedną z początkowych scen siódmego odcinka trzeciej serii serialu Doktor Who, zatytułowanego 42 (polski tytuł 42 minuty). Aby otworzyć drzwi do maszynowni statku kosmicznego, należało odgadnąć i wpisać na klawiaturze zamka szyfrowego kolejny wyraz ciągu: 313, 331, 367, … . Doktor Who odgadł oczywiście natychmiast, że jest to fragment ciągu liczb pierwszych szczęśliwych. Kluczem otwierającym drzwi musiała być więc liczba… Jaka? Zostało 30 minut, by uratować statek przed katastrofą.
Zadania
1. Ile jest trzycyfrowych liczb pierwszych o następującej własności: suma kwadratów cyfr tworzących liczbę jest kwadratem?
2. Suma kwadratów cyfr liczby K złożonej z czterech różnych cyfr wynosi 62, zaś suma czwartych potęg tych cyfr równa jest K. Jaka to liczba?
3. Do pól minikrzyżówki (rys. 4) należy wpisać cyfry od zera do pięciu tak, aby:
– liczba A była sumą kwadratów cyfr liczby D;
– liczba B była sumą kwadratów cyfr liczby E;
– liczba C była sumą kwadratów cyfr liczby utworzonej z cyfr, które znajdą się w różowych polach.
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 stycznia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 01/20. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Księga ludzi. Opowieść o tym, jak staliśmy się nami Adama Rutherforda ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem Konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji Konkursu.
Regulamin Konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl
***
Rozwiązania zadań z numeru listopadowego
1. Odkładając cyrklem na okręgu kolejno siedem razy łuk kąta środkowego równego 54 stopnie, można utworzyć kąt 18 stopni – zgodnie z działaniem: 360°-54°×7=18°.
2. Dłuższy bok prostokąta – (3Ö-3+Ö-11)/4@2,1282.
3. Kąt GDF ma 15°.
4. Kąty trójkąta: 30, 60, 90°.
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Adama Rutherforda Księga ludzi. Opowieść o tym, jak staliśmy się nami, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Grzegorz Bobiński z Torunia, Bartosz Chroł i Magdalena Jabłońska z Warszawy, Paweł Kozyra z Pszczyny, Andrzej Sulich z Olkusza.